长沙市2015模拟试卷数学4
【原创】2015年湖南省学业水平测试模拟试题---数学（4-4）
【原创】2015年湖南省学业⽔平测试模拟试题---数学（4-4）原创★绝密2015年湖南省⾼中学业⽔平测试（4-4）数学科试题命题：tangzhixin 考试范围：⾼⼀、⾼⼆所学内容本试题卷分选择题和⾮选择题两部分，共8页。
时量90分钟，满分100分。
⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，满分40分. 1．设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则A B =（）A.{1,0}-B.{1}-C.{0,1}D.{1}2. 函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最⼩值是( )A. 1-B. 0C. 1D. 23. 已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且//a b , 则x 等于 ( )A ．－1B ．－9C ．9D ．14. 不等式(1)0x x -<的解集是( )A.{}|0x x <B. {}|1x x <C.{}|01x x <<D. {}|01x x x <>或5. 如图，⼀个空间⼏何体的正视图和侧视图都是边长为1的正⽅形，俯视图是⼀个圆，那么这个⼏何体的侧⾯积．．．为（） A. 4π B. 2πC. πD. 32π6. 式⼦cos cossinsin126126ππππ-的值为（）A.12B.22C. 32D. 17. 已知数列{}n a 是公⽐为2的等⽐数列，若416a =，错误！未找到引⽤源。
则1a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）A.2xy = B.1y x=C.2y x = D. tan y x = 学校班级姓名考号----------------------------------------密-------------------------------封------------------------------线------------------------------------------9．在ABC ?中，内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =?,30B =?,2=a ,则b 等于( )A. 1D. 210．下表是某⼚1—4⽉份⽤⽔量(单位：百吨)的⼀组数据：⽉份x1 2 3 4 ⽤⽔量y4.5 4 3 2.5 由散点图可知，⽤⽔量与⽉份之间有较好的线性相关关系，其线性回归⽅程为y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25⼆、填空题：本⼤题共5个⼩题，每⼩题4分，共20分。
湖南省长沙市2015年初中毕业学业水平考试数学试题(附答案)
长沙市2015年初中毕业学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，为无理数的是（）A．0.2 B．C．D．－5答案：C 【解析】本题考查无理数的概念，难度较小．根据无限不循环小数是无理数，得是无理数，故选C．2．下列运算中，正确的是（）A．x3÷x＝x4B．(x2)3＝x6C．3x－2x＝1 D．(a－b)2＝a2－b2答案：B 【解析】本题考查整式的运算，难度较小．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，x3÷x＝x3－1＝x2，A错；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，(x2)3＝x2³3＝x6，B正确；3x－2x＝(3－2)x＝x，C错；根据完全平方公式知(a－b)2＝a2－2ab＋b2，D错，故选B．3．2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑．据统计，长沙地铁2号线每天承运力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）A．1.85³105B．1.85³104C．1.8³105D．18.5³104答案：A 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a³10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．185000＝1.85³105，故选A．4．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，难度较小．轴对称图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形绕对称中心旋转180度后与原图重合．选项A，C，D 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选B．5．下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边答案：D 【解析】本题考查几何图形的基本性质，难度较小．六边形的内角和是(6－2)³180°＝720°，A错；任意多边形的外角和都等于360°，与边数无关，B错；矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，C错；三角形任意两边的和大于第三边，D对，故选D．6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查解不等式组，难度较小．先分别解出不等式组里的每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即解不等式①得x＞－2，解不等式②得x≤3，故不等式组的解集是－2＜x≤3，其在数轴上的表示应为A，故选A．【易错分析】看数轴时要特别注意实心点和空心圈．7．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差答案：C 【解析】本题考查数据的分析应用，难度较小．根据众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，对商家而言，理所当然关注鞋子尺码的众数，故选C．8．下列说法中正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查答案：D 【解析】本题考查统计和概率的知识，难度较小．“打开电视机，正在播∠动物世界∴”这个事件可能发生，也可能不发生，它是随机事件，故A错误；“某种彩票的中奖”虽然概率很小，但它也是随机事件，买1000张，不一定中奖，故B错误；抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为二分之一，故C错误；“想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平”，调查数据大、范围广，宜采用抽样调查，故D正确．综上，故选D．9．一次函数y＝－2x＋1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C 【解析】本题考查一次函数图象的性质，难度较小．一次函数y＝－2x＋1，因为k＝－2＜0，b＝1＞0，所以直线呈下降趋势，且经过y轴正半轴上一点，即图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选C．10．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查钝角三角形高线的作图，难度较小．根据高线作法知BC边上的高应是过点A作BC的垂线，此时垂线与BC的延长线相交，交点是垂足，故选A．11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米答案：C 【解析】本题考查解直角三角形的应用，难度较小．在Rt△ABO中，∵，∴OA＝OB²tanα＝30tanα（米），故选C．12．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元B．875元C．550元D．750元答案：B 【解析】本题考查一元一次方程的应用，难度中等．设该电器的标价是x元，则实际销售价是0.8x元，成本是(0.8x－500)元，因为利润率为20%，所以(0.8x－500)²20%＝500，解得x＝3750（元），所以标价是3750元，成本是0.8x－500＝2500（元），如果按同一标价打九折销售那么获得的纯利润为0.9³3750－2500＝875（元），故选B．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）13．一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是_________．答案：【解析】本题考查概率公式，难度较小．摸出白球的概率．14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为_________（结果保留π）．答案：【解析】本题考查扇形的面积计算，难度较小．因为（其中n是圆心角，r是半径），所以．15．把进行化简，得到的最简结果是_________（结果保留根号）．答案：【解析】本题考查二次根式的化简，难度较小．．16．分式方程的解为_________．答案：x＝－5 【解析】本题考查解分式方程，难度较小．将方程的两边同时乘以最简公分母x(x－2)，化为整式方程得5(x－2)＝7x，解得x＝－5，经检验x＝－5是原分式方程的解，故原分式方程的解为x＝－5．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是_________．答案：18 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，难度较小．∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴，即，解得BC＝18．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为_________．答案：4 【解析】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的应用，难度中等．∵AB 是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△ABC中，由勾股定理得，又∵OD⊥BC，∴DO∥AC，∴△OBD∽△ABC，．∵AC＝8，∴OD＝4．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分6分）计算：．答案：本题考查实数的计算，难度较小．涉及的知识点有负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式．解：原式．（6分）20．（本小题满分6分）先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2．答案：本题考查整式的化简求值，难度较小．解：原式＝(x2－y2)－(x2＋xy)＋2xy＝x2－y2－x2－xy＋2xy＝xy－y2．（3分）∵x＝(3－π)0＝1，（4分）∴当x＝1，y＝2时，原式＝1³2－22＝2－4＝－2．（6分）21．（本小题满分8分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝_________，b＝_________；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在_________分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？答案：本题考查频数分布表与频数分布直方图的理解与应用、中位数、样本估计总体，难度较小．读出图中的隐含信息是解题的关键．解：（1）a＝60，b＝0.15．（2分）（2）如图．（4分）（3）中位数会落在80≤x＜90分数段．（6分）（4）（人），所以全校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优等”的大约有1200人．（8分）22．（本小题满分8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD，BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．答案：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、三角函数，难度较小．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOF≌△COF(AAS)．（4分）（2）如图．∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，∴AD＝AB，AC⊥BD于点O，，∴，∠CAD＝60°．又∵α＝30°，∴∠AEO＝90°，∴．又∵△AOE≌△COF，∴，∴．（8分）23．（本小题满分9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？答案：本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），难度较小．解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，则由题意可得10(1＋x)2＝12.1，（3分）解此方程得x1＝0.1，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（5分）（2）12.1³(1＋0.1)＝13.31（万件），．因为，所以该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，23－21＝2（人）．答：该公司6月份至少需要增加投递业务员2人．（9分）24．（本小题满分9分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，)，点D 在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．答案：本题考查与圆有关的计算与证明，难度中等．涉及的知识点有勾股定理、垂径定理、三角函数、切线的判定与性质、求点的坐标．解：（1）解法一：因为∠AOB为直角，所以AB是⊙M的直径．因为，所以⊙M的半径为．（2分）解法二：过点M分别作OB，OA的垂线，垂足分别为点E，F，连接OM，利用勾股定理与垂径定理可得⊙M的半径为．（2分）（2）证法一：因为在Rt△AOB中，，所以∠OAB＝30°，∠ABO＝60°．又因为∠COD＝∠CBO，而∠COD＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBO＝30°，故BD平分∠ABO．证法二：因为在Rt△AOB中，，所以∠OAB＝30°，∠ABO＝60°．又因为∠COD＝∠CBO，而∠COD＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBO＝30°，故BD平分∠ABO．（5分）（3）因为AB为⊙M的直径，所以过点A作直线l⊥AB，直线l与BD的延长线的交点即是所求的点E，此时直线AE必为⊙M的切线．易求得，∠ECA＝∠EAC＝60°，所以△ECA为边长等于的正三角形．设点E坐标为(x，y)，，，所以点E坐标为．（9分）25．（本小题满分10分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？答案：本题考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质、求点的坐标、方程与函数的关系等，考查考生的阅读理解能力、分类讨论能力、逻辑推理能力，难度较大．解：（1）由题意可知“中国结”的横坐标x，纵坐标y均为整数，由于，显然x＝0时，y＝2．只要x取除零以外的整数时，y就不是有理数，此时y更不可能是整数，故一次函数的图象上只有一个“中国结”，其坐标为(0，2)．（3分）（2）由于的图象是关于原点对称的双曲线，由题意可知，该双曲线的每一支上各只有一个“中国结”．由于k＝xy，且k，x，y均是整数，结合整数的性质有①当k＞0时，k＝1＝1³1＝(－1)³(－1)，相应“中国结”的坐标为(1，1)，(－1，－1)；②当k＜0时，k＝－1＝1³(－1)，相应“中国结”的坐标为(1，－1)，(－1，1)．（6分）（3）解法一：由题意可知，当k≠1且k≠2时，关于x的二次方程(k－1)(k－2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0有两个不等的整数根x1，x2，分解因式可以得到[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，从而所以消去k得到x2(x1＋2)＝－1．由于x1，x2是整数，所以必有或者所以或者（舍去），所以，此时．由其图象可以得到其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”．（10分）解法二：由题意可知关于x的二次方程(k－1)(k－2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0有两个不等的整数根x1，x2，判别式Δ＝(2k2－4k＋1)2－4(k－1)(k－2)(k2－k)＝1，所以由求根公式可得或，余下同解法一．解法三：由上述方法得方程的两个根为由于x1，x2为整数，所以必有与均为非零整数，所以令（m，n均为非零整数），消去k得到，．由于m，n均为非零整数，所以必有1－m＝±1，从而m＝2，n＝－2，，余下同以上解法．解法四：由一元二次方程的根与系数关系可得余下同以上解法．26．（本小题满分10分）若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1＝c＝2，时，求x2与b的值；（2）当x1＝2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．答案：本题考查二次函数的图象与性质、等边三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质、不等式组的解法，难度较大．解：（1）由题意可得c，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以，所以．又因为ac2＋bc＋c＝0(a＞0，c＞0)，所以．（3分）（2）△ABM不可能为等边三角形．由一元二次方程的根与系数关系可得，∵x1＝2c，∴．又∵点A(2c，0)在对应的二次函数图象上，∴a(2c)2＋2bc＋c＝0．∵c＞0，∴．根据题中条件可得∴若△ABM为等边三角形，则必有，将代入此式并化简可得，，∴或．显然与矛盾，从而△ABM不可能为等边三角形．（6分）（3）∵△BPO∽△PAO，∴，即，∴ac＝1．由一元二次方程的根与系数关系可得，∵x1＝mc，∴．又∵点A(mc，0)在对应的二次函数图象上，∴a(mc)2＋bmc＋c＝0．∵c＞0，∴．根据题中条件可得∴0＜m＜1．∵S1＝S2，∴，∴b2＝8，∴．∵m＞0，∴，∴，解得．∵0＜m＜1．∴．（10分）综评：本套试卷难度中等，命题指导思想明确，侧重双基，注重生活实际应用，试题基本覆盖了初中数学教学重点．一百分的基础分比较易得，压轴题第25，26题传承了2014年的命题趋势，最后一问都有一定的难度，集中展示数学丰富多彩的内涵和变化之美感，全面考查考生阅读理解，处理综合信息的能力，充分体现了中考的选拔功能．。
2015年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷(二)
号证考准名姓1在数据2，1，0，2中，最小的数是（）A．2B．1C．0D．22式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A．＞2B．≥2C．≤2D．＞23下列计算正确的是（）A．(2)+(3)=1B．35=2C．D．4某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：人数25131073成绩（分）5060708090100则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70B．70，70C．80，80D．75，805下列运算正确的是（）A．B．C．D．6如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）A．150°B．140°C．130°D．120°7如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若点C的坐标为（1，2），则点A的坐标为（）A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）8下图是用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A B C D2015年长沙市初中毕业学业水平考试网上模拟试卷数学()二注意事项：本卷实行开卷考试.题次一二三四总分合计复分人得分得分评卷人复分人一、选择题（共12题，36分）题号123456789101112答案9若分式的值为0，则x的值为（）A．1B．0C．2D．1或210甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号的概率是（）A．1B．C．D．11观察下列各图，图中的小正方形是按一定的规律排列的．根据此规律，第10个图中小正方形的个数为（）A．80B．81C．82D．8312如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且DE=DF．若△DEF 的面积为y，BF的长为x，则表示y与x的函数关系的图象大致是（）A B C D二、填空题（共6题，18分）13、因式分解：=．14、2014年3月21日上午，我国新型导弹驱逐舰昆明舰举行入列仪式，正式加入人民海军战斗序列．昆明舰采用柴燃交替动力，配备2台QC208燃气轮机，单台功率37500马力．数据37500用科学记数法表示为．15、一副三角板如图所示放置，则∠AOB=．16、张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同，张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，但实际上这样的概率是．17、若x、y为实数，且，则的值为．18、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB的中点，EF交AC于点H，则的值为．三、解答题（共8题，66分）19、计算：．20、化简求值：，其中a=2015．21、某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽查本校九年级的200名学生，调查的结果如下图所示．请根据该扇形统计图解答以下问题：(1)求图中的x的值；(2)求最喜欢乒乓球运动的学生人数；(3)若由3名最喜欢篮球运动的学生，1名最喜欢乒乓球运动的学生，1名最喜欢足球运动的学生组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率22、如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．(1)、求证：△ABD∽△ACE；(2)、若△EBC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．23、某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇需要资金17400元；若购进10台空调和30台电风扇需要资金22500元．(1)、求挂式空调和电风扇的采购价格各是多少元．(2)、该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元．根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该业主希望当这两种电器销售完时，所获利润不少于3500?艄航沂娇盏?m台，请求出m 的取值．24、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．(1)、求证：△APE∽△ADQ；(2)、设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）25、一服装经销商购进了女童装和男童装两种服装各100套，女童装的进价是每套68元，男童装的进价是每套78元．将这200套衣服分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售．预计每套衣服的售价情况如下表：女童装男童装甲店118元148元乙店138元108元有两种配货方案（整箱配货）：方案一：甲、乙两店各配货100套，其中女童装两店各50套，男童装两店各50套；方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中女童装甲店_________套，乙店__________套；男童装甲店_________套，乙店__________套．(1)、如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元．(2)、请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？(3)因为乙店比甲店多一名雇员，需多开680元工资．在保证乙店盈利比甲店多680元的条件下，请你设计出使经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利．26、在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．(1)、当点P移动到点D时，求出此时t的值；(2)、当t为何值时，△PQB为直角三角形；(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（）．请问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．。
2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷
2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷数 学（二）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．-1，0，2，-3这四个数中最大的是 A ．-1 B ．0 C ．2 D ．-3 2．“比a 的2倍大1的数”用代数式表示是 A ．2(a ＋1) B ．2(a -1) C ．2a ＋1 D ．2a -1 3．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是 A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形 4．因式分解x 2y -4y 的正确结果是 A ．y (x +2)(x -2) B ．y (x +4)(x -4)C ．y (x 2-4) D ．y (x -2)2 5．将点A (2，1)向左．．平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是 A ．(0，1)B ．(2，-1)C ．(4，1)D ．(2，3)6x 的取值范围为A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ≥12-D ．x ≤12-7．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列结论一定正确的是 A ．∠HGF = ∠GHE B ．∠GHE = ∠HEF C ．∠HEF = ∠EFG D ．∠HGF = ∠HEF8．已知3是关于x 的方程2x -a =1的解，则a 的值是 A ．-5 B ．5 C ．7 D ．2 9．五边形的外角和等于 A ．180° B ．360° C ．540° D ．720°10．若点A 的坐标为(6，3)，O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ＇，则点A ＇的坐标为第7题图 第12题图 第11题图A ．(3，-6)B ．(-3，6)C ．(-3，-6)D ．(3，6)11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A (-2,4)，B (4，2)，直线y =kx -2与直线AB 有交点，则k 的值不可能是A ．-5B ．-13C ．3D ．512．如图，表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10．若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为 A．22-B ．16π＋ C ．18 D ．19二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．一天有86 400秒，用科学记数法表示为 秒． 14．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB =100°，则∠ACB = 度．15．点1(2)A y ，、2(3)B y ，是二次函数221y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小 关系为1y 2y .16．在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB =OB =4，则AD = . 17．如果x 1与x 2的平均数是4，那么x 1＋1与x 2＋5的平均数是 ．18．如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分） 19．计算：1012cos30(3)2π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．20．先化简，再求值：(x ＋1)2-(x ＋2)(x -2)＜xx 是整数．21．又到了暑假，学校组织老师分别到A 、B 、C 、D 四地旅游，学校按老师数量购买了前往各地的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：（1）若去D 地的车票占全部车票的10%，请求出D 地车票的数量，并补全统 计图；（2）若学校采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大 小、质地完全相同且充分洗匀），那 么张老师抽到去A 地的概率是多少？ （3）若有一张车票，王老师和李老师都想要，第18题图 第14题图决定采取抛掷一枚各面分别标有1、2、3、4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若王老师掷得着地一面的数字比李老师掷得着地一面的数字小，车票给王老师，否则给李老师．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的角平分线．（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．23．我校初三2班在学校商店购买一些学习用品用作奖励，第一次用32元买了4支水性笔和6本笔记本；第二次用56元买了同样的水性笔12支和笔记本8本.（1）求每支水性笔和每本笔记本的价格；（2）期中考试后，班主任拿出100元奖励基金交给班长，购买上述价格的水性笔和笔记本共30件作为奖品，奖给期中考试表现突出的同学，要求笔记本数不少于水性笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.24．如图，CD切⊙O于点C，作⊙O的直径AB．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径OA=3 cm，EC=4 cm，求GF的长．25．已知二次函数2(1)1(0)=-++>．y ax a x a（1）当a=1时，求二次函数2(1)1(0)=-++>的顶点坐标和对称轴；y ax a x a（2）二次函数2(1)1(0)=-++>与x轴的交点恒过一个定点，求出这个定点．y ax a x a（3）当二次函数2(1)100=-++>>时，x在什么范围内，y随x的增大而减小？y ax a x a()26．如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C（0，-2）．以AB为直径作⊙M，过AC作直线，P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AC交y轴于Q点．（1）求抛物线所对应的函数的解析式及直线AC的解析式；（2）当P点在抛物线上运动时，直线PQ与抛物线只有一个交点，求交点的坐标；（3）D是⊙M上一点，连接AD和CD，当△ACD的面积最大时，求D点的坐标，此时△ACD的面积是多少？数学（二）参考答案及评分标准13．8.64×104 14．50 15．＜16．17．7 18．2 三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）19．解：112cos3032π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（-）=2-+1=2-++1=320．解：原式=x 2＋2x +1- (x 2-4)=2x +5＜x x 是整数， ∴x =3，∴原式=2×3＋5=1121．解：（1）设D 地车票有x 张，则x ＝(x +20+40+30)×10% 解得x ＝10.即D 地车票有10张. 统计图见右图.（2）张老师抽到去A 地的概率为2020403010+++＝15.李老师掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4）， （2，3），（2，4），（3，4）.∴王老师掷得数字比李老师掷得数字小的概率为616＝38.则王老师掷得数字不小于李老师掷得数字的概率为318-＝58.所以这个规则对双方不公平.22．（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ，∴∠FAC ＝∠B ＋∠BCA ＝2∠B ， ∵AD 平分∠FAC ，∴∠FAD ＝∠B ， ∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DCE ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD ＝∠DCE ， ∴∠D ＝∠ACD ，∴AC ＝AD .（2）证明：∵∠B ＝60°，∴∠ACB ＝60°，∠FAC ＝∠ACE ＝120°，∴∠DCE ＝∠B ＝60°，∴DC ∥AB ,∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又由（1）知AC ＝AD ，∴AB ＝AD ， ∴四边形ABCD 是菱形．23．解：（1）设每支水性笔x 元，每本笔记本y 元．463212856x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩．答：每支水性笔2元，每本笔记本4元. （2）设买水性笔a 支，则买笔记本(30－a )本．24(30)10030a a a a +-≤⎧⎨≤-⎩，解得：10≤a ≤15．所以，一共有6种方案，即购买水性笔、笔记本的数量分别为：10,20；11,19；12,18；13,17；14,16；15,15.24．（1）证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°． ∴∠OCA+∠ACD =90°．∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ．∵∠DAC =∠ACD ，∴∠OAC +∠CA D=90°． ∴∠OAD =90°．∴AD 是⊙O 的切线． （2）解：连接BG 、OC .∵OC =3 cm ，EC =4 cm ， ∴在Rt △CEO 中，OE．∴AE =OE +OA =5+3=8．∵AF ⊥ED ，∴∠AFE =∠OCE =90°，∠E =∠E ．∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ． ∴AF OC = AE OE ．即：583=AF ．∴AF =4.8．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AGB =90°．∴∠AGB =∠AFE ． ∵∠BAG =∠EAF ，∴Rt △ABG ∽Rt △AEF ． ∴AG AF = AB AE ，即：64.88AG =.∴AG =3.6．∴GF =AF -AG =4.8-3.6=1.2(cm)．25．解：（1）当a =1时，y =x 2-2x +1=(x -1)2， ∴顶点：(1，0)，对称轴：x =1． （2）2(1)1(1)(1)0y ax a x x ax =-++=--=，∴1211x x a==，，∴恒过(1，0)点.（3）∵2(1)1(1)(1)0y ax a x x ax =-++=--＞， ∴1010x ax ⎧⎨⎩-＞-＞或1010x ax ⎧⎨⎩-＜-＜.①当1a≤1时，即a ≥1时，不等式1010x ax ⎧⎨⎩-＞-＞的解集为：x ＜1a或x ＞1； 如图1，此时，当x ＜1a时， 函数y 随x 的增大而减小.②当1a≥1时，即0＜a ＜1时，不等式1010x ax ⎧⎨⎩-＜-＜的解集为：x ＜1或x ＞1a ；如图2，此时，当x ＜1时，图1图2函数y 随x 的增大而减小.26．解：（1）设抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋1)(x -2)，∵经过C(0, -2)，代入得，-2=a (0+1)(0-2)，∴a =1．∴抛物线的函数关系式为y ＝(x ＋1)(x -2)或y =x 2-x -2 . 设直线AC 的解析式为y =kx +b. 把A (-1，0)、C (0，-2)两点代入， 解得：k =-2，b =-2.∴直线AC 解析式为: y =-2x -2 （2）∵AC ∥PQ ,∴直线PQ 解析式的k =-2. 设：PQ 的解析式为：y =-2x +m∴222y x my x x =-+⎧⎨=--⎩. 消去y ，得： x 2+x -m -2=0 ∵ PQ 与抛物线相切， ∴∆=12-4×(-m -2)=0.∴ 94m =-.此时，1112x x ==-，54y =-，∴切点15(,)24P --.（3）设PQ 切⊙M 于优弧D 点，D 点为所求， 此时，△ACD 面积最大.过D 作DH ⊥x 轴于点H ，连接MD ，∴MD ⊥PQ ，MD =12AB =32.∵AC ∥PQ ，∴DE ⊥AC ，∴∠AED =∠AOC =90︒，又∵∠EAM =∠CAO ，∴∠AME =∠ACO ， 又∵∠AME =∠DMH ，∴∠DMH =∠ACO ，∠DHM =∠AOC =90︒.∴△MDH ∽△CAO∴DH MH MDOA OC AC==即，312DH MH==∴ DH ，MH .∴ OH =12+.∴切点D 的坐标(12延长DM 交AC 于点E ，∴DE ⊥AC.∵ △DMH ≌△AEM ，∴ ME =MH ．∴DE =3.∴S △ACD 1133(2222AC DE =⨯⨯=+=.。
2015年长沙中考数学模拟试卷------全8套
售价(元/件)
20
45
（2）若商店计划投入资金少于 4 000 元，
且销售完这批商品后获利多于 1 135 元，请问有哪几种购货方案？并指出获利最
大的购货方案.
24．如图，已知以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D， E 为 BC 边的中点，连接 DE． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）连接 OE，当∠CAB 为何值时，四边形 AOED 是平行四 边形？ （3）请在（2）的条件下探索 OBED 的形状.
25．已知：如图①，在 Rt△ACB 中，C 90 ， AC 4 cm ， BC 3 cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动， 速度为 2 cm/s；连接 PQ ．若设运动的时间为 t(s) （ 0 t 2 ），解答下列问题：
考证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本学科试卷共 26 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分。
16．如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为
___________．
第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
17．如图，等腰△ABC 的周长为 27 cm，底边 BC＝7 cm，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点
D，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为
C．2a＋1
湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷
湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题）1．（3分）福布斯中文网微博通报数据显示，天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币．则122亿用科学记数法来表示是（）A．1.22×1010B．122×108C．12.2×109D．1.22×1092．（3分）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．3B．6C．12 D．03．（3分）分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=44．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2a+2=3a2B．（﹣b3）2=﹣b6C．c2•c3=c5D．（m﹣n）2=m2﹣n25．（3分）一物体及其主视图如图所示，则它的左视图与俯视图分别是图形中的（）A．①②B．③②C．①④D．③④6．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°7．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．9．（3分）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣210．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．211．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查12．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．A B2=AC•BD B．A B•AD=BD•BC C．A B2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD二．填空题（共6小题）13．（3分）﹣的相反数是．14．（3分）分解因式：2x2﹣2=．15．（3分）已知1是关于x的方程x﹣2m=0的解，则m的值为．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．三．解答题（共7小题）19．计算：．20．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．21．在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表（表1）和扇形统计图如下：命中环数10 9 8 7命中次数 3 2（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．22．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．23．青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．24．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？25．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜）．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．湖南省长沙市长沙县2015届中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（3分）福布斯中文网微博通报数据显示，天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币．则122亿用科学记数法来表示是（）A．1.22×1010B．122×108C．12.2×109D．1.22×109考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将122亿用科学记数法表示为1.22×1010．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．3B．6C．12 D．0考点：代数式求值．专题：计算题．分析：原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵2a﹣b=3，∴原式=9﹣2（2a﹣b）=9﹣6=3，故选A点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）分式方程的解为（）A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4考点：解分式方程．分析：首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验．解答：解：，去分母得：3x﹣3=2x，移项得：3x﹣2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：X=3，故选：C．点评：此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方．4．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2a+2=3a2B．（﹣b3）2=﹣b6C．c2•c3=c5D．（m﹣n）2=m2﹣n2考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．分析：根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解：A、2a和2不能合并，故本选项错误；B、结果是b6，故本选项错误；C、结果是c5，故本选项正确；D、结果是m2﹣2mn+n2，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力，难度不是很大．5．（3分）一物体及其主视图如图所示，则它的左视图与俯视图分别是图形中的（）A．①②B．③②C．①④D．③④考点：简单组合体的三视图．分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的视图是左视图，可得答案．解答：解：从左面看下面是一个长方形，上面是一个长方形，故③符合题意，从上面看左边一个长方形，中间一个长方形，右边一个长方形，故②符合题意．故选：B．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的视图是左视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．6．（3分）如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理直接解答即可．解答：解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．点评：本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．7．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转90°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm考点：弧长的计算；平行四边形的性质；旋转的性质．专题：计算题．分析：根据平行四边形的性质得到OD=OB=BD=2，然后根据弧长公式计算即可．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB=BD=2，∴点D所转过的路径长==π（cm）．故选D．点评：本题考查了弧长的计算：弧长=（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了平行线四边形的性质以及旋转的性质．8．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题；网格型．分析：找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．解答：解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．点评：难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．9．（3分）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣2考点：一元二次方程的解．专题：待定系数法．分析：把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．解答：解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，∴22+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2考点：菱形的性质．分析：利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．解答：解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．11．（3分）下列说法中，正确的是（）A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖C．神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查考点：随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．解答：解：A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，故A选项错误；B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故B选项错误；C．神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查，故D选项正确．故选：D．点评：本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．（3分）如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．A B2=AC•BD B．A B•AD=BD•BC C．A B2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD考点：射影定理．分析：先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．解答：解：∵∠BAD=∠C，而∠ABD=∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB：BC=BD：AB，∴AB2=BC•BD．故选C．点评：本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共6小题）13．（3分）﹣的相反数是．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：﹣的相反数是，故答案为：．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．14．（3分）分解因式：2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．解答：解：2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．15．（3分）已知1是关于x的方程x﹣2m=0的解，则m的值为0.5．考点：一元一次方程的解．专题：计算题．分析：把x=1代入方程求出m的值即可．解答：解：把x=1代入方程得：1﹣2m=0，解得：m=0.5，故答案为：0.5点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．考点：三角形中位线定理．分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．解答：解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为：3．点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．18．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（﹣）0=1，（）﹣1=2，按照实数的运算法则依次计算．解答：解：原式=1﹣4××+2×=1﹣+2=1+．点评：本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1；a﹣p=．20．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先化简分式，再把a=2代入化简后的式子计算即可．解答：解：，当a=2时，原式=2×2=4．点评：本题考查了分式的化简求值．注意除以一个数等于乘以这个数的倒数．21．在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表（表1）和扇形统计图如下：命中环数10 9 8 7命中次数 4 3 2 1（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．考点：方差；统计表；扇形统计图．分析：（1）根据统计表（图）中提供的信息，可列式得命中环数是7环的次数是10×10%，10环的次数是10﹣3﹣2﹣1，再分别求出命中环数是8环和10环的圆心角度数画图即可，（2）先求出甲运动员10次射击的平均成绩和方差，再与乙比较即可．解答：解：（1）命中环数是7环的次数是10×10%=1（次），10环的次数是10﹣3﹣2﹣1=4（次），命中环数是8环的圆心角度数是；360°×=72°，10环的圆心角度数是；360°×=144°，画图如下：故答案为：4，1；（2）∵甲运动员10次射击的平均成绩为（10×4+9×3+8×2+7×1）÷10=9环，∴甲运动员10次射击的方差=[（10﹣9）2×4+（9﹣9）2×3+（8﹣9）2×2+（7﹣9）2]=1，∵乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，大于甲的方差，∴如果只能选一人参加比赛，认为应该派甲去．点评：本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km 的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论．解答：解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB=40km，AC=km，∴BC===16（km）．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，∴×60=12（千米/小时）．（2）能．理由：作线段BR⊥AN于R，作线段CS⊥AN于S，延长BC交l于T．∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．∴AS=8cos30°=8×=12（km）．又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．∵AB=40km，∴BR=40•sin60°=20（km）．∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．易得，△STC∽△RTB，所以=，，解得：ST=8（km）．所以AT=12+8=20（km）．又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，∵19.5＜AT＜20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸．点评：此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．23．青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、休闲场地建设．园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧．搭配数量如下表所示：甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）A种园艺造型（个）80盆40盆B种园艺造型（个）50盆90盆（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）先设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据搭配一个A 种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元，园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元，列出方程组，求出x，y的值即可；（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出符合题意的搭配方案．解答：解：（1）设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据题意得：，解此方程组得：，答：A种园艺造型单价是200元，B种园艺造型单价是300元．（2）设搭配A种园艺造型a个，搭配B种园艺造型（50﹣a）个，根据题意得：，解此不等式组得：31≤a≤33，∵a是整数，∴符合题意的搭配方案有3种，如下：A种园艺造型（个）B种园艺造型（个）方案1 31 19方案2 32 18方案3 33 17点评：此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程组和不等式组，注意a只能取整数．24．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线D E 平分BC边，交BC于E．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）要证BC是⊙O的切线，就要证OB⊥BC，只要证∠OBE=90°即可，首先作辅助线，连接OD、OE，由已知得OE为△ABC的中位线，OE∥AC，从而证得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切线，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得证．（2）由题意使四边形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC为等腰三角形（AB=BC）．再通过△ABC为等腰三角形（AB=BC）论证以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形．解答：解：（1）连接OD、OE，∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC（三角形中位线性质），∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行线性质），∵OA=OD∴∠A=∠ODA∴∠DOE=∠BOE（等量代换）∵OD=OB，OE=OE∴△ODE≌△OBE（边角边）∴∠ODE=∠OBE∵DE是⊙O的切线∴∠ODE=∠OBE=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）当为等腰三角形（AB=BC）时四边形OBDE是正方形，证明如下：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC（直径所对的圆周角为直角），∵AB=BC，∴D为AC的中点（等腰三角形的性质），∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，∵OD=OB，∴四边形OBED为正方形．点评：此题是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定性质、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等，得到∠OBE=90°，即OB⊥BC 得出结论．第二问关键是通过以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形推出△ABC为等腰三角形（AB=BC）．然后加以论证．25．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t秒（0＜t＜）．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．考点：一次函数综合题．分析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式=，求出t的值；（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系=求得PD，从而S可求出，S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．解答：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，∴AB===10．如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴=，即=，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴=，即=，解得PD=6﹣t．S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又∵PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，∴P（4，3）．又∵AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．。
2015年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷(1)
2015年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷（1）一、选择题（共12题，36分）1、-3的绝对值是（）A．B． 3 C．D．32、三角形两条边分别为3和7，则第三边可以为（）A．2 B．3 C．9 D．103、下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4、有一组数据：2，5，7，2，3，3，6，下列结论错误的是（）A．平均数为4 B．中位数为3 C．众数为2 D．极差是55、如图，已知直线a∥b，直线c与a、b分别交于A、B，且∠1=110°，则∠2=（）A．70°B．110°C．30°D．150°6、两个相似多边形的面积之比为1∶9，则它们的周长之比为（）A．1∶3 B．1∶9 C．1∶D．2∶37、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB为（）A．70°B．20°C．140°D．35°8、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（）A．B．C．D．第9题如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=（）A．B．C．D．10、如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，轴于B，且的面积为2，则k的值为（）A．4 B．-4 C．2 D．-211、已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=2；④若d=1，则m=3；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．512、若正比例函数y=mx(m≠0)，y随x的增大而减小，它和二次函数的图象大致是（）A B C D二、填空题（共6题，18分）13、计算：= ．14、在0，1，2这三个数中任选两个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，则P 点落在直线图象上的概率是．15、分式方程的解为．16、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD∶BD＝2∶3，则S△ADE︰S四边形DBCE= ．17、一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为___________．18、已知当x1=a、x2=b、x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1、y、y3，若正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有2y＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．1三、解答题（共8题，66分）19、计算：．20、解不等式组21、我校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外拓展活动．现随机抽取我校的部分学生，调查他们最喜欢去的地方（A．方特；B．世界之窗；C．韶山；D．其他）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．请问：(1)、我校共调查了名学生；(2)、将两幅统计图中不完整的部分补充完整；(3)、若我校共有学生2500人，请估计我校最喜欢去韶山的人数．22、如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．(1)、求∠B的大小；(2)、已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．23、甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：购苹果质量不超过30千克30千克以上但不超过50千克50千克以上每千克价格3元 2.5元2元甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付了189元，而乙班则一次购买苹果70千克．(1)、乙班比甲班少付多少元？(2)、甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？24、如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．(1)、求证：△BDG∽△DEG；(2)、若EG·BG=4，求BE的长．25、如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．(1)、请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）；(2)、若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)、如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．26、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+m与坐标轴y轴交于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线为y=x2+nx-8，点D为线段AB上一动点，过点D作CD垂直x轴于点C，交抛物线于点E．(1)、求抛物线的解析式；(2)、当DE=12时，求四边形CAEB的面积；(3)、是否存在点D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。
长沙市2015年数学模拟试卷3
第6题图2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷数 学（三）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．2-的相反数是A ．12-B ．2C ．2-D ．122．下列运算正确的是A ．22223a a a -+=B ．223(2)6a a a ⨯-=-C ．842a a a ÷=D ．224(2)4a a =3．一个正方形的面积为20，那它的边长应在A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间4．用配方法解一元二次方程x 2＋4x ＝5时，此方程可变形为A ．(x +2)2＝1B ．(x -2)2＝1C ．(x +2)2＝9D ．(x -2)2＝95．二次函数21(3)52y x =--+的开口、对称轴、顶点坐标分别是 A ．向下，直线3x =，(35)-， B ．向上，直线3x =，(35)，C ．向下，直线3x =，(35)，D ．向上，直线3x =-，(35)，6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，如果∠BOC ＝70°，那么∠A 的度数为A ．70°B ．35°C ．30°D ．20°7．已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为5 cm ，则这个圆锥的侧面积是A ．20π cm 2B ．20 cm 2C ．40π cm 2D ．40 cm 2第8题图8．如图是某市某月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天．则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量重度污染的概率是A ．14B ．18C ．12D ．34 9．下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形10．一次函数1y kx =+的图象如下图，则反比例函数(0)k y x x=<的图象只能是A B C D11．今年我市有7万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2 000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，有下列说法：①这7万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2 000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2 000．其中说法正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A 'O 'B ，点A 的对应点A '在x 轴上，则点O '的坐标是A ．(203，103)B ．(163，453)C ．(203，453)D ．(163，43)二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使得四边形ABCD 是平行四边形，应添加的条件是 （只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．14．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，3，4，5，则这组数据的方差是 ．第13题图 第15题图 第16题图15．拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB =16 m ，拱顶O 到水面的距离为8 m ，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是______________.16．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 ．17．已知关于x 的方程21x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围是_____________. 18．一艘轮船从A 地匀速驶往B 地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知轮船返回的速度是它从A 地驶往B地的速度的1.5倍．轮船离A 地的距离y （千米）关于时间x （小时）的函数图象如图所示．则a = （小时）.三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）19．201()20153222sin 452--+÷-︒.20．已知12x y ==-，.求221()x y x y xy y-÷--的值.21．在长沙市初三年级学生考查科目中，对物理实验操作、化学实验操作成绩进行抽样调查，成绩评定为A 、B 、C 、D 四个等级．现抽取这两种成绩共1 000份进行统计分析，其中A 、B 、C 、D 分别表示优秀、良好、合格、不合格四个等级．相关数据统计如下表及图所示．（1）请将上表补充完整（直接填数据，不写解答过程）；（2）长沙市共有66 000名学生参加测试，试估计该市初三年级学生化学实验操作优秀的大约有多少人；（3）在这66 000名学生中，物理实验操作不合格的大约有多少人？22．如图所示，AC 为⊙O 的直径且P A ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，且PB =P A .（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）已知：2DB BP=，求cos BCA ∠的值. A BC D 物理实验操作 18045 15 化学实验操作 225250 50 等级 人数科目23．某学校计划用180 000元从厂家那里购买A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中A 型出厂价为5 400元，B 型出厂价为3 600元，C 型出厂价为1 800元.（1）若学校同时购进其中两种不同型号的电脑共40部，并将180 000元恰好用完.请你帮助学校计算一下如何购买；（2）若学校同时购进三种不同型号的电脑共40部，并将180 000元恰好用完，并且要求C 型电脑的购买数量不少于6部且不多于8部，请你设计几种不同购买方案供学校选择，并说明理由.24．如图，过平行四边形ABCD 的对角线BD 的中点O 作两条互相垂直的直线，且交AB 、CD 的延长线于点E G 、，交BC AD 、于点 F H 、，连接EF FG GH EH 、、、.（1）求证：△BEO ≌△DGO ；（2）试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由.25．设() 123 i x i n =⋅⋅⋅，，，，为任意代数式，我们规定：{}12max n y x x x = ，，，表示x 1，x 2，…，x n 中的最大值，如{}max 122y ==，．（1）求{}max 3y x =，；（2）借助函数图象，解不等式1max 12x x ⎧⎫+≥⎨⎬⎩⎭，； （3）若21max 1432y x x a x x ⎧⎫=-+-+⎨⎬⎩⎭，，的最小值为1，求实数a 的值.26．如图，二次函数22123x y x m m=--+（其中m 是常数，且0m >）的图象与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，作CD ∥AB ，点D 在二次函数的图象上，连接BD ．过点B 作射线BE 交二次函数的图象于点E ，使得AB 平分∠DBE ．（1）求点C 的坐标；（2）求证：BD BE为定值； （3）二次函数22123x y x m m=--+的顶点为F ，过 点C F 、作直线与x 轴交于点G ．试说明：以 GF 、BD 、BE 的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由.。
【原创】2015届湖南省高考模拟 理科数学(4-2)
2015届湖南省高三名校大联考（4-2）理科 数学考生注意：本科考试时量为120分钟；满分150分；请将所有答案填写到答题卡上，否则一律无效。
祝各位考生考试顺利！一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1．若复数2()1aiz a R i-=∈+是纯虚数，i 是虚数单位，则a 的值是 ( ) A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 2. 已知随机变量2(2,)N ξσ，且(1)0.4P ξ<=，则(3)P ξ≤等于 ( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6 3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13 C ．12 D ．324．设实数,x y 满足约束条件20,30,2,x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩且z x y =-的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．52-C ．6D ．7 5．已知i 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式61i x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的系数是（ ）A ．192B ．32C ．42-D ．192- 6．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为侧面11BCC B 的中心，则AO 与平面ABCD 所成的角的正弦值为（ ）A ．32 B ．12 C ．36 D ． 667．已知函数3()log ()(0a f x x a a=+>且1)a ≠恒过点(2,1)，则2()232f x x x =--+的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．在ABC ∆中，()3AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2by x b N +=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <(其中O 为坐标原点)，若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221x y -= C ．22149x y -= D ．221416x y -= 10．给出下列命题：① “0x R ∃∈，使得20010x x -+<”的否定是“x R ∀∈，使得210x x -+≥”；② 0a b ⋅>是向量,a b 的夹角为锐角的充要条件；③ 设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan 4tan AB=； ④ 记集合{1,2,3},{1,2,3,4}M N ==，定义映射:f M N →，则从中任取一个映射满足“由点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A f B f C f 构成ABC ∆且AB BC =”的概率为316． 以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为sin()214πρθ+=+，圆C 的圆心为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长为__________． 12．已知222236,2x y z a x y z a ++=++=-，则实数a 的取值范围是________． 13．如图，在ABC ∆中，90,60C A ∠=∠=，过C 作ABC ∆的外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，已知5DE =，则ABC ∆的外接圆的半径为________. （二）必做题（12～16题）14．已知向量1(2sin ,),(2,cos )3a b αα==且//a b ，则2cos ()4πα+= _______．15．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则 （1）ω的值为______； （2）在,,136x x y ππ=-==和x 轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数()f x =sin()([,])336x x πππω+∈-与x 轴围成的区域内的概率为__________．16．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．（1）如果2n =，则按照上述规则施行变换后的第8项为_________；（2）如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若C A sin sin 的取值范围．18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，∠090BAF =， 2AD =，21AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D AP C --的余弦值为63，求PF 的长度．19．（本小题满分12分）某校设计了一个物理学科的实验考查：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照要求独立完成实验操作.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过考查.已知6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且各题正确完成与否互不影响.（1） 求考生甲通过实验考查的概率；（2） 求甲、乙两考生正确完成题数1x ， 2x 的概率分布列； （3） 试用统计知识分析比较甲、乙两考生的实验操作能力的稳定性.ABCDEFP某地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a 2m ，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ，该地的住房总面积为n b 2m .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若每年拆除4a 2m ，比较+1n a 与n b 的大小.21. （本小题满分13分）设P 是圆224x y +=上的任意一点，过P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足， M 是线段PD 上的点，且满足DM m PD =(01m <<)，当点P 在圆上运动时，记M 的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过曲线C 的左焦点F 作斜率为22的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，点Q 满足0OA OB OQ ++=u u r u u u r u u u r r，是否存在实数m ，使得点Q 在曲线C 上，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷(理科)(Word版含解析)
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．26．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∪D．上的零点．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一∴复数e的虚部为．故选：B．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题．2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．解答：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：A、用线面垂直的性质定理判断；B、用线面垂直的性质定理判断；C、用面面垂直的判定定理证明D、通过空间几何体模型观察．解答：解：A、由一条直线垂直平行平面中的一个，则垂直于另一个正确；B、由平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面得正确；C、过n作平面γ，γ∩α=m，∵n∥α∴n∥m，又因为n⊥β，∴m⊥β，又因为m⊂α，∴α⊥β正确；D、m∥β，m⊥n，则n⊥β，或n⊂β，n∥β不正确．故选D点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化．4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z考点：余弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式，然后求出函数的单调增区间，即可得到选项．解答：解：函数=cos2x，因为y=cosx的单调减区间为：k∈Z，函数的单调增区间是k∈Z．故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性，注意正确应用基本函数的单调性是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．2考点：程序框图．专题：计算题．分析：已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．解答：解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．6．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题由三视图可知原几何体是一个四棱锥，由线面垂直的判定，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形，故可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，并且顶点P在下底面的射影点为正方形边AD的中点O，所以PO⊥底面ABCD，可得PO⊥AB，又AB⊥AD，AB∩PO=O，由线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，∵CD∥AB，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，即△PCD也为直角三角形．故左右侧面均为直角三角形，而前后侧面PBC与PAD均为非直角的等腰三角形．所以侧面中直角三角形个数为2个，故选C点评：本题为三视图的还原问题，只要作出原几何体，理清其中的线面关系即得的答案，属于基础题．7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．10．（5分）已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），若函数y=f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪D．所以：a的取值范围为：故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的恒成立问题，基本不等式的应用，及相关的运算问题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3=0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C被l截得弦长为2．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为普通方程，两方程联立，求得弦长|AB|的端点坐标，即得|AB|的大小．解答：解：把曲线C的参数方程化为普通方程，得（x﹣2）2+（y+2）2=4…①；把直线l的极坐标方程化为普通方程，得y+3=0…②；由①、②解得x1=2+，x2=2﹣，∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=|（2+）﹣（2﹣）|=2．故答案为：2．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再来解答，是基础题．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则BC的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出r=，再利用勾股定理，即可求出BC的长．解答：解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AD=2，AE=1，∴，∴r=，∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，∴CB2+AB2=AC2，∴CB2+42=（2+CB）2，∴CB=3．故答案为：3．点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点，考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据A+B+C=π和基本不等式求出的最小值，进而可得到的最小值．解答：解：A+B+C=π，且，因此，当且仅当，即A=2（B+C）时等号成立．故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的用法，应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”．14．（4分）|x2﹣1|dx=2．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据定积分的几何意义，将原式化成（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx，再利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，进行计算即可．解答：解：原式=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）==2．故答案为：2．点评：本题主要考查定积分的基本运算，解题关键是找出被积函数的原函数，利用区间去绝对值符号也是注意点，属于基础题．15．（4分）已知双曲线=1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．解答：解：双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线方程分别为y=±x，不妨设，同向，则渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率k′＜1，∴=e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则|OA|+|OB|=2|AB|，∵|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴=，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∠AOB，∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴=，即c2=a2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由=联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．16．（5分）若，z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y 进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈上的零点．考点：正弦函数的单调性；函数的零点；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求出f（x）的单调递增区间．（2）由f（x）=0求得sin（x﹣）=，可得x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，由此求得x的值，从而得到函数f（x）在x∈上的零点．解答：解：（1）函数f（x）=•=sin cos﹣=sinx﹣=sin（x﹣）﹣，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，可得函数的增区间为，k∈z．（2）由f（x）=sin（x﹣）﹣=0，求得sin（x﹣）=，∴x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，即x=2kπ+或x=2kπ+π，∴函数f（x）在x∈上的零点为和π．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的零点，属于中档题．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．综上，当k为奇数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为；当k为偶数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了二项式定理的应用，是中档题．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A 在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，﹣2）在l上，能求出点A的纵坐标．（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，∴b2=p+4…（9分）由，∴，…（11分）=将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，椭圆方程为．…（15分）点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．（13分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（2）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得出结论．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以min=g（x0）=x0，因为k＜对任意x＞1恒成立，所以k＜x0∈（3，4），所以k的最大值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．。
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)(Word版含解析)
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣12．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．443．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+4．（5分）设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．2C．1D．﹣25．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC中，锐角A满足sin4A﹣cos4A≤sinA﹣cosA，则（）A．0＜A≤B．0＜A≤C．≤A≤D．≤A≤7．（5分）斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且=，若••，则实数λ的值为（）A．2B．C．D．9．（5分）已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）的展开式中的常数项为．12．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=．13．（5分）由l，2，3，4，5，6，7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是．14．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是．15．（5分）已知圆O：x2+y2=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．17．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中点．（1）求AB与平面AEC所成角的正弦值；（2）若点F在线段PD上，二面角E﹣AC﹣F所成的角为θ，且tan，求的值．18．（12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则函数y=g （x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；（2）当x∈时，求证：；（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A （i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．19．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）试证明：n＞3（n∈N*）时，S n＞．20．（13分）如图，已知两点A（﹣，0）、B（，0），△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点M（2，0）作两条射线，分别交（Ⅰ）中所求轨迹于P、Q两点，且=0，求证：直线PQ必过定点．21．（13分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（）A．﹣2 B．2C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由复数的运算，化简可得复数为，由纯虚数的定义可得答案．解答：解：∵==，因为为纯虚数，故2﹣a=0且a+2≠0，解得a=2，故选B点评：本题考查纯虚数的概念，涉及复数代数形式的乘除运算，属基础题．2．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：设公差为d，由S8﹣S3=10 可得a1+5d=2，代入S11=11a1+=11（a1+5d ）运算求得结果．解答：解：设公差为d，由S8﹣S3=10 可得，8a1+﹣3a1﹣=10，故有a1+5d=2，∴S11=11a1+=11（a1+5d ）=22，故选C．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，求出a1+5d=2，是解题的关键，属于中档题．3．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是2015届高考的新增考点，不时出现在2015届高考试题中，应予以重视．4．（5分）设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．2C．1D．﹣2考点：定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：求出f（1）的值，然后利用f（f（1））=1，通过积分求解a的值．解答：解：f（1）=lg1=0，又f（f（1））=1，所以0+=1，a3=1，解得a=1．故选C．点评：本题考查定积分，分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的值的求法，考查计算能力．5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．（5分）△ABC中，锐角A满足sin4A﹣cos4A≤sinA﹣cosA，则（）A．0＜A≤B．0＜A≤C．≤A≤D．≤A≤考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原不等式转化为：sin2A﹣cos2A=（sinA﹣cosA）（sinA+cosA）≤sinA﹣cosA，依题意，可求得sinA+cosA∈（1，]，继而可得sinA﹣cosA≤0，于是可得答案．解答：解：∵sin4A﹣cos4A=（sin2A﹣cos2A）（sin2A+cos2A）=sin2A﹣cos2A，∴原不等式转化为：sin2A﹣cos2A=（sinA﹣cosA）（sinA+cosA）≤sinA﹣cosA，∴（sinA﹣cosA）≤0．又A∈（0，），A+∈（，），∴sinA+cosA=sin（A+）∈（1，]，∴sinA+cosA﹣1≥0，∴sinA﹣cosA≤0，∴0＜A≤．故选：B．点评：本题考查三角函数的化简求值，考察因式分解与辅助角公式的应用，求得sinA+cosA∈（1，]是关键，考查运算求解能力，是中档题．7．（5分）斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a2b2，求得关于的方程求得e．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a，b和c的关系．8．（5分）已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且=，若••，则实数λ的值为（）A．2B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将••利用已知三角形的三边对于向量表示，然后得到关于λ的等式解之．解答：解：因为等边△ABC中，点P在线段AB上，且=，由••，得（）=﹣λ，所以﹣+=﹣λ×，所以，解得λ=，由点P在线段AB上，且=，得λ＞0，所以λ=；故选C．点评：本题考查了向量的数量积运算，考查学生的运算能力．9．（5分）已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：如图，当直线在AC位置时，斜率k==，当直线和半圆相切时，由半径2=解得k值，即得实数k的取值范围．解答：解：由题意得，半圆y=和直线y=kx﹣2k+3有两个交点，又直线y=kx﹣2k+3过定点C（2，3），如图：当直线在AC位置时，斜率k==．当直线和半圆相切时，由半径2=，解得k=，故实数k的取值范围是（，]，故选：C．点评：本题考查方程有两个实数解的条件，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC位置时的斜率k值及切线CD的斜率，是解题的关键．10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；压轴题．分析：先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．解答：解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．点评：本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）的展开式中的常数项为15．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果．解答：解：∵的展开式的通项是=要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r=0，即r=1∴常数项是C51×3=15，故答案为：15点评：本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．12．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用等比数列的推广的通项公式将a4，a5，a7利用a2及公比表示，列出关于公比q 的方程，求出公比q，再利用通项公式求出首项．解答：解：设公比为q∵a5=a2q3，a4=a2q2，a7=a2q5又a5•a7=4a42，a2=1∴q8=4q4∵等比数列{a n}的公比为正数∴q=∴故答案为：．点评：解决等比数列、等差数列问题一般的思路是围绕通项及前n项和公式列出方程组，求解．即基本量法．13．（5分）由l，2，3，4，5，6，7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是2880．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：排列组合．分析：选两个偶数，并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素，再将这个复合元素和另外一个偶数插入到1，3，5，7进行全排列形成5个间隔中，根据分步计数原理可得答案解答：解：先选两个偶数，并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素，再将这个复合元素和另外一个偶数插入到1，3，5，7进行全排列形成5个间隔中，故有且仅有两个偶数相邻的个数有=2880故答案为：2880点评：本题主要考查了分步计数原理，以及相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空，属于中档题14．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是（﹣，2）．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合．原不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，分别画出函数y1=|x﹣t|，y2=2﹣x2，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限（x＜0）和y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当t≤0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切；当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围．解答：解：不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，令y1=|x﹣t|，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2﹣x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0，使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，两种临界情况，①当t≤0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x﹣t，联列方程y=x﹣t，y=2﹣x2，只有一个解；即x﹣t=2﹣x2，即x2+x﹣t﹣2=0，△=1+4t+8=0，得：t=﹣；此时y1恒大于等于y2，所以t=﹣取不到；所以﹣＜t≤0；②当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；y1=t﹣x与y轴的交点为（0，t），所以t＜2，又因为t＞0，所以0＜t＜2；综上，实数t的取值范围是：﹣＜t＜2；故答案为：（﹣，2）．点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．15．（5分）已知圆O：x2+y2=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为；．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：本题考查的是如何判断三角形的形状，由圆O：x2+y2=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，我们可以将线段AD、BD、CD都用变量x表示，再根据判断三角形形状的方法，构造不等式，解不等式即可得到x的取值范围解答：解：由已知易得A（﹣1，0），B（1，0），若在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C则﹣1＜x＜1，则AD=x+1，BD=x﹣1，CD=当x＜0时，BD为最大边，此时若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则BD2＜AD2+CD2即：（x﹣1）2＜（x+1）2+（1﹣x2）解得：同理可求：当x＞0时，又∵x=0时，AD=BD=CD=1，也满足要求综上x的取值范围为故答案为：点评：要判断三角形的形状，我们要先判断出三角形的最大边C，如果①c2＜a2+b2，则三角形为锐角三角形；②c2=a2+b2，则三角形为直角三角形；③c2＞a2+b2，则三角形为钝角三角形；三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的三角函数公式和诱导公式，对f（x）的分子分母进行化简整理，约分可得f（x）=2cos2x，由此即可算出的值；（2）由（1）的结论，得，再根据x的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到g（x）的最大值为，最小值为1．解答：解：（Ⅰ）∵cos2x=，cos22x=，sin（）=cos（）∴=…（4分）因此，…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=2cos2x，∴…（8分），可得…（10分）∴当时，，当x=0时．g min（x）=1即的最大值为，最小值为1．…（12分）点评：本题给出三角函数表达式，要求我们将其化简成最简形式并求函数g（x）的最大、最小值．着重考查了三角函数的诱导公式、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．17．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中点．（1）求AB与平面AEC所成角的正弦值；（2）若点F在线段PD上，二面角E﹣AC﹣F所成的角为θ，且tan，求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面AEC的一个法向量=（x，y，z），利用向量垂直的性质求出一个法向量，利用法向量与AB的夹角解答；（2）设，），=（0，），平面AFC的一个法向量为=（a，b，c），利用法向量与平面内向量的垂直关系，得到关于λ的等式解之．解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），E（0，，1），=（2，1，0），=（0，，1），=（2，0，0），设AB与平面AEC所成的角为α，平面AEC的一个法向量=（x，y，z），则，所以，取y=﹣2，=（1，﹣2，1），sinα=|cos＜＞|=；（2）设，则F（0，），=（0，），令平面AFC的一个法向量为=（a，b，c），则，即，取b=﹣2，得=（1，﹣2，λ），由tanθ=得cosθ==|cos＜＞|=，所以3λ2﹣10λ﹣5=0，所以λ=，又λ＞0，所以λ=，即．点评：本题考查了空间向量的运用解答线面角和面面角的有关问题，关键是适当的建立坐标系，正确写出所需向量的坐标，利用线面角、面面角的三角函数与平面的法向量夹角的关系解答，属于中档题．18．（12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则函数y=g （x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；（2）当x∈时，求证：；（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A （i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．解答：（1）∵，∴．由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称．（3分）（2）先证明f（x）在上是增函数，只要证明f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．设﹣∞＜x1＜x2＜a，则，∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．再由f（x）在上是增函数，得当x∈时，f（x）∈，即．（7分）（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意x∈A恒成立．∴方程无解，即方程（a+1）x=a2+a﹣1无解或有唯一解x=a．∴或由此得到a=﹣1（13分）点评：本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．19．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）试证明：n＞3（n∈N*）时，S n＞．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题；证明题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，由极值的定义，得f′（）=0，得a n+1=a n+2﹣n，由b n=2n﹣1•a n，则b n+1﹣b n=1，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用错位相减法求数列的和，注意解题步骤，运用等比数列求和公式即可得到；（3）运用二项式定理，展开2n=（1+1）n，即可得证．解答：（1）解：f′（x）=a n x+2﹣n﹣a n+1，由题意得f′（）=0，得a n+1=a n+2﹣n，由a n+1=a n+2﹣n，得2n a n+1﹣2n﹣1•a n=1，由b n=2n﹣1•a n，则b n+1﹣b n=1，则数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）×1=1+n﹣1=n；（2）解：由（1）得，a n=n•21﹣n，则S n=1•21﹣1+2×21﹣2+3×21﹣3+…+（n﹣1）×21﹣（n﹣1）+n•21﹣n，2S n=1×2+2×21﹣1+3×21﹣2+…+n•22﹣n，两式相减得，S n=1×2+1×21﹣1+1×21﹣2+1×21﹣3+…+1×21﹣（n﹣1）﹣n•21﹣n=﹣n•21﹣n=4﹣；（3）证明：由S n=4﹣=4﹣=4﹣n＞3时，S n＞4﹣=4﹣=4﹣=．点评：本题考查导数的运用：求极值，考查数列的通项公式的求法，注意构造数列，运用等差数列的通项公式和等比数列求和公式，考查错位相减求和，以及二项式定理用于证明不等式的方法，属于中档题和易错题．20．（13分）如图，已知两点A（﹣，0）、B（，0），△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点M（2，0）作两条射线，分别交（Ⅰ）中所求轨迹于P、Q两点，且=0，求证：直线PQ必过定点．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题意，根据平面几何知识可知C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），由|CA|﹣|CB|=|AD|﹣|BD|求出实半轴，结合b2=c2﹣a2求出b2，则C点的轨迹可求；（Ⅱ）设出直线PQ与x轴的交点，由此写出直线PQ所在直线方程，和双曲线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到P，Q两点的纵坐标的和与积，结合=0列式求出PQ与x轴交点的横坐标为定值．解答：解：（Ⅰ）设△ABC内切圆切AB边于点D，则．∴点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点），由a=2，c=，得．所以点C的方程为；（Ⅱ）设PQ：x=my+a（a＞2），代入，得（m2﹣4）y2+2amy+a2﹣4=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．∵=．∴．化简，得3a2﹣16a+20=0，解得a=2（舍去）或．故直线PQ必过定点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．21．（13分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈时，F'（x）≥0，所以F（x）在上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．。
2015年长沙市初中生毕业学业水平考试模拟试卷 数学(二)
2015年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷数 学（二）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．-1，0，2，-3这四个数中最大的是A ．-1B ．0C ．2D ．-32．“比a 的2倍大1的数”用代数式表示是A ．2(a ＋1)B ．2(a -1)C ．2a ＋1D ．2a -13．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．因式分解x 2y -4y 的正确结果是A ．y (x +2)(x -2)B ．y (x +4)(x -4)C ．y (x 2-4)D ．y (x -2)25．将点A (2，1)向左．．平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是 A ．(0，1) B ．(2，-1) C ．(4，1) D ．(2，3)6x 的取值范围为A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ≥12-D ．x ≤12- 7．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列结论一定正确的是A ．∠HGF = ∠GHEB ．∠GHE = ∠HEFC ．∠HEF = ∠EFGD ．∠HGF = ∠HEF8．已知3是关于x 的方程2x -a =1的解，则a 的值是A ．-5B ．5C ．7D ．29．五边形的外角和等于A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°10．若点A 的坐标为(6，3)，O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ＇，则点A ＇的坐标为A ．(3，-6)B ．(-3，6)C ．(-3，-6)D ．(3，6)第7题图 第12题图 第11题图11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A (-2,4)，B (4，2)，直线y =kx -2与直线AB有交点，则k 的值不可能是A ．-5B ．-13C ．3D ．5 12．如图，表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10．若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为A．22-B ．16π＋ C ．18 D ．19二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．一天有86 400秒，用科学记数法表示为 秒．14．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB =100°，则∠ACB = 度．15．点1(2)A y ，、2(3)B y ，是二次函数221y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小 关系为1y 2y .16．在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB =OB =4，则AD = .17．如果x 1与x 2的平均数是4，那么x 1＋1与x 2＋5的平均数是 ．18．如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）19．计算：101272cos30(3)2π-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭． 20．先化简，再求值：(x ＋1)2-(x ＋2)(x -2)x x 是整数．21．又到了暑假，学校组织老师分别到A 、B 、C 、D 四地旅游，学校按老师数量购买了前往各地的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：（1）若去D 地的车票占全部车票的10%，请求出D 地车票的数量，并补全统计图；（2）若学校采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么张老师抽到去A 地的概率是多少？（3）若有一张车票，王老师和李老师都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1、2、3、4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若王老师掷得着地一面的数字比李老师掷得着地一面的数字小，车票给王老师，否则给李老师．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？第18题图 第14题图22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的角平分线．（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．23．我校初三2班在学校商店购买一些学习用品用作奖励，第一次用32元买了4支水性笔和6本笔记本；第二次用56元买了同样的水性笔12支和笔记本8本.（1）求每支水性笔和每本笔记本的价格；（2）期中考试后，班主任拿出100元奖励基金交给班长，购买上述价格的水性笔和笔记本共30件作为奖品，奖给期中考试表现突出的同学，要求笔记本数不少于水性笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.24．如图，CD切⊙O于点C，作⊙O的直径AB．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径OA=3 cm，EC=4 cm，求GF的长．25．已知二次函数2(1)1(0)=-++>．y ax a x a（1）当a=1时，求二次函数2(1)1(0)=-++>的顶点坐标和对称轴；y ax a x a（2）二次函数2(1)1(0)y ax a x a=-++>与x轴的交点恒过一个定点，求出这个定点．（3）当二次函数2(1)100=-++>>时，x在什么范围内，y随x的增大而减小？y ax a x a()26．如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C（0，-2）．以AB为直径作⊙M，过AC作直线，P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AC交y轴于Q点．（1）求抛物线所对应的函数的解析式及直线AC的解析式；（2）当P点在抛物线上运动时，直线PQ与抛物线只有一个交点，求交点的坐标；（3）D是⊙M上一点，连接AD和CD，当△ACD的面积最大时，求D点的坐标，此时△ACD的面积是多少？。
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)(Word版含解析)
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）A．5B．6C．7D．84．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）A．4B．3C．2D．5．（5分）在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有2个零点的概率为（）A．B．1一C．D．l﹣6．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．8．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为39．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）﹣2α+2（α＞0），若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数α的取值范围是（）A．B．（0，]C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为．12．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi （其中x，y∈R，i为虚数单位），则x+y的值为．13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax+8，若f（5）+f′（5）=﹣5，则实数a=．14．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为．15．（5分）如图，直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB 于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．19．（13分）已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m构成首项为2，公差为﹣2的等差数列a m+1，a m+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，m∈N+，（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N+，都有a n+2m=a n成立．①当a27=时，求m的值；②记数列{a n}的前n项和为S n．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）解答：解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．点评：本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：流程图的概念．专题：图表型．分析：首先要读懂框图，按照所给的条件进行循环，当不满足条件框中的条件时，继续循环，知道满足条件时才结束循环，依次做下去，得到结果．解答：解：当T=1，n=1时，进入循环体，T=1×1=1，n=1+1=2，不满足条件，进入循环体，T=2，n=3，不满足条件，进入循环体，T=6，n=4，不满足条件，进入循环体，T=24，n=5，不满足条件，进入循环体，T=120，n=6，不满足条件，进入循环体，T=720，n=7，满足输出的结果是720，结束程序，得到a=7，故选C．点评：本题考查流程图的概念，考查读框图的能力，是一个基础题，近几年这种题目经常出现在2015届高考题目中，是一个每一年必出的题目．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）A．4B．3C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四棱锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．解答：解：由已知三视图我们可得：几何体为四棱锥，棱锥以俯视图为底面以侧视图高为高由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h=结合三视图中标识的其它数据，S底面=×（1+2）×2=3故V=×S底面×h=故选D．点评：本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键．5．（5分）在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有2个零点的概率为（）A．B．1一C．D．l﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出方程有解的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：在区间内随机取两个数分别记为a，b，则，对应的区域为正方形，面积为S=2π×2π=4π2，若f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有两个零点，则判别式△=4a2﹣4×4（π2﹣b2）＞0，即a2+b2＞π2，对应区域为圆的外部作出不等式组对应的平面区域如图：圆的面积为π×π2=π3，∴圆外部落在正方形内的面积S=4π2﹣π3，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=；故选B．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．6．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C 的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b．解答：解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax，∴，∴（2a+1）x=0，∴2a+1=0，即，∵g（x）=是奇函数，∴g（0）=1﹣b=0，∴b=1，∴a+b=，故选D．点评：本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0（0在该函数的定义域内）可以简化基本运算．8．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；压轴题．分析：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．解答：解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．点评：本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围．解答：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有令t==（﹣4，1）•（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即y=4x+t﹣7．故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9，当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为7﹣0+2=9，故t=则的取值范围是，故选C．点评：本题主要考查向量与线性规划问题相结合的问题，利用线性规划解决范围问题是常用方法，考查了线段的中点公式，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）﹣2α+2（α＞0），若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数α的取值范围是（）A．B．（0，]C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈时，f（x）=，值域是，值域是，∵存在x1、x2∈使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A点评：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为相交．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．解答：解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x﹣y+1=0，把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+=2，所以圆心坐标为（0，），半径r=，因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．故答案为：相交点评：此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．12．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi （其中x，y∈R，i为虚数单位），则x+y的值为8．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知得===5+3i=x+yi，由此能求出x+y=8．解答：解：∵在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi（其中x，y∈R，i为虚数单位），∴===5+3i=x+yi，∴x=5，y=3，x+y=8．故答案为：8．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数性质的合理运用．13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax+8，若f（5）+f′（5）=﹣5，则实数a=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由题意求得F（5）与F′（5），得到f（5）与f′（5），代入f（5）+f′（5）=﹣5求得a的值．解答：解：根据图象知，函数y=F（x）的图象与在点P处的切线交于点P，F（5）=f（5）+5=5a+8，得f（5）=5a+3，F′（5）为函数y=F（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴F′（5）=f′（5）+2=a，f′（5）=a﹣2，由f（5）+f′（5）=﹣5，得5a+3+a﹣2=﹣5，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．14．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为6．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y 的最小值．解答：解：∵，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥2=2=2=6，当且仅当2x=y=1时取等号．故答案为6．点评：本题考查了⇔=0，基本不等式的性质，属于基础题．15．（5分）如图，直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB 于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于．考点：抛物线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．解答：解：∵OD⊥AB，∴k OD•k AB=﹣1．又k OD=，∴k AB=﹣2，∴直线AB的方程为y=﹣2x+5．设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）=5x1x2﹣10（x1+x2）+25联立方程，消y可得4x2﹣x+25=0①∴x1+x2=，x1x2=，∴x1x2+y1y2=5×﹣10×+25=0，∴p=，当p=时，方程①成为8x2﹣45x+50=0显然此方程有解．∴p=，故答案为：．点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）利用系统抽样的特点，可确定其抽样比，第1组抽出的号码，得所有被抽出职工的号码．（2）由茎叶中图的体重数据，求出平均数为71，通过列举，利用古典概型概率公式，可得结果．解答：解：（1）由题意，第5组抽出的号码为22．因为22=5×（5﹣1）+2，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47（2）因为10名职工的平均体重为=（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，从10名职工中随机抽取两名体重不轻于71公斤的职工，共有10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）．故所求概率为：P（A）==．点评：本题主要考查茎叶图，从图中获取数据的能力，同时考查了古典概型的概率公式，是个基础题．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用已知5（a2+b2﹣c2）=3ab代入余弦定理公式求得cosC的值，利用同角三角函数关系求得sinC的值，进而利用二倍角公式求得cos2C的值；通过cosA求得sinA 的值，最后利用两角和公式取得sin（A+C）的值，进而取得sinB的值，求得B．（Ⅱ）利用正弦定理求得a和c的关系式，代入a﹣c=﹣1求得a和c，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．18．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）由已知可得△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．由点P在圆O所在平面上的正投影为点D，可得PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．得到DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．在Rt△DEB中，利用边角关系求出DE即可．解答：（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD=DB知，点D为AO的中点，又∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，由知，∠CAB=60°，∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD=，PD=DB=3，过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．∵PD⊥平面ABC，又CB⊂平面ABC，∴PD⊥CB，又PD∩DE=D，∴CB⊥平面PDE，又DF⊂平面PDE，∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，∴DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．在Rt△DEB中，DE=DBsin30°=，，．点评：熟练掌握等边三角形的判定与性质、正投影的意义、线面垂直的判定与性质定理、线面角的定义与作法、直角三角形的边角关系等是解题的关键．19．（13分）已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m构成首项为2，公差为﹣2的等差数列a m+1，a m+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，m∈N+，（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N+，都有a n+2m=a n成立．①当a27=时，求m的值；②记数列{a n}的前n项和为S n．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差等比数列通项公式分段求出即可；（2）①由a27==，得m≥6，从而有2km+m+6=27，k∈N，由此可求得m值；②先求S4m+1=2S2m+a1=，然后对不等式适当变形，根据函数单调性可作出判断；解答：解：（1）当1≤n≤m时，a n=2+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+4；当m+1≤n≤2m时，=；所以；（2）①a27==，所以m≥6，则2km+m+6=27，即（2k+1）m=21，k∈N，当k=0时，m=21；当k=1时，m=7；当k≥2时，m，所以m的取值为：7或21；②S4m+1=2S2m+a1=2+2=﹣2m2+6m+4﹣，S4m+1≥2即﹣2m2+6m+4﹣≥2，亦即，当m=3时，不等式为1成立，当m≥4时，﹣m2+3m+1＜0，而，不等式不成立，所以存在符合条件的m=3．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力，能力要求较高．20．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．21．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e ，）点评：本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．。
2015年中考数学模拟试卷(四)
2015年中考数学模拟试卷(四)一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
1.下列各式计算正确的是 ( D )A ．9＝±3B ．235+=C ．224246a a a +=D ．236()a a =2.如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是( B )A.πab 21B.πac 21C.πabD.πac 3.如图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径, 且∠AOC=50°，过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，则∠AOE 的度数为 ( D ) A ．65° B.70° C.75° D.80° 4.如果不等式组213(1)x x x m ->-⎧⎨<⎩的解集是2x <，那么m 的取值范围是（ D ）A 、m=2B 、m>2C 、m<2D 、m ≥25.下列命题：真命题的个数有（ B ）①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等;③方程1312112-=+--x x x 的解是0=x ；④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h 与注水时间t 关系的是( Ａ )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ7.现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明 掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x y ，），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为（ B ） A.118 B.112C.19D.168.已知直线211n y x n n =-+++（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为nS ，则=++++2011321S S S S （ B ）A ．20111005 B.20122011C.20112010D.40242011b主视 c 左视俯视a OA C BD E 第3题图t hOt hO t hO ht O深 水区 浅水区二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
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2016年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷
数 学（四）
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、
准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1()--π，|3|-，3中，最大的是
A B ．()--π C ．|3|- D ．3 2．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长可能是
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
3．下列运算正确的是
A ．x 3+x =2x 4
B ．a 2∙a 3=a 6
C ．(−2x 2)3=−8x 6
D ．(x +3y )(x −3y )=x 2−3y 2 4．抛物线y =2(x +1)2+1的顶点坐标是 A ．(1，1) B ．(1，−1) C ．(−1，1) D ．(−1，−1) 5．如图所示，直线m ∥n ，则∠α为
A ．70°
B ．55°
C ．50°
D ．30°
第5题图
第6题图
6．如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是
A ．A
B =DE B ．∠A =∠D
C ．BC =C
D D ．∠ACD =∠BCE
7．已知2
3
sin =α，则锐角α的度数是 A ．30° B ．37°
C ．45°
D ．60° 8．若x =5是关于x 的方程2x +3m −1=0的解，则m 的值为
A ．0
B ．−1
C ．−2
D ．−3
9．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，下表是几组鞋长与“鞋码”换算的对应数值（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）．设鞋长为x ，“鞋码”为y ，试判断点(x ，y )在下列哪个函数的图象上
A ．y =2x +10
B ．y =2x −10
C ．y =−2x +10
D ．y =−2x −10
10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0，3)，点B 的坐标是(−4，0)，将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF ，则点B 的对应点F 的坐标是 A ．(3，−1) B ．(3，3) C ．(−3，7) D ．(0，3)
第10题图
第12题图
11．给出下列3个结论：①边长相等的多边形内角都相等；②对角线互相垂直的平行四
边形是菱形；③圆心到直线的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．其中正确结论的个数有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
12．如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋3n (n ≠0)的交点的横坐标为－1，则关于x 的不等
式－x ＋m >nx ＋3n >0的整数解为
A ．−1
B ．−5
C ．−4
D ．−2
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．化简：12=_________．
14．函数x y -=1中自变量x 的取值范围是 ． 15．弧长为2π，半径是2的扇形的面积为 ．
16．“五一节”期间，杨老师一家自驾游去了离家170千米的某地．
右图是他们离家的距离y （千米）关于汽车行驶时间x （小时）
的函数图象，当他们离目的地还有40千米时，汽车一共行驶
第16题图
的时间是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形
的一组对边与x 轴平行，点P (2a ，a )是反比例函数x
k
y =（k >0）
的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于16，
则这个反比例函数的解析式为________________． 第17题图
，
形各边的中点，得，…如此进行下去，得到四边形是菱形；
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，
第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
1910
11()()2ta 2n60106--+︒．
20．先化简，再求值：22
41
(1)369
x x x x -÷+--+，其中x =1． 21．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，
然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复的试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x 的值大约是多少？
22．如图，⊙O 为△ABD 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，BC
为⊙O 的切线．
（1）求证：∠BAD =∠DBC ；
（2）若⊙O 的半径为3，BD ⊥OC ，且BD =BC ，求AD 的
长． 23．今年9月，湖南长沙橘子洲头的橘子又是大丰收．为了争取利润最大化，小明决定
从山东用甲车运苹果到长沙，再用该车运橘子到山东，每次车厢都刚好装满．已知甲车一次可以运20吨，每箱苹果的重量是橘子重量的两倍，所运的橘子比苹果多100箱．（1吨=1000千克） （1）每箱橘子重多少千克？
（2）小明决定从长沙运65吨橘子到山东．现有甲车、乙车若干辆，司机3名，且
乙车一次可以运30吨．若甲车每辆的运输费为2000元；乙车每辆的运输费为2500元，请帮小明求出最省钱的运输方案．
24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 、F 分别是AC 、BC
边上的点，且CE =AC
3
1，BF =BC 31
．
（1）求证：∠EDF =90°；
（2）若BC =6，AB =34，求DE 的长．
25．定义：若一次函数y =ax +b 与反比例函数x
c
y -=满足c b b a =，则称y =ax 2+bx +c 为一
次函数和反比例函数的“等比”函数． （1）试判断（需写出判断过程）一次函数y =x +b 与反比例函数x
y 9
-
=是否存在 “等比”函数？若存在，请写出它们的“等比”函数的解析式；
（2）若一次函数y =9x +b （b <0）与反比例函数x
c
y -=存在“等比”函数，且“等比”
函数的图象与x
c
y -=的图象的交点的横坐标为31-=x ，求反比例函数的解析
式；
（3）若一次函数y =ax +b 与反比例函数x
c
y -=（其中a >0，c >0，a =3b ）存在“等比”
函数，且y =ax +b 的图象与“等比”函数图象有两个交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，试判断“等比”函数图象上是否存在一点P (x ，y )（其中x 1<x <x 2），使得△ABP 的面积最大？若存在，请用c 表示△ABP 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
26．抛物线L ：y =ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的顶点为原点，且经过点A (a 2，4
1
)．
直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于B (x 1，y 2)、C (x 2，y 2)两点（其中
x 1<x 2）．有直线l ：y =−1，AM ⊥l ，垂足为M ，连接AF ．
（1）请直接写出抛物线L 的解析式，并探究AM 与AF 的数量关系； （2）求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切；
（3）将抛物线L 和点F 都向右平移2
3
个单位后，得到抛物线L 1和点F 1，P 是抛物
线L 1上的一动点，过点P 作PK ⊥l 于点K ，连接P A ，求||PK PA -的最大值，
并求出此时点P 的坐标．。