第02讲 曲线运动的描述

R是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率. 是圆的半径， 则是质点做圆周运动的速率. 如果圆周运动的切向加速度为 如果圆周运动的切向加速度为0，就是匀速圆周运动. 切向加速度为0 就是匀速圆周运动 匀速圆周运动.
二 圆周运动的角量描述 1 极坐标系 以圆心O为极点， 以圆心O为极点，沿着任意 方向引出一条线作为极轴， 方向引出一条线作为极轴， 极坐标系. 就建立了极坐标系 就建立了极坐标系. 2 角位置θ 角位置θ 矢径
τˆ
——切向加速度 切向加速度
O
v a
P
加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧. 加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧
4 质点的加速度
v v1 t时刻 时刻: 时刻
t+∆t时刻 时刻: 时刻
v v2
v v2
vC v2 v ∆vτ
P2
v ∆v
D
v v1 ∆vn
Bv
AC上截取 上截取AD=AB, 连接 连接BD. 上截取
v an
= 8.36m ⋅ s − 2
y
v aτ v g
= 5.12m ⋅ s − 2
例题2 质点在oxy平面内运动 平面内运动,其运动方程为 例题 质点在 平面内运动 其运动方程为 v ˆ r = 2ti + (19 − 2t 2 ) ˆ m j 质点的轨迹方程; 求:(1) 质点的轨迹方程 时间内的平均速; (2) 在t1=1.00s到t2=2.00s时间内的平均速 到 时间内的平均速 (3) t1=1.00s时的速度及切向和法向加速度 时的速度及切向和法向加速度. 时的速度及切向和法向加速度 解： (1)由参数方程 (1)由参数方程 消去t得质点的轨迹方程: 消去 得质点的轨迹方程: 得质点的轨迹方程
an = v = a 2 − aτ2 R
2
v 2 a = a = aτ2 + an
τˆ
dθ
ˆ dτˆ = τˆ dθ n
dτˆ
——法向加速度 法向加速度
aτ = dv dt
2 2 v = vx + v y + vz2
自然坐标系中： 直角坐标系中： 自然坐标系中： 直角坐标系中：
d 2 s v = ds aτ = 2 dt dt
v 为恒矢量， a 为恒矢量，它一定作匀变速
例题1 一球以30m·s-1的速度水平抛出，试求5s 例题 一球以 的速度水平抛出，试求 钟后加速度的切向分量和法向分量。 钟后加速度的切向分量和法向分量。 由题意可知，小球作平抛运动， 解：由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为 1 2 x = v0 t y = gt 2 速度在坐标轴上方向总是指向曲线凹进去的一侧. 加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧
对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是： 对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是： （A）切向加速度必不为零； ）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； ）法向加速度必不为零（拐点处除外）； C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因 此法向加速度必为零； 此法向加速度必为零； ）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E）若物体的加速度 ） 率运动 .
一 圆周运动的线量描述 圆周运动是一种特殊的曲线运动， 圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线 运动的描述完全适用于圆周运动的描述。 运动的描述完全适用于圆周运动的描述。 用平面自然坐标系描述： 用平面自然坐标系描述： 位置 速度 加速度 s = s(t)
v ds v = τˆ dt
2 d 2s v dv v v v 2 ˆ aτ = τˆ = 2 τˆ an = n a = a = aτ2 + an dt dt R
1.2 平面曲线运动的描述
质点的运动总是要经过一定的轨道. 质点的运动总是要经过一定的轨道. 曲线运动是常见的运动形式. 曲线运动是常见的运动形式. 本节只研究平面曲线运动. 本节只研究平面曲线运动. 平面曲线运动 描述质点的曲线运动， 描述质点的曲线运动，就是要找出质点在曲线运 动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的 动过程中的位置、速度、 数学表示形式。 数学表示形式。
θ
∆θ v r
极轴
O
v r与极轴的夹角. 与极轴的夹角.
θ=θ (t ) t
运动方程 3 角位移∆θ 角位移∆
∆t 时间内转过的角度. 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向. 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移∆ 不是矢量[不符合交换律] 有限大小的角位移v θ不是矢量[不符合交换律]，无 ∆ 才是矢量. 限小的角位移 d才是矢量. θ 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2. 2，
R O
v ∆vτ 是速度增量的切向分量 由速度大小变化引起。 切向分量,由速度大小变化引起 △t→0时, v 是速度增量的切向分量 由速度大小变化引起。 时 ∆vn 是速度增量的法向分量 由速度方向变化引起。 是速度增量的法向分量 由速度方向变化引起。 法向分量,由速度方向变化引起
v v ˆ ∆vτ = ∆vτˆ ∆vn = v∆θ n v v v ∆v v ∆θ dv dθ ∆vτ ∆vn ∆v v ˆ ˆ = lim τˆ + lim n = τˆ + v n a = lim = lim + lim ∆ t → 0 ∆t ∆ t → 0 ∆t ∆ t → 0 ∆t ∆ t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t dt dt
x = 2t 2 y = 19 − 2t
y = 19 − 0.5 x
2
(2)在t1=1s到t2=2s时间内的平均速度 在 到 时间内的平均速度
v v v v ∆r r2 − r1 ˆ v= = = 2i + 6 ˆ j ∆t t2 − t1
(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为： 质点在任意时刻的速度和加速度分别为： 质点在任意时刻的速度和加速度分别为
v v v v dr v dv ˆ ˆ v= = 2i − 4tj a = = −4 j dt dt v ˆ 时的速度为: 则t1=1s时的速度为 v = 2i − 4 ˆ 时的速度为 j
切向和法向加速度分别为 切向和法向加速度分别为: 分别为
dv d d 2 2 at = = ( vx + v y ) = ( 4 + (4t ) 2 ) = 3.58m ⋅ s −2 dt dt dt
1 [平面 自然坐标系 平面]自然坐标系 平面 在曲线上任意选一个点作为原点， 在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立 一个弯曲的坐标轴， 一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向 人为的，随意的),这样就建立了自然坐标系 ),这样就建立了自然坐标系. (人为的，随意的),这样就建立了自然坐标系.
2 质点的位置 位置坐标用距离原点的弧长表示, 位置坐标用距离原点的弧长表示, s = O P 位置坐标可正可负. 位置坐标可正可负.
O O
s
P
-s
P
位置是时间的函数: 位置是时间的函数 s = s(t) ——自然坐标系下的运动学方程 ——自然坐标系下的运动学方程
3 质点的速度 ∆t→0时 时 t+∆t
2 2 v = vx + v y + vz2
tangential acceleration
切向加速度 aτ = dv = d s 2
dt dt
v2 法向加速度 an = R normal acceleration
(1 + y′ ) R=
y′′
O
3 2 2
, y = y ( x)
v 2 a = a = aτ2 + an
v v v v v ∆v = v2 - v1 = ∆vn + ∆vτ
∆θ
A
∆s
当△t→0时, △θ→0, 则∠ABD→90°,即 时 °即
v v1
P1
v ∆vn沿着P1点的法向
v v ˆ ˆ ∆vn = ∆vn n = v∆θ n v v ( ∆θ → 0 ⇒ ∆vn = v1∆θ , v = v1 = v1 ) v v 当△t→0时, ∆vτ 与v1方向相同 时 v v ∆vτ = ∆vτ τˆ = ∆vτˆ
切向加速度与法向加速度满足关系
v v v g = a n + aτ
且互相垂直，则法向加速度为： 且互相垂直，则法向加速度为：
a n = g − aτ =
2 2
gv 0 v + ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据， 代入数据，得
aτ =
an =
9.8 2 × 5 30 2 + (9.8 × 5) 2
9.8 × 30 30 2 + (9.8 × 5) 2
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2. 2，
最后的效果是不一样的. 最后的效果是不一样的.
4.角速度(angular velocity ) 4.角速度(angular
ω = lim
v ∆θ dθ = ∆t →0 ∆t dt v v
右手定则判定方向. 右手定则判定方向.
5.角加速度(angular acceleration ) 5.角加速度(angular v v v 2 v ∆ω d ω d θ β = lim = = 2
∆t →0
∆t
dt
dt
三 圆周运动中线量与角量的关系 v v v v v v v = ω × r aτ = β × r
ω
v r
v
v = rω
aτ = β r
v v
an = ω r