高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.10 正态分布课件(理)

(2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴____________，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线____________对称； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值__________； ④曲线与 x 轴之间的面积为____________； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着________的变化而沿 x 轴平移， 如图甲所示． ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越__________，曲线越“瘦高”，表 示总体的分布越集中；σ 越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， 如图乙所示．
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
解：已知 μ＝0，σ＝3，∴P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选 B.
(2015·湖南)在如图所示的正方形中随
机投掷 10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正
解：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～ N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线 x＝μ1，x＝μ2 对称， 因此结合所给图象可得 μ1<μ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，A 错误；又 X～N(μ1，σ21)的密度曲线较 Y～N(μ2，σ22)的密 度曲线“瘦高”，∴0<σ1<σ2，∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，B 错 误 ； 对 任 意 正 数 t ， P(X≤t)≥P(Y≤t) ， P(X≥t)≤P(Y≥t)，C 正确，D 错误，故选 C.
，即 σ1＝σ2＜σ3.故选 D.
【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可
由 φμ，σ(x)的解析式推知．如 σ 一定，当 x<μ 且 x 增大时，
(2013·福州质检)设随机变量 ξ 服从正态 分布 N(1，σ2)，则函数 f(x)＝x2＋2x＋ξ 不存在零 点的概率为________．
解：若函数 f(x)＝x2＋2x＋ξ 不存在零点，则 Δ＝22－4ξ<0，解得 ξ>1，而随机变量 ξ 服从正态 分布 N(1，σ2)，故函数 f(x)＝x2＋2x＋ξ 不存在零 点的概率为 P＝12.故填12.
(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态
分布 N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概
率为( )
(附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)
＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56%
类型一 正态分布的概念与性质
已知三个正态分布密度函数 φi(x)＝
1
(xi )2
e
2
2 i
(x∈R，i
2πσi
＝1，2，3)的图象如图所示，则( )
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
2．正态分布的定义与简单计算 (1)正态分布的定义及表示 如 果 对 于 任 何 实 数 a ， b(a<b) ， 随 机 变 量 X 满 足 P(a<X≤b) ＝ __________，则称随机变量 X 服从正态分布，记作__________．我们把在 正态曲线函数中，μ＝0，σ＝1 的正态分布叫做标准正态分布(※)． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此 区间以外取值的概率只有 0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不 可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为 3σ 原则．
自查自纠
1．(1)正态曲线 (2)①上方 ②x＝μ ③ 1 ④1 ⑤μ ⑥小 大
σ 2π 2．(1)∫baφμ，σ(x)dx X～N(μ，σ2)
(2015·湖北)设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线 如图所示．下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
(2013·南昌二模)已知某县农民的月均收入 ξ 服从 正态分布 N(1000，402)，则此县农民月均收入在 1000 元到 1080 元之间的人数占全县农民人数的百分比为_______．
解：P(1000<ξ≤1080)＝12P(1000－80<ξ≤1000＋80) ＝12×0.9544＝0.4772.故填 47.72%.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.10 正态分布
1．正态曲线的性质
(1)正态曲线的定义
(x)2
函数 φμ，σ(x)＝
1
e 2 2
2π σ
，x∈(－∞，＋∞)，
其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象(如 图)为正态分布密度曲线．简称______________．
态分布 N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值
为( )
A．2386
B．X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)
＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.
解：P(0<X<1)＝12P(－1<X<1)＝12×0.6826＝0.3413，落入阴 影部分的点的个数的估计值为 10000×0.3413＝3413.故选 C.
解：由正态曲线关于直线 x＝μ 对称，知 μ1＜μ2＝μ3；σ
的大小决定曲线的形状，σ 越大，总体分布越分散，曲线越
矮胖；σ 越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则 σ1＝σ2＜σ3.
实 际 上 ， 由 φ1(μ1) ＝ φ2(μ2) ＞ φ3(μ3) ， 则
1＝ 2πσ1
1＞ 2πσ2
1 2πσ3