高一上学期第一册第二章小结ppt
第二章活泼的金属单质——钠课件上学期高一化学(新)人教版必修第一册
钠与盐溶液的反应 (1)钠与盐溶液反应，不能置换出相应的金属，钠能从某些熔融金属盐中置换出 相应金属。 (2)钠投入饱和盐溶液中时，如果盐不与氢氧化钠反应，由于反应过程中水的消 耗，最终会析出固体盐。
3．与碱溶液反应 其实质是钠与水的反应， 如钠与氢氧化钠溶液的反应，即钠与水的反应。 4．与盐溶液反应
【典例1】将少量金属钠分别投入下列物质的水溶液中，有气体放出，且溶液质 量减轻的是( ) A.HCl B．NaOH C．K2SO4 D．CuSO4
钠投入HCl溶液中最先与HCl反应：2Na＋2HCl===2NaCl＋H2↑，钠投入B、C、D 溶液中，都是最先与水反应：2Na＋2H2O===2NaOH＋H2↑
H O。 C. 150mL 2mol·L－1KCl溶液 2
B．水、氯化氢
D. 75mL 1mol·L－1 AlCl3溶液
2．与酸溶液反应 ④根据亚铁离子易被氧化为铁离子结合溶液的酸碱性分析判断。
A、胆矾为硫酸铜晶体，属于纯净物，石膏是二水硫酸钙，属于纯净物，漂白粉是氯化钙、次氯酸钙的混合物，不是纯净物，选项A错误；B、氢氧化钙、硫酸铜在水溶液中均完全电
【解析】
24.现有铁、碳两种元素组成的合金，某实验小组为了研究该合金的性质并测定该合金中碳的质量分数，设计了如下实验方案和实验装置：
(3)如果换成MgSO4溶液，钠能否置换出金属镁？你能写出钠与CuSO4溶液反应的 总化学反应方程式吗？ 提示：如果换成 MgSO4 溶液，钠不能置换出镁；CuSO4＋2Na＋2H2O===Cu(OH)2↓ ＋Na2SO4＋H2↑。
10．将两支惰性电极插入500 mL AgNO3溶液中，通电电解，当电解液的pH从6.0变为3.0时(设电解时阴极没有氢气析出，且电解液在电解前后的体积变化可以忽略)，电极上应析出
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2．计算公式
N
m
Vg
nB
(1)n＝NA；(2)n＝M；(3)n＝ Vm ；(4)cB＝Vaq。
3．注意事项
(1)突出物质的量这一核心，它是其他物理量之间转换的桥梁和
纽带，一般模式：一种物理量求算,物质的量求算,另一种物理量。
调味剂
具有咸味
配制生理盐水 (0.9%)
体液替代物
发酵粉、膨松剂 2NaHCO3 === Na2CO3＋H2O＋CO2↑ 胃酸中和剂 HCO＋H＋===H2O＋CO2↑
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二、氯及其化合物的性质、转化及应用
9
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四、气体制备实验的基本思路1．气体制备装置的一 般连接顺序及选择
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2．重要气体的发生装置
图示
固体＋固体――△→ 固体(或液体)＋液 固体＋液体(不
原理
气体
体――△→气体 加热)―→气体
举例
O2
Cl2
H2、CO2
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人教版高一物理必修 第一册 第二章 匀变速直线运动的规律 复习课件(共17张PPT)
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体在某一段时间内的平均快慢程度。
vs
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t
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例二：物体做匀变速直线运动，若在A点时的速
度是 5m/s , 经3S到达B点时速度是14m/s， 再经4S 到达C点，则它到达C点时的速度 为多大？
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匀变速直线运动的规律
一、速度和时间的关系：
匀变速直线运动的加速度是恒定的，即a
为常量
又 a vt v0 t
Vt = v0 + a t
这就是匀变速直线运动的速度公式
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人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习课
解析 因为当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等 号方向不变； 当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.
Hale Waihona Puke 反思 感悟不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般 是通分、分解因式、配方等. (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反 例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适 合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项.
例1 (1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是
A.A≤B
√B.A≥B
C.A<B或A>B
D.A>B
解析 ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a－b22＋34b2≥0， ∴A≥B.
(2)若a>b，x>y，下列不等式正确的是
A.a＋x<b＋y
√C.|a|x≥|a|y
B.ax>by D.(a－b)x<(a－b)y
由根与系数的关系，得12×2＝－a2， 12＋2＝－5a，
解得 a＝－2.
(2)求不等式1x－＋a1x>a＋5 的解集.
解 将 a＝－2 代入不等式，得1x＋＋21x>3， 即1x＋＋21x－3>0， 整理得－x＋x＋12>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}.
此时a＝2，b＝1.
三、一元二次不等式的解法
1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项 系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式 的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
高一数学必修一第二章PPT课件
.
13
返回目录
.
14
A组
1. 求下列各式的值:
1
(1) 121 2 ;
(2)
(
64 49
)
1 2
;
1
1
解: (1)1221(112)211.
(3) 1000043;
(2) (4694)12(7822)12
(
7 8
2 2
)
1 2
7 8
.
(3)
1004300(140)43103
1 1000
.
(4) (1227)532(5333)32
y
定义域为(0, +∞),
x
图象过点 (1, 1), (2,
2 2
),
(4,
1 2
).
12
12 2
o1
2
4x
函数非奇非偶, 在(0, +∞)上是减函数.
.
28
B组
1. 已知集合A{y | ylog2x, x>1},
B{y
|
y (
1 2
)x,
x>1}, 则A∩B ( A)
(A) {y|0y12}
(B) {y|0<y<1}
解: (1) 要使函数有定义, 需
3x 20 lo3g(3x2)0,
x x
2 3
1,
∴原函数的定义域为 (32, 1)(1, +). (2) 要使函数有意义, 需
2x>0, 得 x<2,
∴原函数的定义域为. {x|x<2}.
20
5. 求下列函数的定义域: (1) ylog3(31x2); (2) yloga(2x) (a>0, 且a≠1); (3) yloga(1x)2 (a>0, 且a≠1).
高中数学 新北师大版必修第一册 第二章 章末整合 课件
方法技巧偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
这一结论可以推广:①f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(x)的图象关于
直线x=a对称;②f(a-x)=-f(a+x)⇔f(x)的图象关于点(a,0)对称.
变式训练4函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时单调递增,假
设f(1)=0,求不等式f
1
2
-<0的解集.
解:∵f(x)是奇函数,且f(1)=0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增.
1
1
∴不等式 f - 2 <0 可化为
当 1≤x1<x2≤2 时,1<x1x2<4,
4
>1.
1 2
4
∴1- <0.
1 2
∴
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)在[1,2]上是减函数.
当2≤x1<x2≤3时,4<x1x2<9,
4
<1.
1 2
4
∴1- >0.
1 2
∴0<
∴f(x1)<f(x2),
即f(x)在[2,3]上是增函数.
变形、判断符号、结论,最后再借助最值与单调性的关系,写出最
值.
变式训练3函数f(x)=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值为3,最小值为2,
高一数学必修一第二章课件
高一数学必修一第二章课件1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：存有两个面互相平行，其余各面都就是四边形，且每相连两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围起的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
则表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数做为分类的标准分成三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都就是三角形;平行于底面的横截面与底面相近，其相近比等同于顶点至横截面距离与低的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面回去封盖棱锥，横截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等则表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面就是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径横向;④侧面进行图就是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，转动一周阿芒塔的曲面所围起的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面就是两个圆;②侧面母线处设原圆锥的顶点;③侧面进行图就是一个弓形。
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面转动一周构成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)备注：正视图充分反映了物体上下、左右的边线关系，即为充分反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图充分反映了物体上下、前后的边线关系，即为充分反映了物体的高度和宽度。
数学必修一第2章小结课件
综合练习题及答案
总结词
综合运用与拓展
详细描述
综合练习题是为了帮助学生综合运用所学知识，将知识点进行串联，形成完整的知识体 系。同时，通过综合练习题的训练，可以拓展学生的视野，提高学生的综合素质和解决 问题的能力。答案部分则提供了详细的解题思路和步骤，帮助学生更好地理解和掌握题
目。
Part
06
总结与展望
数学必修一第2章小 结课件
• 引言 • 知识点回顾 • 重点与难点解析 • 典型例题解析 • 练习题与答案 • 总结与展望
目录
Part
01
引言
目的和背景
目的
总结数学必修一第2章的主要内容， 帮助学生巩固所学知识，提高理解和 应用能力。
背景
数学必修一第2章涉及了函数的基本概 念、函数的表示方法、函数的单调性 和奇偶性等知识点，这些内容是进一 步学习数学的基础。
集合表示方法的比较与选择
总结词
理解集合的表示方法，包括列举法、描述法等，并能够根据实际情况选择合适的表示方 法。
详细描述
列举法是通过一一列出集合中的元素来展示集合的方法，适用于元素个数较少且元素较 简单的情况。描述法是通过给出集合中元素的共同特征来展示集合的方法，适用于元素 个数较多且元素较复杂的情况。在解题过程中，应根据具体情况选择合适的表示方法。
常用的表示方法有列举法和描述法。列举法是将集合中的元素一一列举 出来，如集合A={1,2,3}；描述法是用集合中元素的共同特征来描述，如 集合B={x|x>2}。
子集、全集与补集
01
子集关系
02
03
04
子集是指一个集合中的所有元 素都是另一个集合中的元素，
记作A⊆B。
2019年最新-人教版高中数学必修一第二章小结ppt课件
1．点击指数运算
有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运 1
算法则[规 ，化范简解或答 求]值是(1本)原 章式 知＝ 识点的1 主a3要a呈－1现81方b式．1 2b32＋ 2a3b3＋a3
到化繁为简的目的．
1．点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运
算法则5．，化探简究或指求数值不是等 本章式知、识对点数的不主等 要呈式现的方解式法． (1)在指 即 进行数 把幂不 不和等 等根式 式式两 、的对边 化数简化不 时为，等同一式底般的数是解， 先法 再将主 根 根要 据 式化是 相成应 “ 幂的形调式性，，并运尽用 可能转地化统和一化成归 分数思指想数转幂化的为 形式一，般 再利用解幂．的同运时算，性要 质进注行意化转简化、的求等 值价 或计性算. ，以达 到化繁为简的目的．
1．点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运
算法则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式．
(1)在进行幂和根式的第化简二时，章一般是先将根式化成 幂的形式，并尽可能地统小一成结分数指数幂的形式，
再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达
到化繁为简的目的．
1．点击指数运算
(2 )根 式 的 运算 中， 有开 方和 乘方 两种 运算并
证明常用的技巧．
1．点击指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运 算法则，化简或求关值于是指本数章、知对数识的点运的算主要呈现方式． (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成 幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式， 再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达 到化繁为简的目的．
1．点击指数运算 有理4数．指详数谈及其比运较算指是数本(章对的数基)大础内小容的，方要法明确运 算(1)法在(可数则进1)，将值行当化幂其，需简和看然要或根成后求比式值某利较的是个用化大本简指该小章时数函的知，函数识两一点数的个般的或单是实主幂调先数要将函性均呈根数进现是式行(方对指化式比成数数．较 幂的(形2)式比，较并多尽个可能数地的统大一小成时分，数先指利数用幂的“0形”和式，“1 再利点用幂，的即运把算它性们质进分行为化“简小、于求值0”或“计算大，于以0达，
新版高一数学必修第一册第二章全部课件
.
x≥0
y≥0
000
，
归纳总结
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待
求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至
多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间
的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
前提．
跟踪训练
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 ( A )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
12 3
[解析] M－N＝x ＋x＋1＝(x＋2) ＋4>0，
2
∴M>N，故选 A．
跟踪训练
2.比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小；
1
3.设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与a的大小．
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
文字
语言
大于
符号
语言
>
大于
等于
≥
小于
<
小于
等于
≤
至多
至少
不少于
不多于
≤
≥
≥
≤
2．比较两个实数 a、b 大小的依据
文字语言
如果 a>b，那么 a－b 是正数
符号表示
；
如果 a<b，那么 a－b 是 负数 ；
D．x＋y≤120
[解析]
由题意可得x＋y≥120，故选C．
问题与探究
实数的大小
人教版高一物理必修第一册第二章 位移与时间的关系 课件PPT
3、世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执著。万物皆为我所用，但非我所属。 让内心强大的句子
4 、任何的限制，都是从自己的内心开始的。 1 、只要能执着远大的理想，且有不达目的绝不终止的意愿，便能产生惊人的力量。 17、我觉得长大仿佛就在一念之间。落雨了，会自然而然的带一把伞，独自一人撑一把伞，漫步在迷蒙的细雨中，用心去感受着独特的浪漫
2.3 位移与时间的关系
一、匀速直线运动的位移
位移 x=vt
v
结论：
匀速直线运动的位移就
是v–t 图线与t轴所夹的
t
矩形“面积”。
二、匀变速直线运动的位移
二、匀变速直线运动的位移
V
V4 V3 V2 V1 V0
0
t1 t2 t3 t4 t t
结论：在匀变速直线运动的 v-t 图象中，物体 的位移 x在数值上等于图线与坐标轴所围的面积。
⑴反映了位移随时间的变化规律。
⑵因为υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规 定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）若物 体做匀加速运动,a取正值,若物体做匀减速运动,
则a取负值.
(3)若v0=0,则x=
1 at2 2
(4)特别提醒:t是指物体运动的实际时间,要将 位移与发生这段位移的时间对应起来.
①
位移—时间公式
x
v0t
1 2
at 2
②
由①式有
v t
v0
③
a
将③式代入②式，有
x
v0t
1 2
at 2
v0
v v0 a
1 a v v0 2 a
2
可得 v2 v02 2ax
v2
v
2 0
新人教A版数学必修第一册第二章知识点总结与例题讲解
等式性质与不等式性质知识点总结与例题讲解（新教材）一、本节知识点（1）两个实数的大小比较.（2）不等式22b a +≥ab 2的探究.（3）不等式的基本性质.二、本节题型（1）比较两个代数式的大小.（2）利用不等式的性质证明不等式.（3）利用不等式的性质求取值范围.三、知识点讲解知识点 两个实数的大小比较关于实数b a ,的大小比较,有以下基本事实:如果b a -是正数,那么b a >;如果b a -等于0,那么b a =;如果b a -是负数,那么b a <.反过来也成立.用符号表示为:00=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a0<-⇔<b a b a .作差法比较两个代数式的大小利用作差法比较大小的一般步骤为:（1）作差;（2）变形: 对差进行变形.（3）判号: 判断差的符号（如果差中含有参数,则需要进行分类讨论）.（4）定论: 根据差的符号作出大小判断.即: 作差→变形→判号→定论.作差法的关键在于变形,常用的变形为:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.知识点 不等式22b a +≥ab 2的探究一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2当且仅当b a =时,等号成立.（1）公式的证明（作差法）:()2222b a ab b a -=-+ ∵∈∀b a ,R ,()2b a -≥0 ∴ab b a 222-+≥0∴22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时取等号.（2）公式的变形①ab ≤222b a +（∈b a ,R ）,当且仅当b a =时取等号; ②222b a +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （≥ab ）（∈b a ,R ）,当且仅当b a =时取等号. 变形②的证明:证明: ∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab b a 222++（不等式的两边同时加上22b a +） ∴()222b a +≥()2b a + ∴()4222b a +≥()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a （不等式的两边同时乘以41） ∴222b a +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,（∈b a ,R ）,当且仅当b a =时取等号. 知识点 不等式的基本性质不等式的基本性质有7条,分别如下:性质1（对称性） a b b a <⇔>.（可逆）性质2（传递性） c a c b b a >⇒>>,.性质3（可加性） c b c a b a +>+⇔>.（可逆）性质3推论（移项法则） b c a c b a ->⇔>+.（可逆）性质4（可乘性） bc ac c b a >⇒>>0,;bc ac c b a <⇒<>0,.（不可逆）性质5（同向可加性） d b c a d c b a +>+⇒>>,.（不可逆）性质6（同向同正可乘性） bd ac d c b a >⇒>>>>0,0.（不可逆）性质7（正数可乘方性） n n b a b a >⇒>>0（∈n N ,且n ≥2）.性质7推论（正数可开方性） nn b a b a >⇒>>0（∈n N ,且n ≥2）. 不等式性质的拓展 倒数法则 （1）ba b a 110<⇒>>; （2）ba b a 110<⇒>>. 即b a ab b a 110,<⇒>>. 不等式性质的证明性质1（对称性）的证明:a b b a <⇔>.证明: ∵b a >,∴0>-b a ,∴0<-a b ,∴a b <;∵a b <,∴0<-a b ,∴0>-b a ,∴b a >.∴a b b a <⇔>.性质2（传递性）的证明 c a c b b a >⇒>>,证明: ∵b a >,∴0>-b a∵c b >,∴0>-c b∴()()0>-=-+-c a c b b a∴c a >.性质3（可加性）的证明 c b c a b a +>+⇔>证明: ∵b a >,∴0>-b a∴0>--+b c c a∴c b c a +>+.∵c b c a +>+∴()0>--+=+-+c b c a c b c a ,∴0>-b a∴b a >.∴c b c a b a +>+⇔>.性质3推论（移项法则）的证明 b c a c b a ->⇔>+.证明: ∵c b a >+∴由不等式的基本性质3（可加性）可得:()()b c b b a -+>-++∴b c a ->.∵b c a ->∴由不等式的基本性质3（可加性）可得:b bc b a +->+∴c b a >+.∴b c a c b a ->⇔>+.说明 相同的方法还可证明:a c b c b a ->⇔>+.性质4（可乘性）的证明 bc ac c b a >⇒>>0,;bc ac c b a <⇒<>0,. ∵b a >,∴0>-b a∵()0,>-=-c b a c bc ac∴()0>-b a c ,即0>-bc ac∴bc ac >.同理可证:bc ac c b a <⇒<>0,.性质5（同向可加性）的证明 d b c a d c b a +>+⇒>>,.证明: ∵b a >∴由不等式的性质3（可加性）可得:c b c a +>+∵d c >∴由不等式的性质3（可加性）可得:b d bc +>+,即d b c b +>+由不等式的性质2（传递性）可得:d b c a +>+.性质6（同向同正可乘性） bd ac d c b a >⇒>>>>0,0.证明: ∵0,>>c b a∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:bc ac >∵d c >,0>b∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:bd bc >由不等式的基本性质2（传递性）可得:bd ac >.∴bd ac d c b a >⇒>>>>0,0. 倒数法则ba b a 110<⇒>>的证明: 证明: ∵0>>b a ,∴01,0>>ab ab ∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:ab b ab a 11⋅>⋅,即ab 11> ∴ba 11<. 倒数法则ba b a 110<⇒>>的证明: 证明: ∵b a >>0,∴01,0>>ab ab ∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:ab b ab a 11⋅>⋅,即ab 11> ∴b a 11<. 方法二: ∵b a >>0,∴0>->-a b ∴ab 11-<-∴a b 11>,即b a 11<. 四、例题讲解例1. 若0,0>>>>d c b a ,求证:cb d a >. 分析 这里采用作差法证明.证明: ∵0,0>>>>d c b a ∴由不等式的基本性质6（同向同正可乘性）可得:bd ac >,∴0>-bd ac∵0,0,>>--=-cd bd ac cdbd ac c b d a ∴0>-cd bd ac ,即0>-cb d a ∴cb d a >. 例2. 已知0,0<>>c b a ,求证:bc a c >. 分析 要证明b c a c >,因为0<c ,所以只需证明ba 11<（倒数法则）即可. 证明: ∵0>>b a ,∴b a 11< ∵0<c ∴bc a c >.（不等式的基本性质4） 例3. 已知0,0,0<<<>>ed c b a .求证:db ec a e ->-. 证明: ∵0<<d c ,∴0>->-d c∵0>>b a∴()()0>-+>-+d b c a ,即0>->-d b c a （同向可加性） ∴db c a -<-11（倒数法则） ∵0<e ∴db ec a e ->-. 例4. 已知∈b a ,R .求证:ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. 证明: ∵∈∀b a ,R ,()2b a -≥0 ∴222b ab a +-≥0∴22b a +≥ab 2 ∴222b a +≥ab . ∵22b a +≥ab 2∴ab b a 222++≥ab 4∴()2b a +≥ab 4 ∴()42b a +≥ab ,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≥ab . ∵22b a +≥ab 2∴2222b a +≥222b a ab ++∴()222b a +≥()2b a + ∴()2422222b a b a +=+≥()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ∴222b a +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a . 综上所述,ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. 例5. 已知0>>>b a c . 求证:bc b a c a ->-. 证明: ∵0>>>b a c∴0<-<-<-b a c∴b c a c -<-<0 ∴011>->-bc a c （倒数法则） ∴由不等式的基本性质6（同向同正可乘性）可知:bc b a c a ->-. 例6. 已知0>>>c b a .求证:cb c a b a ++>. 分析 这里采用作差法证明.证明: ()()()()()c b b b a c c b b c a b c b a c b c a b a +-=++-+=++- ∵0>>>c b a∴0,0>+>-c b b a∴()()0>+-c b b b a c ∴0>++-cb c a b a ∴cb c a b a ++>. 例7. 已知0>>b a .求证:b a >.分析 注意()()b a b a b a -+=-.证明: ∵0>>b a ∴0,0>+>-b a b a ∴()()0>-+b a b a ∴0>-b a ∴b a >.例8. 已知1<x ,比较13-x 与x x 222-的大小.分析 这里采用作差法证明.利用作差法比较大小的一般步骤为:（1）作差;（2）变形: 对差进行变形.（3）判号: 判断差的符号（如果差中含有参数,则需要进行分类讨论）.（4）定论: 根据差的符号作出大小判断.即: 作差→变形→判号→定论.作差法的关键在于变形,常用的变形为:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等. 解: ()x x x 22123--- ()()()()()11121122+--=--++-=x x x x x x x x∵1<x∴01<-x ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x 恒成立 ∴()()0112<+--x x x∴x x x 22123-<-.例8. 已知a ≥1,试比较a a M -+=1和1--=a a N 的大小.分析 利用分母有理化进行比较.解: a a a a a M ++=-+=11 11-+=--=a a a a a N ∵a ≥1,11->+a a ∴a a a a +->++11 ∴11-+<++a a aa a a∴N M <.例9. 设0>>b a ,比较2222b a b a +-与b a b a +-的大小. 分析 对于两个同号的数比较大小,还可以采用作商法比较大小.（1）若0,0>>b a ,且1>ba ,则b a >. （2）若0,0<<b a ,且1>b a ,则b a <. 解:∵0>>b a ,∴22,0b a b a >>- ∴,02222>+-ba b a 0>+-b a b a ()2222222222222212ba ab b a ab b a b a b a ba b a b a b a ++=+++=++=+-+-∵0222>+b a ab ∴12122>++b a ab ∴ba b a b a b a +->+-2222. 例10. 比较311+与59+的大小.分析 这里利用正数可开方性进行证明.解: ()332143112+=+,()45214592+=+ ∵4533< ∴4521433214+<+ ∴()()2259311+<+ ∴()()05931122<+-+ ∴()()[]()()[]0593*******>+-++++ ∵059,0311>+>+ ∴()059311<+-+ ∴59311+<+.重要结论 若0,0>>b a ,且22b a >,则b a >.例10在得出()()2259311+<+时,因为059,0311>+>+,所以根据上面的结论即可得出59311+<+.利用不等式的基本性质求取值范围例11. 已知82,41<<<<b a ,试求b a 32+与b a -的取值范围.解:∵82,41<<<<b a∴2436,822<<<<b a∴32328<+<b a∴b a 32+的取值范围是{}3232832<+<+b a b a . ∵82<<b ∴28-<-<-b∴()()()2481-+<-+<-+b a ∴27<-<-b a∴b a -的取值范围是{}27<-<--b a b a .例12. 已知82,41<<<<b a ,求ba的取值范围. 解:∵82<<b ∴21181<<b . ∵41<<a∴2141811⨯<⋅<⨯b a ∴281<<ba. ∴b a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<281b a b a . 例13. 已知32,86<<<<-b a ,求ba的取值范围. 分析 在使用不等式的基本性质4（可乘性）时,应注意所乘数的正负. 解:∵32<<b ,∴21131<<b ∵86<<-a∴①当<<-a 60时,06>->a∴621031⨯<-<⨯b a ,30<-<ba∴03<<-ba;②当0=a 时,0=b a;③当80<<a 时,821031⨯<<⨯b a∴40<<ba.综上所述,b a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-43b ab a .方法总结（1）同向不等式具有可加性,同向同正不等式具有可乘性,但不能相减和相除.（2）不等式的两边同时乘以同一个正数,不等号方向不变;不等式的两边同时乘以同一个负数,不等号方向改变.例14. 已知41<+<-y x ,且32<-<y x ,求y x 32-的取值范围. 解:设()()y x n y x m y x -++=-32,则有()()y n m x n m y x -++=-32∴⎩⎨⎧-=-=+32n m n m ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2521n m . ∴()()y x y x y x -++-=-252132.∵41<+<-y x ,32<-<y x∴()()215255,21212<-<<+-<-y x y x∴()()21521252152+<-++-<+-y x y x∴()()825213<-++-<y x y x∴8323<-<y x∴y x 32-的取值范围是{}832332<-<-y x y x .方法总结 已知两个关于b a ,线性关系的代数式的取值范围,求另一个关于b a ,线性关系的代数式的取值范围的方法: 根据条件s b n a m r q b n a m p <+<<+<2211,确定b n a m 33+（332211,,,,,,,,,n m n m n m s r q p 均为实数）的取值范围时,首先采用待定系数法,令()()()()b n n a m m b n a m b n a m b n a m 2121221133μλμλμλ+++=+++=+,从而得到⎩⎨⎧+=+=213213n n n m m m μλμλ,求得μλ,的值,即可得到b n a m 33+的取值范围.注意,用其它的方法求得的范围会比实际范围大.例14. 已知4230<<x ,2416<<y ,分别求y x y x 3,-+及yx x3-的取值范围. 解:∵4230<<x ,2416<<y∴24421630+<+<+y x ∴6646<+<y x∴y x +的取值范围为{}6646<+<+y x y x . ∵2416<<y ,∴48372-<-<-y ∴()()()484237230-+<-+<-+y x ∴6342-<-<-y x∴y x 3-的取值范围为{}63423-<-<--y x y x . ∴4213161-<-<-y x ,∴6131421<--<y x ∴6142342130⨯<--<⨯y x x ∴7375<--<y x x ,∴7537-<-<-y x x ∴y x x 3-的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--75373y x x y x . 例15. 已知b a ,是正实数,求证:ab b a +≥b a +.证明（作差法）:()b a ab ba +-+()()()()()abb a b a abb a b a abb a ab abbb a a 2-+=--=+-+=.∵()2b a -≥0,0,0>>+ab b a∴()()abb a b a 2-+≥0∴ab ba +≥b a +.证明（作商法）:∵b a ,是正实数∴0>+ab ba ,0>+b a∴()()()()ababb a b a ab ab b a b a b a ab b b a a ba ab b b a a ba a bba-+=--+-=++=++=++()()122+-=+-=abb a ababb a .∵()2b a -≥0,0>ab∴()12+-abb a ≥1∴ab ba +≥b a +.例16. 已知二次函数()x f y =的图象过原点且1-≤()1-f ≤1,3≤()1f ≤5,求()2-f 的取值范围.解:由题意可设()bx ax x f +=2.∴()()b a f b a f +=-=-1,1设()()()b a n b a m b a f -++=-=-242 ∴()()b a b n m a n m 24-=-++∴⎩⎨⎧-=-=+24n m n m ,解之得:⎩⎨⎧==31n m . ∴()()()b a b a f -++=-32 ∵3≤b a +≤5,1-≤b a -≤1 ∴3-≤()b a -3≤3∴0≤()()b a b a -++3≤8 ∴0≤()2-f ≤8.即()2-f 的取值范围为()(){}8202≤-≤-f f .基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点 （1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时,等号成立.特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得2ba +≥ab . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba +叫做正数b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意 重要不等式22b a +≥ab 2与基本不等式2ba +≥ab 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.基本不等式的变形（1）b a +≥ab 2,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.（2）当0>a 时,a a 1+≥2,当且仅当a a 1=,即1=a 时,等号成立; 当0<a 时,aa 1+≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立.实际上,当0<a 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,即1-=a （0<a ）时,等号成立. （3）当b a ,同号时,b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,baa b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立.（4）不等式链: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时,等号成立.）其中,ba 112+,ab ,2b a +,222b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值设0,0>>y x ,则有（1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42S ;（∵∈∀y x , R +,有xy ≤22S y x =+,∴xy ≤42S .） 和定积最大.（2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈∀y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.）积定和最小.说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数()x x x f 4+=,当0>x 时,x x 4+≥44242==⋅xx ,即()x f ≥4,当x x 4=,即2=x 时,等号成立;当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立.由此可见,对于函数()xx x f 4+=,0>x 和0<x 的最值情况是不一样的. （2）当230<<x 时,求()x x 23-的最大值时,x 23-与x 的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为()()x x x x 2232123⋅-=-,即可求出其最大值.∵()()x x x x 2232123⋅-=-≤89232122232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯x x∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43=x 时,取得最大值.（3）求21222+++x x 的最小值时,虽然22+x 与212+x 都是正数,且乘积为定值1,但是当=+22x 212+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,∈∀c b a ,,R +,有3cb a ++≥3abc . 当且仅当c b a ==时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设0,0,0>>>z y x ,则有（1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为33M ;（2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值273N .关于三个正数的不等式链若c b a ,,均为正数,则有cb a 1113++≤3abc ≤3c b a ++≤3222c b a ++.当且仅当c b a ==时,等号成立.n 个正数的基本不等式对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有na a a a n++++ 321≥n n a a a a 321.当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立.上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1. 若0,0>>b a ,证明: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a∴()ab b a b a 22-+=-≥0∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤2ba +（当且仅当b a =时,等号成立） ∴211b a +≥abab ba 1111==⋅∴ba 112+≤ab （当且仅当b a =时,等号成立）.∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2b a +∴()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴根据正数可开方性得:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴2b a +≤222b a +（当且仅当b a =时,等号成立）.综上所述,ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.例2. 函数xx y 41+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x∴1441-+=+-=x x x x y ≥3142142=-=-⋅xx ,即y ≥3. 当且仅当xx 4=,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 41+-=（0>x ）取得最小值3.例3. 已知3>a ,求34-+a a 的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ∵3>a ,∴03>-a .∴334334+-+-=-+a a a a ≥()733432=+-⋅-a a ,当且仅当343-=-a a ,即5=a 时,等号成立.∴34-+a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则yx 1+的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x .∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+y y y y y x ≥3112=+⋅yy . 当且仅当yy 1=,即1=y 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y .∵1>x ,∴01>-=x y ∴1111111+-+-=-+=+x x x x y x ≥()311112=+-⋅-x x . 当且仅当111-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x∴y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=⋅+yx x y . 当且仅当y x x y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立. ∴yx11+的最小值为223+.点评 本题若由()y x y x y x 21111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥2422112=⋅⋅xy yx ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且191=+yx ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x ,191=+yx ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+91099191≥169210=⋅+x y y x .当且仅当x y y x =9,且191=+yx ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.另解（消元法）: ∵191=+yx ,∴9-=y yx ∵0,0>>y x ,∴09>-y y,∴9>y . ∴999919999+-+-+=+-+-=+-=+y y y y y y y y y x 99910-+-+=y y ≥()16999210=-⋅-+y y . 当且仅当999-=-y y ,且9-=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是 【 】（A ）524 （B ）528 （C ）5 （D ）6解: ∵xy y x 53=+,∴15351=+xy . ∵y x ,均为正数∴()x y y x x y y x x y y x y x 5125351351254595353514343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥5562513512532513=⨯+=⋅+x y y x . 当且仅当x yy x 51253=,且xy y x 53=+,即21,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】.例8.（1）已知45>x ,求代数式54124-+-x x 的最小值; （2）已知45<x ,求代数式54124-+-x x 的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵45>x ,∴054>-x . ∴35415454124+-+-=-+-x x x x ≥()53541542=+-⋅-x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23=x 时,等号成立. ∴代数式54124-+-x x 的最小值为5;（2）∵45<x ,∴054<-x .∴34514535415454124+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()1323451452=+-=+-⋅--xx 当且仅当x x 45145-=-,即1=x 时,等号成立,54124-+-x x 取得最大值1.例9. 已知实数0,0>>b a ,且11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是【 】 （A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解: ∵11111=+++b a ∴()()11111=+++++b a a b ,整理得:1=ab .∵0,0>>b a∴b a 2+≥221222222=⨯==⋅ab b a . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ()()31212-+++=+b a b a .∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212⨯-+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=+a b b a b a b a b a ()11211+++++=a b b a ≥()22112112=++⋅++a b b a .当且仅当()11211++=++a b b a ,且11111=+++b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22.例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则yx 311++的最小值为 【 】 （A ）23（B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x∴()813=++y x ,∴()18813=++yx .∵0,0>>y x ∴()()()8318819833118813311+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++=x y y x ≥()()234383243188192=+⨯=++⋅+x y y x . 当且仅当()()18819+=+x yy x ,且53=+y x ,即4,31==y x 时,等号成立. ∴y x 311++的最小值为23. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=.∵0,0>>y x ,∴⎩⎨⎧>->0350x x ,解之得:350<<x .∴x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛35,0.()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()31631352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x x f∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,0x ,∴()⎥⎦⎤⎝⎛∈316,0x f . ∴当31=x 时,233168311min ==⎪⎭⎫⎝⎛++y x . ∴选择答案【 A 】.例11. 代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为 【 】（A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f nx mf ++的形式.解: 可设()()n x m x x x ++++=++1110722.∴()1071222++=+++++x x n m x m x∴⎩⎨⎧=++=+10172n m m ,解之得:⎩⎨⎧==45n m . ∴()()415110722++++=++x x x x .∴()()514114151110722++++=+++++=+++x x x x x x x x∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为9.∴选择答案【 C 】.另解: ()()()[]()[]1411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()5141141512++++=+++++=x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min2=⎪⎭⎫⎝⎛+++x x x .∴选择答案【 C 】.例12. 求函数222163x x y ++=的最小值. 解: ∵022>+x∴()62162321632222-+++=++=x x x x y ≥()638621623222-=-+⋅+xx . 当且仅当()2221623x x +=+,即2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()xax x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x∴()x a x x f +=4≥a xax 442=⋅. 当且仅当x a x =4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴32=a,解之得:36=a . 实际上,函数()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当24aa x ==时,函数()x f 取得最小值.所以32=a,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222+<+恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222+<+恒成立,只需()min 222y x m m +<+即可.解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2∴1212=+=+xy xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+⎪⎭⎫⎝⎛+=+442422122≥8424=⋅+y x x y当且仅当yxx y =4,即2,4==y x 时,等号成立.∴()82min =+y x . ∵y x m m 222+<+恒成立 ∴只需()min 222y x m m +<+即可 ∴822<+m m ,解之得:24<<-m . ∴实数m 的取值范围是()2,4-.例15. 已知()()x x x f 22-=（10<<x ）,求()x f 的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f 2222122-⋅=-=≤211212222212=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 222-=,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 另解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f -⋅=-=1222≤2121221222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x -=1,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 例16. 求代数式12-x x （1<x ）的最大值.分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f nx mf ++的形式. 解: ∵1<x ,∴01>-x .∴()()21111111111111122+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x ≤()02221112=+-=+-⋅--x x 当且仅当xx -=-111,即0=x 时,等号成立. ∴代数式12-x x （1<x ）的最大值为0.注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值. 解: ∵210<<x ,∴021>-x . ∴()()x x x x y 212412121-⋅=-=≤161214122124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x .当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴161max =y . 例18. 设210<<m ,若mm 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min2121⎪⎭⎫⎝⎛-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的问题.解:()()m m m m m m m m 211212212121-=-+-=-+. ∵210<<m ,∴021>-m ∴()()m m m m 212211211-⋅=-≥84121122122112=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当210<<m 时,()0212>-m m ） ∴mm 2121-+的最小值为8.∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.另解: ∵210<<m ,∴021>-m ∴()[]221214221212122121+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+-+=≥82121424=-⋅-+mmm m .当且仅当m m m m 21214-=-,即41=m 时,等号成立. ∴m m 2121-+的最小值为8. ∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.例19. 若对任意0>x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________.解: ∵0>x∴311132++=++x x x x x≤513213121=+=+⋅xx 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∵对任意0>x ,132++x x x≤a 恒成立∴a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是__________.分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: ∵y x xy 2+= ∴1122=+=+yx xy y x . ∵0,0>>y x ∴xyy x 22122=⋅≤112=+y x ∴xy8≤1,∴xy ≥8. 当且仅当y x 12=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10.∴实数m 的最大值是10.例21. 若不等式xa x 29+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解: ∵0>x ,0>a ∴x a x 29+≥a xa x 6922=⋅. 当且仅当xa x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵xa x 29+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥51.∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的最小值是_________.解: ∵032=-+ab b a∴ab b a 32=+,∴13132=+ba . ∵b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ≥322133221+=⋅+b a a b . 当且仅当b a a b 332=,即312,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴abb a 92231322=⋅≤13132=+b a ∴ab ≥98. 当且仅当b a 3132=,即32,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98. 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________,xyy x +3的最小值是_________.解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=⋅≤32=+y x∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即43,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89. ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴37322323131323313++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥37623732237322+=+=+⋅x y y x . 当且仅当x y y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴xy y x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为x4m,容器的总造价为y 元.则有804204102420+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯=x x x x y ≥160804220=+⋅⨯x x （元） 当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【 C 】.例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则()()xy y x 121++的最小值为_________.解: ∵52=+y x∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++=++xy xy xy xy xy xy xyy x xy xy y x 326262122121. ≥34322=⋅⨯xyxy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或23,2==y x 时,等号成立. ∴()()xy y x 121++的最小值为34.注意 注意与下面的例25做比较.例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则abab 1+的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1+≥212=⋅abab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时⎪⎩⎪⎨⎧=+=11b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即abab 1+的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤212=+b a ,∴ab <0≤41. 设t ab =,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t . ∵t t y 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t 上单调递减 ∴4174414114141min =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y . ∴ab ab 1+的最小值为417. 例27. 设20<<x ,求代数式224x x -的最大值.解: ∵20<<x∴02>-x ∴()()x x x x x x -⋅=-=-2222242≤2222=-+⨯x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立.∴代数式224x x -的最大值2.例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>y xz ,z y z x +≥02>zxy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥888==⋅⋅xyz xyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立.例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a .求证:cb a 111++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴cc b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥922232223=+++=⋅+⋅+⋅+cb bc c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立.例30. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解: ∵4=+b a ∴()()831=+++b a .∵b a ,均为正数∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3==b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 例31. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为______. 解: ∵062=-+b a ∴()()2212=-+-b a .∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a . ∴()()[]212212211-+-=-+-b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2211b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+=12214212212214221a b b a a b b a ≥()4122142212=--⋅--⨯+a b b a . 当且仅当()12214--=--a b b a ,即3,23==b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 例32. 已知0,0>>y x ,且21131=++y x ,则y x +的最小值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（参见例9）解: ()33-++=+y x y x .∵0,0>>y x ,且21131=++y x∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-++=+y x y x y x 131233()[]33-++y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=y x x y y x x y 3321313312 ≥533221=+⋅+⨯+yx x y . 当且仅当yx x y 33+=+,即4,1==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为5.∴选择答案【 A 】.另解: ∵21131=++y x ,∴31211+-=x y . 整理得:()()2141412132++=+++=++=x x x x x y . ∵0,0>>y x ∴1141214++++=+++=+x x x x y x ≥()511412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x （此时4=y ）时,等号成立. ∴y x +的最小值为5.∴选择答案【 A 】.点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值.例33. 已知0>>y x ,求()y x y x -+42的最小值. 分析: 注意到()x y x y =-+,所以()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,这样就消去了字母y ,因此()y x y x -+42≥2216x x +≥4.当且仅当2216,x x y x y =-=时,等号成立.解: ∵0>>y x∴()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()[]42max x y x y =-,()22min16444x x y x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. ∴()y x y x -+42≥2216x x +≥816222=⋅xx . 当且仅当2216x x =,y x y -=,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8. 另解: ∵0>>y x ,∴()0>-y x y .∵()[]22y x y x -+=≥()y x y -4（这里,ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ）（当且仅当y x y -=时,等号成立）∴()y x y x -+42≥()()y x y y x y -+-44≥()()8442=-⋅-y x y y x y . （当且仅当()()y x y y x y -=-44,即()1=-y x y 时,等号成立） 当且仅当()1,=--=y x y y x y ,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8. 例34. 若b a >,且2=ab ,求证:ba b a -+22≥4. 证明: ∵b a >,∴0>-b a .∵2=ab∴()b a b a b a ab b a b a b a -+-=-+-=-+42222≥()442=-⋅-b a b a .当且仅当ba b a -=-4,即13,13-=+=b a 或13,13--=+-=b a 时,等号成立. ∴ba b a -+22≥4. 例35. 已知b a ,为正数,求证:b a 41+≥()b a ++21222. 证明: ∵b a ,为正数,∴02>+b a . ∴()b a a b b a a b b a b a 86482241++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ≥()()21222232246826+=+=+=⋅+b a a b . 当且仅当b a a b 8=,即a b 22=时,等号成立. ∴b a 41+≥()ba ++21222.（这里,02>+b a ） ★例36. 若10<<x ,0,0>>b a .求证:xb x a -+122≥()2b a +. 分析: 注意到()11=-+x x 这一隐含条件.证明: ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()[]()2222222211111b x x a x x b a x b x a x x x b x a +-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+ ≥()()22222222112b a ab b a x x a x x b b a +=++=-⋅-++. 当且仅当()xx a x x b -=-1122,即b a a x +=时,等号成立. ∴xb x a -+122≥()2b a +. 例37. 已知c b a ,,均为正数.求证:cc b a b b c a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 证明: ∵c b a ,,均为正数。
人教版高中数学必修第一册第二章2.1.1等式性质与不等式性质(1)【课件】
、不等式的证明、最值和范围的求解，考查学生对数形结合、分
类讨论、等价转，考查运算求解、推理论证和数学建模等数学素养．
3. 在呈现方式上,有单独以不等式相关知识为背景的试题,这类试
题通常以选择题或填空题的形式呈现;也有将不等式作为工具的
会用不等式(组)表示实际问题中
的不等关系
在实际问题中发现不等关系，并
表示出不等关系，发展数学抽象
及数学建模素养
会用比较法比较两数(式)的大小
借助比较两数(式)的大小，培养
逻辑推理及数学运算素养
情境导学
某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往．甲车
队说：“若领队买全票一张，则其余人可享受七五折优
惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的八折优惠。”
态氮含量为z g，非糖固形物含量为w g．则本题中的不等关系
0 x 15.0,
可用不等式组表示为
y 14.5%,
z 0.2,
w 5.0
.
【解】
设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
课时1
等式性质与不等式性质(1)
教学目标
1. 通过实际问题情境,了解不等关系与不等式(组)的实际背
景,感受现实世界和日常生活中存在着不等关系,会用不等式
表示现实生活中的不等关系,培养数学抽象素养.
2. 正确理解不等式的意义,灵活运用作差法比较两数(式)的
大小,培养数学运算素养.
学习目标
课程目标
学科核心素养
用等于一体，体现数学知识之间的有机联系和不等式的广泛应用
性，充分地发挥出不等式的工具作用．运用导数研究函数的性质
必修第一册第2章第1节速变化规律课件(39张)
)
解析 匀变速直线运动的速度均匀变化,即加速度不变。
答案 √
(3)速度逐渐增加的直线运动是匀加速直线运动。(
)
解析 速度均匀增加的直线运动才是匀加速直线运动。
答案 ×
(4)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜直线。(
)
解析 由于匀变速直线运动的加速度不变,即v-t图像的斜率不变,v-t图像是
一条倾斜直线。
意图如图所示,图中AB段为加速,BC段为匀速,CD段为减速,匀速运动的速
度既为AB段的末速度,也为CD段的初速度。
解析 以质点运动方向为正方向建立一维坐标系,与正方向一致的量取正号,
相反的量取负号。
(1)由v1=v0+a1t1可得质点5 s末的速度
v1=a1t1=1×5 m/s=5 m/s。
(2)设减速运动时的加速度为a2,则由0=v1+a2t2得
变式训练1一个物体从静止开始做匀加速直线运动,4 s末的速度为2 m/s,则
速度随时间变化的规律
vt、v0、at分别为t时刻的速度、初速度、t时间内的速度变
化量
含有4个物理量,若知其中三个,能求另外一个
vt、v0、a均为矢量,应用公式时,一般选v0的方向为正方向,若
匀加速,a>0;若匀减速,a<0
匀变速直线运动
要点笔记通俗理解记忆公式:理解为物体原有速度为v0,每过1秒速度增加
你的认识。
要点提示 (1)由加速度的定义式
-
-0
a=
-0
=
-0
,整理得
v
t=v0+at。
(2)a= 0是加速度的定义式,它适用于任何变速运动,而 vt=v0+at 仅适用于匀变
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物质
日常应用
原因分析
次氯酸
杀菌消毒剂、 漂白剂
具有强氧化性
ClO2
杀菌消毒剂
具有强氧化性
漂白液(有效成分为
NaClO)、漂白粉[有效
成分为Ca(ClO)2]、漂粉 精[有效成分为
杀菌消毒剂、 漂白剂
与空气中的CO2反应， 产生具有强氧化性的次
氯酸
Ca(ClO)2]
三、物质的量、阿伏加德罗常数及其应用1．以物质的 量为中心的各个化学计量之间的关系
•
2.真理总是越 辩 越 明 。 曾几 何 时 ， 方 言的 存 废 问 题 ，曾 经 引 起 激 烈争 议 ， 但 争 论至 今 ， 越 来 越多 的 人 逐 渐 达成 共 识 ： 推 广普 通 话 很 重 要， 保 护 方 言 也很 重 要 ， 二 者并 不 是 非 此 即彼 的 关 系 。
•
3.时间不断向 前 ， 语 言 的融 合 与 演 进 同样 不 可 阻 挡 。一 些 方 言 会 淡出 生 活 ， 一 些新 的 语 言 习 惯也 正 在 形 成 。无 论 时 代 如 何变 化 ， 总 有 乡愁 需 要 守 望 ，而 方 言 无 疑 是记 住 乡 愁 的 重要 载 体 。 珍 视方 言 ， 其 实 是对 文 化 根 脉 的呵 护 ， 是 对 历史 的 铭 记 。 讲乡 音 、 守 乡 愁， 让 我 们 且 行且 珍 惜 。
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四、气体制备实验的基本思路1．气体制备装置的一 般连接顺序及选择
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物质的量浓度的定义式 c＝n/V，充分利用有关物质的量的计算公式，
发挥物质的量的桥梁作用。
பைடு நூலகம்
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四、气体制备实验的基本思路1．气体制备装置的一 般连接顺序及选择
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二、氯及其化合物的性质、转化及应用
1．氯及其化合物的转化关系
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三、物质的量、阿伏加德罗常数及其应用1．以物质的
量为中心的各个化学计量之间的关系
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2．重要气体的发生装置
图示
固体＋固体――△→ 固体(或液体)＋液 固体＋液体(不
原理
气体
体――△→气体 加热)―→气体
(2)换算过程中要注意单位的对应。
8
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(3)在使用气体的摩尔体积时要注意外界的条件，如不是标准状 况，则不能直接将 22.4 L·mol－1 代入运算。
(4)不同状况下，同种物质的状态有可能不同。
(5)进行物质的量浓度的有关计算时，各种情况下最终落脚点是
举例
O2
Cl2
H2、CO2
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2．计算公式
N
m
Vg
nB
(1)n＝NA；(2)n＝M；(3)n＝ Vm ；(4)cB＝Vaq。
3．注意事项
(1)突出物质的量这一核心，它是其他物理量之间转换的桥梁和
纽带，一般模式：一种物理量求算,物质的量求算,另一种物理量。
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一、钠及其化合物的性质、转化及应用1．钠 及其化合物的转化关系
2．钠及其化合物的重要性质和应用
物质 日常应用
原因分析
呼吸面具或 过氧化钠 潜水艇中作
为氧气来源
2Na2O2＋2CO2===2Na2CO3＋O2 2Na2O2＋2H2O===4NaOH＋O2↑
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物质
日常应用
原因分析
氯化钠
氨碱法制纯碱
NaCl＋H2O＋NH3＋CO2===NaHCO3↓＋NH4Cl
2NaHCO3 === Na2CO3＋H2O＋CO2↑
碳酸氢钠
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调味剂
具有咸味
配制生理盐水 (0.9%)
体液替代物
发酵粉、膨松剂 2NaHCO3 === Na2CO3＋H2O＋CO2↑ 胃酸中和剂 HCO＋H＋===H2O＋CO2↑
2．氯及其化合物的重要性质和应用
物质
日常应用
原因分析
次氯酸
杀菌消毒剂、 漂白剂
具有强氧化性
ClO2
杀菌消毒剂
具有强氧化性
漂白液(有效成分为
NaClO)、漂白粉[有效
成分为Ca(ClO)2]、漂粉 精[有效成分为
杀菌消毒剂、 漂白剂
与空气中的CO2反应， 产生具有强氧化性的次
氯酸
Ca(ClO)2]
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