函数的图象变换2(1)
高中数学人教B版必修一课件2.x函数图像变换
(2)不能将解析式化简为熟悉的函数时，那么 就先分析函数的定义域、值域、与坐标轴交 点、奇偶性、单调性等，从总体把握曲线的 范围和变化趋势，然后列表描点作图。
函数图像变换：
1，平移变换
(1) y=f(x) y f(x+a)
上加下减
例：画出y 1 +3 的函数图像 x1
例：画出y 1 3 的函数图像 x1
2，对称变换 (1) y=f(x) y f(x) ;将图像关于x轴作对称
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例，由y= 1 得y= 1
x+1
x+1
(2) y=f(x) y f( x) ; 将图像关于y轴作对称
a 0时,左移| a | 个单位 a<0时,右移| a | 个单位
左加右减
例,由y=x2 画出y ( x 2)2的函数图像
例,由y=x2 画出y ( x 2)2的函数图像
练习：画出y 1 的函数图像 x+3
(2) y=f(x) y f(x)+b
b 0时,上移| b | 个单位 b<0时,下移| b | 个单位
高中数学课件
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函数图象变换 什么是函数图象？
点的集合{(x,y)|y=f(x),x∈A}叫做f(x)的图象。
函数图象能够形象直观地刻画出变量y与x的 关系；定义域、值域、单调性，奇偶性等在 图象上一目了然。
所以，函数图象是研究函数的重要工具， 掌握函数图象是学习函数的捷径。
通过分析函数的特征画函数图象：
(2) y=f(x) y | f(x)| ;
二次函数图象的变换
二次函数图象的变换这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.二次函数图象的平移变换二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后a 的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴.一般地,二次函数k ax y +=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向上平移k 个单位长度得到的;二次函数k ax y -=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向下平移k 个单位长度得到的.抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴,顶点坐标是()k ,0.如例图（1）所示.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数2ax y =的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线h x =,顶点坐标是()0,h .如例图（2）所示.一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数2ax y =的图象先沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位长度,再向上（0>k ）或向下（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =,顶点坐标是()k h ,.如下页例图所示.二次函数图象的对称变换如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于x 轴对称,与y 轴的交点关于x 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值互为相反数.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2;②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称.如例图（3）所示.xy y = x 2 ()2 1y = x 2 ()2 + 1图 （3）O–1–21234–1–2–3–41234如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大小相同,与y 轴的交点相同,对称轴关于y 轴对称,顶点坐标关于y 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值相等.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于y 轴对称.如例图（4）所示.图 （4）x 2 )2 + 1二次函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对二次函数c bx ax y ++=2图象的翻折变换,可以得到函数c bx ax y ++=2的图象和函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数c bx ax y ++=2的图象如下页例图（5）所示.先画出二次函数c bx ax y ++=2的图象,保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧,即可得到函数c x b ax c x b x a y ++=++=22的图象.如下页例图（6）所示.图 （5）图 （6）高中知识点在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可. 例题讲解例1. 把抛物线2x y -=向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为【 】（A ）()312---=x y （B ）()312-+-=x y（C ）()312+--=x y （D ）()312++-=x y分析 将函数的图象左右平移时,其解析式将发生有规律的变化——遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”的原则.将二次函数的图象左右平移,其图象的开口方向和开口大小保持不变,所以平移前后a 的值不变,改变的是图象的顶点坐标和对称轴.其中顶点坐标的改变遵循“左减右加”的原则.解析 由题意可知,平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .另外,抛物线2x y -=的顶点坐标为()0,0,平移后函数图象的顶点坐标为()3,1-,所以由顶点式可知平移后抛物线的解析式为()312++-=x y .所以选择答案【 D 】.例2. 函数()1122---=x y 的图象可由函数()3222++-=x y 的图象平移得到,平移的方法是【 】（A ）先向右平移3个单位,再向下平移4个单位 （B ）先向右平移3个单位,再向上平移4个单位 （C ）先向左平移3个单位,再向下平移4个单位 （D ）先向左平移3个单位,再向上平移4个单位分析 首先,要确定函数()3222++-=x y 的图象是平移的对象,平移后得到抛物线()1122---=x y .解析将函数()3222++-=x y 的图象先向右平移3个单位,得到函数()3122+--=x y 的图象,再向下平移4个单位,得到函数()1122---=x y 的图象.∴选择答案【 A 】.例3. 抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得到抛物线x x y 422+-=,则平移前抛物线的解析式为________________.分析 把抛物线x x y 422+-=向左平移3个单位,在向上平移2个单位,即可得到平移前的抛物线.解析 ∵()2124222+--=+-=x x x y∴平移前抛物线的解析式为()()4222231222++-=+++--=x x y .即4822---=x x y .例4. 已知二次函数()1322+-=x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线()k h x a y +-=2关于x 轴对称的抛物线为()k h x a y ---=2;（2）抛物线()k h x a y +-=2关于y 轴对称的抛物线为()k h x a y ++=2.解析 （1）()1322---=x y ;（2）()1322++=x y .例5. 已知二次函数122--=x x y .（1）图象关于x 轴对称的抛物线的解析式为________________; （2）图象关于y 轴对称的抛物线的解析式为________________.分析 （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为c bx ax y ---=2;（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线为c bx ax y +-=2. 解析 （1）122++-=x x y ;（2）122-+=x x y .例6. 已知二次函数5432+-=x x y .（1）图象关于x 轴对称后再关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________; （2）图象关于y 轴对称后再关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________. 分析 （1）（2）中的两条抛物线关于原点对称:若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为()k h x a y -+-=2;若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于原点对称的二次函数的解析式为c bx ax y -+-=2. 解析 （1）5432---=x x y ; （2）5432---=x x y .例7. 画出函数12-=x y 的图象.分析 把二次函数12-=x y 的图象沿x 轴进行翻折变换,即可得到函数12-=x y 的图象,具体做法是:先画出二次函数12-=x y 的图象,保留x 轴及其上方的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数12-=x y 的图象. 解析 函数12-=x y 的图象如下图所示.。
九年级数学辅导： 二次函数图象的变换
千 变 万 化——二次函数图象的变换【知识要点】1．二次函数的表达式：①一般式：2y ax bx c =++ (a ≠0)②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律① 二次函数2(0)y ax bx ca =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的2y ax =的图象顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。
Ⅰ.沿x轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =-Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =-3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=24．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ）例1．（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？（2）若抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第7课时 函数的图象精品课件
答案： D
3．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所 有的点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析： 由y＝2x得到y＝2x－3－1，只需向右平移3个单位，向下平 移1个单位． 答案： A
1．(2010·重庆卷)函数f(x)＝4x2＋x 1的图象(
)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析： ∵f(x)＝4x2＋x 1＝2x＋2－x，∴f(－x)＝f(x)，是偶函数． 答案： D
2．(2009·北京卷)为了得到函数y＝lg
x＋3 10
的图象，只需把函数y＝
答案： A
【变式训练】 3.若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、 一解、无解？
解析： 原方程化为：a＝－x2＋5x－3，① 作出函数 y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图， 显然该图象与直线 y＝a 的交点的横坐标是方程①的解， 由图可知，当 3＜a＜143时，原方程有两解； 当 1＜a≤3 或 a＝143时，原方程有一解； 当 a＞143或 a≤1 时，原方程无解．
分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
lg x x≥1 解析： (1)y＝－lg x 0＜x＜1. 图象如图①. (2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.
x2－2x－1 x≥0 (3)y＝x2＋2x－1 x＜0 .图象如图③.
有两个不同实根，则a的取值范围为( )
第8讲 必修1第二章 函数的图像(教师版)
教学课题 第8讲人教版必修1第二章 函数的图像教学目标 知识目标：1、掌握描点作图；2、理解图像的变换规律；能力目标：通过函数的图像培养学生数形结合的能力，锻炼学生数学理性思维。
教学重点与难点重点：图像的平移和变换难点：对图像的平移和变换的基本技巧教学过程 课堂导学 知识点梳理1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换①y=f (x ) ――――――――――――――――――――→a>1，横坐标伸长为原来的a 倍，纵坐标不变0<a<1，横坐标缩短为原来的a 倍，纵坐标不变 y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是 ．答案 (0,1]解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 考题分类【考点1】作函数图像★例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y ＝|x 2－2x －1|的图象．解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥1＋2或x ≤1－2)－x 2＋2x ＋1 (1－2<x <1＋2)如下图点评 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx (m >0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．式训练1 作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x ＋3.解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94.∴y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94，x ≥2，－(x －12)2＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示． 【考点2】识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()式训练3 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示． (3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)． 典型例题分析3．高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 (2015·北京海淀区期中测试)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )思维点拨 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得y ＝－f (x ＋1)的图象．解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定． 三、函数图象的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察．(2)利用函数f (x )，g (x )图象的位置确定a 的范围． 解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察得到，f (x )为奇函数，递减区间是(－1,1)． (2)如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 (1)C (2)[－1，＋∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 6.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是．答案 (2,8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6.8．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |， x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝ . 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)9．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C.10．(2015·安徽)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是() A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0答案 C。
(完整版)高中的常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x ）=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x ）的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0，b ∈R ）1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k ｜越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域:R 值域:R单调性：当k 〉0时 ；当k<0时奇 偶 性：当b =0时，函数f （x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x ）没有奇偶性； 反 函 数:有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候)。
补充：反函数定义：例题:定义在r y=f （x ）； y=g （x ）都有反函数,且f （x-1）和g —1(x ）函数的图像关于y=x 对称，若f （4）=周 期 性:无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：xy b Of (x )=bx yOf (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f (x ）=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远） 图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k 〉0时，函数f (x ）的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x ）的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性:无奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积)—-入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1）、y=1/（x —2）和y=1/x —2的图像移动比较 2)、y=1/(—x)和y=—（1/x)图像移动比较3）、f （x ）= dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0）（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容)二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当0<a 时。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
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解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
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类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
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续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
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关于 轴
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为相反数，
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系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
函数的对称性与函数的图象变换总结
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
b o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x), 则函数图像关于
点( a+b ,0 ) 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x), 则函数图像关于点 (
a+b ,C ) 对称 2
轴对称
函数图像关于直线x=0对称
中心对称性
函数图像关于(0,0)中心对称
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=0对称
Y
从“数”的角度看， f(-x)=f(x)
f (1) f (1) f (2) f (2) f ( x) f ( x)
-x
-x
o
x a
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看， y=f(x)图像关于(a,0)中心对称
y
从”数”的角度看， f(x)=-f(2a-x)
f(a-x)=-f(a+x)
b
a-x o
a
a+xx源自类比探究中心对称性
y=f(x)图像关于(a,b)中心对称
y
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
第二章 第7讲 函数的图象
第7讲 函数的图象基础知识整合1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、□01描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )；y ＝f (x )――――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝□02f (x )＋b . (2)伸缩变换(3)对称变换y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称y ＝□04－f (－x )． (4)翻折变换去掉y轴左边图，保留y轴右边图y＝f(x)――――――――――→y＝f(|x|)；作其关于y轴对称的图象留下x轴上方图y＝f(x)――――――――――→y＝|f(x)|.将x轴下方图翻折上去1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．1．(2019·昆明模拟)函数y＝x2－2|x|的图象是()答案 B解析由y＝x2－2|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，排除C.当x≥0时，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.即当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－1，排除A，D，故选B.2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C解析 由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >0时，y ＝f (|x |)＝f (x )，其图象在y 轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B ，当x >0时，对应的函数是y ＝f (x )，显然B 错误；对于D ，当x <0时，y ＝－f (－x )，其图象在y 轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C 正确．3．(2018·四川模拟)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )答案 C解析 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错误；当x <0时，y >0，所以B 错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x →＋∞时，y →0，所以D 错误．故选C.4.(2019·宁夏模拟)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )答案 A解析 函数f (x )＝2x ＋sin x 是奇函数，故其图象关于原点对称，排除B ；又当0<x <π2时，函数值为正，仅有A 满足，故选A.5．(2019·梅州模拟)函数f (x )＝x ＋ln xx 2的大致图象是( )答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当x →0时，f (x )<0，排除C ，D ；当x →＋∞时，f (x )>0，排除A ，故选B.核心考向突破考向一 函数图象的画法 例1 作出下列函数的图象：(1)y ＝|x －2|·(x ＋2)；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≥2，－x 2＋4，x <2，其图象如图(1)实线所示．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(2)所示．(3)原函数解析式可化为y ＝2＋1x －1，故函数图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)所示．(4)因为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图(4)所示．触类旁通画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接画出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.即时训练 1.作出下列各函数的图象： (1)y ＝x －|x －1|；(2)y ＝|x 2－4x ＋3|； (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(4)y ＝|log 2x －1|.解 (1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，2x －1，x <1，可见其图象是由两条射线组成，如图(1)所示．(2)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥3或x ≤1，－x 2＋4x －3，1<x <3，图象如图(2)所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图(3)实线部分．(4)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图(4)所示．考向二 识图与辨图角度1 知式选图例2 (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x －e xx 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故不选A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴不选D ；∵f ′(x )＝(e x ＋e －x )x 2－(e x －e －x )2xx 4＝(x －2)e x ＋(x ＋2)e －x x 3，∴当x >2时，f ′(x )>0，∴不选C.因此选B. 角度2 知图选式例3 (2018·太原模拟)函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2D ．f (x )＝x cos x 答案 D解析 函数为奇函数，排除C ；函数f (x )＝x ＋sin x 只有一个零点，排除A ；B 选项中x ≠0，所以B 不正确，选D.触类旁通函数图象的识辨(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.即时训练 2.(2018·浙江高考)函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )答案 D解析 设f (x )＝2|x |sin2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除A ，B ；令f (x )＝0，所以sin2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除C.故选D.3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x答案 B解析 (特殊值法)当x ＝1时，由图象知y >0，而C ，D 中y <0，故排除C ，D ；又当x ＝110时，由图象知y >0，而A 中y ＝110＋lg 110＝－910<0，排除A.故选B.考向三 函数图象的应用例4 (1)(2019·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a >1.(2)(2018·天津高考)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．答案 (4,8)解析 由题可设函数g (x )＝f (x )－ax＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，当x ≤0时，Δ1＝a 2－4a ，当x >0时，Δ2＝a 2－8a .根据题目条件可知a >0时，函数g (x )恰有2个不同的零点，可分以下三种情况：①当⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝0，Δ2＝0时，解得a ＝0，不满足条件a >0，此时无解；②当⎩⎨⎧ Δ1>0，Δ2<0时，解得4<a <8，此时函数g (x )的两个零点均为负数；③当⎩⎨⎧Δ1<0，Δ2>0时，此时无解．综上可得a 的取值范围是4<a <8.即时训练 4.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．5．(2018·陕西模拟)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,2)解析 函数y ＝|x 2－1|x －1的定义域为{x |x ≠1}，所以当x >1时，y ＝x ＋1，当－1<x <1时，y ＝－x －1，当x ≤－1时，y ＝x ＋1，图象如图所示，由图象可知当0<k <2且k ≠1时两函数的图象恰有两个交点，所以实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．[特殊点法]1．(2019·北师大附中模拟)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )答案 C解析 当x ＝0时，函数y 取得最大值ecos0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cosπ＝1e .可排除A ，B ，D ，选C.答题启示使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．对点训练函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 令f (x )＝x cos x ＋sin x ，则有f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B 中的图象不关于原点对称，∴排除B ；当x ＝π2时，y ＝1，而由C 中图象知当x ＝π2时，y ≠1，∴排除C ；当x ＝π时，y ＝－π，而A 中，当x ＝π时，y >0，∴排除A.故选D.[性质检验法]2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案 D解析 当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′>0，排除C.故选D. 答题启示利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．对点训练(2019·沧州七校联考)函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )答案 B解析 因为f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x 在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.[图象变换法]3．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )答案 B解析 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.答题启示有关函数y ＝f (x )与函数y ＝af (bx ＋c )＋h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．对点训练已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 y ＝f (x )――――――――――→作关于y 轴对称的图象y ＝f (－x ) ――――――――――→向右平移2个单位y ＝f (2－x )――――――――――→作关于x 轴对称的图象y ＝－f (2－x )．选B.。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节 函数的图象)
第五节 函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f x 整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． 考点一 作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二 函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[解析] 法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.[答案] D [解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三 函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以不等式f x－f －xx<0可化为f xx<0， 即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示． 所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示， 由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)， 所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.B 级1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1. 令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1， 当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。
人教A版高中数学必修第一册 正弦函数、余弦函数的图像 课件(2)(共27张PPT)
x cosx - cosx
0
2
1
0
-1
0
y 1
o
2
2
-1
3
2
2
-1
0
1
1
0
-1
y=cosx,x[0, 2]
3
2
x
2
延伸探究1：如何利用y=sinx,x[0, 2]的图象, 得到y=1+sinx,x[0, 2]的图象？
y 2
1
o
2
2
-1
y=1+sinx,x[0, 2]
3
2
x
2
y=sinx,x[0, 2]
6 x
小试牛刀
123 4 5
1.用五点法画 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( A )
A.π6，12
B.π2，1
C.(π，0)
D.(2π，0)
解析： 易知π6，12不是关键点.
解析答案
2.下列图象中,是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是( D)
123 4 5
知识清单
1.利用单位圆正弦函数定义来画图.（几何作图）
y
1
..
.o1 .
..
A
o
/2
.
3/2 2 x
-1
函数y=sinx,x[0,2]的图象
2.定义域R内正弦函数的图象
y
1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y=sinx xR
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲线
函数图象变换 (2)
函数图象与变换一、知识梳理：1、函数y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x))的点构成的;要证明点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,只须证明b=f(a);2、画图象的方法——描点法和图象变换法．要掌握这两种方法；由函数解析式，用描点法作图象应①化简解析式;②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等，③选算对应值，列表描点；3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系，常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等(1)平移变换函数y=f(x+a)(a≠0)的图象——把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|；函数y=f(x)+b(b≠0)的图象——把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|函数y=f(x+a)+b(b≠0)的图象呢？函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后得函数y=f(x-h)+k(2)伸缩变换函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象——把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍；函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象——把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）为原来的1/ω；说出y=Asin(ωx+φ)与y=sinx之间的关系——(3)对称变换函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称（即把（x,y）换成（-x,y））；函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；(即把（x,y）换成（x,-y））函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称(即把（x,y）换成（-x,-y））；函数y=f(|x|)的图象——把y=f(x)在y轴右方的图象换成y轴左边的对称图形即可；函数y=|f(x)|的图象——把y=f(x)的图象在x轴下方的翻折到x轴上方而得到．4、奇偶函数图象的对称性，二、自我检测1、若把函数y=f(x)的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，则函数y=f (x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为.y=f(x-1)+22、设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关系为关于对称直线x=1对称3.、方程f(x,y)=0的曲线过点（2，4），则方程f(2－x,y)=0的曲线必过点（即把(x,y)换成(2-x,y)；图象关于x=1对称；或2-x=2,y=0。
正弦函数图象变换(2)
说出下列函数图象之间是怎样变化的：
(1) y sin x y sin( x ); 6 1 (2) y sin x y sin( x ); 3 2 3 (3) y cos （x ） y 3cos( x ); 6 6 1 (4) y sin x y 2sin( x ). 3 6
思考：为了得到函数y sin 2 x 的图象，只需将 3
函数y sin(2 x )的图象怎样变换？ 6 sin(2 x ) sin 2 x sin(2 x ) sin 2 x 3 6 6 12 1 练习： (1)为了得到函数y sin x 的图象，只需将 6 2 1 函数y sin( x )的图象怎样变换？ 2 3 (2)为了得到函数y cos 2 x 的图象，只需将 4 函数y cos(2 x )的图象怎样变换？ 4
4
)
导学案：
例3. 为了得到函数y sin 2 x 的图象，可以将函数 6 y cos 2 x的图象( C )
A. 向右平移 C. 向右平移
6 3
个单位长度 个单位长度
B. 向左平移
6
个单位长度 个单位长度
D. 向左平移
3
检测（十二）：
1 1 7. 要得到y sin x 的图象，需将函数y cos x 3 2 2 11 的图象上所有的点至少向左平移 个单位长度.
3
3 3 2倍，则所得函数的解析式为 y sin( . x ) 2 4
（一）根据图象变换求解析式
(3)把函数y sin 5 x 的图象向右平移 个单位 2 4 长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 7 1 ) 倍，则所得函数的解析式为 y sin(10 . x 2 4
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的图象
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.7函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(×)题组二教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于()A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案C 解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图象是函数y 2，x <0，－1，x ≥0的图象的是()答案C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y ＝解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是()答案D 解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x 0，1e 上单调递减，在区间1e，＋∞ D.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝12x 在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B 解析因为函数g (x )＝12为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()答案D 解析令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x －e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C 解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.命题点2解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为．答案－π2，－1∪1，π2解析当x ∈0，π2y ＝cos x >0.当x ∈π2，4y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x<0－π2，－1，所以f (x )cos x<0－π2，－1∪1，π2命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数f (x )12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是．答案(0,1]解析作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．答案解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案C 解析画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()答案B 解析当x ∈0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈π4，3π4时，1＋5，22.∵22<1＋5，∴D ，故选B.(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为()答案B 解析∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()答案D 解析方法一先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3(1)已知函数f (x )|，x ≤m ，2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是．答案(3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin π2x－12log x<0的整数解的个数为．答案2解析不等式3sin π2x12log x<0，即3sinπ2x<12log x.设f(x)＝3sinπ2x，g(x)＝12log x，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sin π2x12log x<0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是．答案(2,2021)解析函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021.1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是()答案C解析当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为()答案A解析先作出函数f(x)＝log a x(0<a<1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.4.若函数f(x)ax＋b，x<－1，ln(x＋a)，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2答案C解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)2x＋5，x<－1，ln(x＋2)，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)2－x－1，x≤0，f x－1)，x>0，若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为() A．(－∞，1)B．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案A解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案{x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0>1，x )≤0<1，x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝.答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }，a ≤b ，，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为．答案(4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )2(1－x )＋1，－1≤x <0，3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是．答案[1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )2＋2x －1，x ≥0，2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是()A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案D解析函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是．答案解析f (x )＋1x －1，x >1，1＋11－x，x <1，g (x )＋x ，x ≥0，，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x －∞，5－12∪1＋52，＋∞15．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13logx ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案－∞，74∪94，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞16．已知函数f (x )(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，求实数k 的取值范围．解由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k ，1 6.。
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p 3
)
-2-
函数 y 3 sin( 2 x ) 的图象，可以看作是把 3 的图象上所有的点纵坐标伸长到 y sin( 2 x ) 3 原来的2倍（横坐标不变）而得到的.
数学选修4-4 坐标系与参数方程
用五点法作出函数 y
1 2
sin( 2 x
)
在一个周期内
的图象的
y
p
3
)
2y sin( 2 x
7 p 5p
3
)
-
po p p 6
12
6
π
2π
x
12 3 2
-2-
y = 2 sin(2x +
p 3
)
数学选修4-4 坐标系与参数方程
y
2y sin( 2 x
7 p 5p
3
)
-
po p p 6
12
6
π
2π
x
12 3 2
y = 2 sin(2x +
数学选修4-4 坐标系与参数方程
函数 y = 2 sin(2x + ) 的周期是多少？如何用 3 “五点法”画出该函数在一个周期内的图象？
y
p
2-
7 p 5p 12 6
-
po p p 6 12 3 2
π
2π
x
y = 2 sin(2x +
p 3
)
-2-
数学选修4-4 坐标系与参数方程
比较函数y = 2 sin(2x + )与函数 y sin( 2 x 3 的图象的形状和位置，你有什么发现？
数学选修4-4 坐标系与参数方程
一般地,对任意的(＞0)，函数 y sin( x ) 的图象是由函数 y sin( x )的图象经过怎样的 变换而得到的？
函数 y A sin( x ) 的图象，不仅受 、 的影 响，而且受A的影响，对此，我们再作进一步探究.
一般地，对任意的A（A＞0且A≠1），函数 y A sin( x ) 的图象是由函数 y sin( x ) 的图象经过怎样的变换而得到的？
函数 y A sin( x ) 的图象，可以看作是把函 数 y sin( x )的图象上所有点的纵坐标伸长 （当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的.
7 p 5p 12 6
3
)
-
po p p 6
12 3
π
1 2
2π
x
2
-1-
y =
sin(2x +
p 3
)
函数 y 原来的
1
sin( 2 x
3
)的图象，可以看作是把
y sin( 2 x )的图象上所有的点纵坐标缩短到 3 1
2
倍（横坐标不变）而得到的.
2
数学选修4-4 坐标系与参数方程
数学选修4-4 坐标系与参数方程
例1 说明函数 y 2 sin( x ) 的图象是由函数 3 6 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？
1
数学选修4-4 坐标系与参数方程
例2 如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答 y/cm 下列问题： ⑴ 这个简谐运动的 振幅、周期与频率各 是多少？
数学选修4-4 坐标系与参数方程
上述变换称为振幅变换，据此理论，函数
y 3 2 sin( 3 x
4
)的图象是由函数 y sin( 3 x
4
)
的图象经过怎样的变换而得到的？
数学选修4-4 坐标系与参数方程
将函数 y sin x 的图象经过几次变换，可以得到 函数 y 3 sin( 2 x ) 的图象？
第一章
三角函数
1.3.3 函数 y A sin( x ) 的图象
一般地，对任意的( ≠0),函数 y sin( x 的图 ) 象是由函数 y sin x的图象经过怎样的变换而得 到的？
一般地，对任意的( >0),函数 y sin( x) 的图象 是由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到 的？
3
y sin x
纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标缩短到原来的 左移
p 6
1 2
y = 3 sin x
y = 3 sin 2x
p 3 )
y = 3 sin(2x +
数学选修4-4 坐标系与参数方程
物理中,简谐运动的图象就是函数 y A sin( x ) ， 0, 的图象，其中A＞0， ＞0.描述简谐运动 x 的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你 知道这些物理量分别是指那些数据以及各自的含义 吗？
的图象，比较它与函数
形状和位置，你又有什么发现？
y
3 y sin( 2 x ) 3
1-
y sin( 2 x
7 p 5p 12 6
3
)
-
po p p 6
12 3
π
1 2
2π
x
2
-1-
y =
sin(2x +
p 3
)
数学选修4-4 坐标系与参数方程
y
1-
y sin( 2 x
2.用“变换法”作函数 y A sin( x ) 的图 象,其作图过程较复杂,不便于操作,在一般情况 下,常用“五点法”作图.
数学选修4-4 坐标系与参数方程
3.通过平移,将函数 y A sin x 的图象变换为 的图象,其平移单位是 . y A sin( x )
2 A E
0.4
O
-2
B
0.8 D
1.2
F
x/s
⑵写出这个简谐运动 的表达式.
C
数学选修4-4 坐标系与参数方程
1.函数 y A sin( x ) (A＞0， ＞0)的图象, 可以由函数 y sin x 的图象通过三次变换而得到， 在实际应用中，一般按“左右平移→横向伸缩→ 纵向伸缩”的次序进行.
y sin( x ) 的图象；然后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的A倍,就得到函数 y A sin( x )
1
的图象.
数学选修4-4 坐标系与参数方程
若将函数 y sin x 的图象先作振幅变换，再作周 期变换，然后作平移变换得到函数 y 3 sin( 2 x ) 的图象，具体如何操作？
4.若已知函数 y A sin( x )的图象及有关 数字特征，则可以求出函数的解析式.
数学选修4-4 坐标系与参数方程
3
你能设计一个变换过程完成上述变换吗？ 左移
p 3
1 2
y sin x
y = sin(x +
p 3
)
p 3 ) p 3
横坐标缩短到原来的
y = sin(2x +
纵坐标伸长到原来的3倍
y = 3 sin(2x +
数学选修4-4 坐标系与参数方程
)
一般地，函数 y A sin( x ) (A＞0， ＞0)的 图象，可以由函数 y sin x 的图象经过怎样的变 换而得到？ 先把函数 y sin x 的图象向左(右)平移| |个单 位长度，得到函数 y sin( x )的图象；再把曲 线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数