先静后动,,各个击破,巧解一类规划题

评析：通过换元，使其更加符合习惯.解题时，要善于对条件和结论进行加工、调整， 将其纳入我们认知的轨道中来. 练习 设实数 x, y 满足
x y 2 0, 8 3 求u x y 的取值范围. 27 x 2 y 5 0, y 2 0,
答案： [3,
综上所述， u 的取值范围是 [ , ] . 例2 设实数 x, y 满足
x y 2 0, 求 x 2 y 5 0, y 2 0,
（1） u1 x 2 y 2 的取值范围；（2）求 u2 x y 2 的取值范围； 解：可行域如图 1 阴影部分（含边界），设点 P ( x, y ) 是可行域中的动点. (1)对于 u1 x 2 y 2 ，是 x 的增函数，是 y 的减函数， 对于每一个固定的 y 的值，要使 u1 取得最大值，应使 x 取得最大值，即 P 点应位于线段
y 1, 标系中， 动点 P ( x, y ) 满足 23 x y 24, 不等式表示的平面区域是图 3 11x 2 y 28,
中的阴影部分（含边界），易求得 A(1,1) ， B (
26 4 76 ,1) ， C ( , ) ，设 11 7 7
t a9 d 2 x 2 8 x y ( x 4) 2 y 16 ，由二次函数性质可得，
1 1 1 ； 4 2 2 2 对于每一个固定的 y 的值，要使 u 取得最大值，应使 x 取
图1
得最小值，即 P 点应位于线段 AB 上，此时
x 5 2 y (1 y 2) ， u ( y )
1 1 1 1 5 (1 y 2) .记 x 2 y 5 2 y 2 y 2 y (5 2 y )
此文发表于《数学通讯》2015题
苗勇（江苏省睢宁县古邳中学，221200） 郑良（安徽省灵璧县第一中学，234200） 单变量范围容易控制，类型相对简单；而多变量各行其是，又相互制约，使得问题错综 复杂，思考起来难免挂一漏万.学生面对此类问题，或一筹莫展，或解题后惴惴不安（担心 算法是否合理，解答是否正确）.因此，在合理算法支撑下，准确无误地操作，方可确保解 答的水到渠成.如线性规划的整点最优解问题，常见方法：一是优值调整法，以退为进先求 出目标函数在可行域下的最优解，当整点最优解不是“角点”时，向可行域内部进行优值调 整；二是枚举法，先固定每一个 x （或 y ）的值，求出目标函数的最值，然后将这些（有限 个）最值再进行一次筛选，得到整点的最优解（最终的最值）. 例1 设实数 x, y 满足
f ( y ) 2 y (5 2 y ) 4 y 2 10 y ，其图象开口向下，故 f ( y )min min{ f (1), f (2)} {6, 4} 4 ，
所以 umax
5 5 ，此时 P (1, 2) 与点 A 重合； f ( y ) min 4
1 5 2 4 评析：目标函数是一个二元函数，先将其中一个固定（看成常数），考察函数单调性， 寻找其取最值的必要条件，得到二变元之间的等量关系，再利用此等量关系进行消元，转化 为一元函数，由陌生到熟悉，由复杂到简单，达到“以静制动，各个击破”的效果，容易理 解，便于操作.
例 4（江苏省徐州市 2014 届高三考前模拟 14）设等差数列 {an } 的公差为 d ，前 n 项和 为 S n ，且 a1 1 ， a24 24 ， S12 168 ，则 a9 d 的取值范围是 _________ .
2
解：由题意可得， 23d a1 24 ，11d 2a1 28 ，记 x d ， y a1 ，在平面直角坐
BC 上，此时 x y 2(1 y 2) ，u1 ( y 2) 2 y 2 4 y 4 12 ,当 y 2 时取得等号，所以 u1 的最大值为 12，此时点 P 与点 C 重合；
由于 u1 x 2 y 2 是 x 的增函数，是 y 的减函数，当 P 点与 A 点重合时，此时 x 取得最小 值 1，同时 y 取得最大值 2，所以此时 u1 取得最小值 12 22 3 ； 综上所述， u1 的取值范围是 [3,12] . (2)对于 u2 x y 2 ，既是 x 的增函数，也是 y 的增函数， 当 P 点与 C 点重合时，此时 x 取得了最大值 4，同时 y 取得最大值 2，此时 u2 取得最大 值 4 22 8 ； 对于每一个固定的 y 的值，要使 u2 取得最小值，应使 x 取得最小值，即 P 点应位于线 段 AB 上，此时 x 5 2 y (1 y 2) ，此时 u2 x y 2 5 2 y y 2 ( y 1) 2 4 4 ,当 y 1 时取得等号，所以 u1 的最小值为 4，此时点 P (3,1) 与点 B 重合；
x y 2 0, 1 1 求u 的取值范围. x 2y x 2 y 5 0, y 2 0,
这是线性约束条件下的非线性规划问题，因为目标函数没有明显的几何意义，不易“对 号入座”，导致解题思维的发散和解法的多样化.文［1］通过对目标函数变形，使之转化为 求二次函数在动区间上的最值问题， 但由于参变量的讨论稍显复杂， 出现了错误结果； 文 ［2］ 1 1 通过换元 （令 s , t ） ， 将目标函数转化为线性函数， 但可行域却难以画出， 未达到“好 x y 作图”、“作图好”、“用好图”的目的，正是由于可行域的判断失误，导致错误结果的发 生. 当前教学中，由于受到高考指挥棒的影响，课堂上过度注重对常规题（高考试题的外显 形式）的“通性通法”的强调与演练，而疏于对其逻辑原理进行解释和帮助学生理解，使得 对很多学生解题时出现“张冠李戴”、“移花接木”的现象.题目结构特征是解题的出发点、 落脚点和归宿.在教与学中，我们要以题目结构特点为抓手，以思维培养为目标，让学生思 维适度发散聚合，既要“通性通法”，也要“奇思妙想”.本文给出这个问题的另类解法. 解：可行域如图 1 阴影部分（含边界），容易求出点
5 y 2 x 10(2 x 4) ，此时 xy x(2 x 10) 2( x )2 2 25 5 5 ，所以当 x 时， 取得最大值，此时 P ( ,5) . 2 2 2
评析：与前两例不同，本例需两次分别固定变量，才能确认 当 取最大值时，P 点必位于线段 BC 上.要迁动思维， 举一反三， 勤于质疑，力求规范.不理解方法的本质，机械模仿，生搬硬套， 不是学好数学的正确选择. 图2
A(1, 2) ， B (4, 2) ， C (3,1) ，所以 1 x 4 ， 1 y 2 ，
设点 P ( x, y ) 是可行域内一动点，二元函数 u ( x, y )
1 1 ， x 2y
既是 x 的减函数，也是 y 的减函数。 当 P 点与 C 点重合时，此时 x 取得最大值 4，同时 y 取得 最大值 2，此时 u 取得最小值
对于每一个固定的 y ，当 x 越接近 4 时 t 越大，当 x 远离 4 时 t 越小，所 以要使 t 取最大值， P ( x, y ) 必在线段 BC 上，此时 11x 2 y 28 ，
5 5 249 4 26 5 x 14 ( x ) 2 ( x ) ，所以当 x ，即 图3 2 4 16 7 11 4 5 57 249 点 P ( , ) 时， t 取得最大值 ；要使 t 取最小值， P ( x, y ) 必在线段 AC 上，此时 4 8 16 15 321 4 所以当 x 1 ， 即 P (1,1) 23 x y 24 ，t x 2 15 x 24 ( x ) 2 ( x 1) ， 2 4 7 时， t 取得最小值 8. 249 2 综上所述， a9 d 的取值范围是 [8, ]. 16 t x2
综上所述， u2 的取值范围是 [4,8] . 例 3 (2008 年上海高考 11 题) 在平面直角坐标系中，点 A, B, C 的坐标分别为(0，1)，(4， 2)，(2，6)．如果 P ( x, y ) 是 ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当 xy 取到最大值 时，点 P 的坐标是 _________ 解：如图 2， 0 x 4 ， 1 y 6 ， xy 是 x ， y 的增 图2 函数.对于固定的 y ，要使 取最大值，应使 P 在最右方，对 于固定的 x ，要使 取最大值，应使 P 在最上方，所以当 取最大值时， P 点应位于线段 BC 上，易求出线段 BC 方程为
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参考文献： [1] 陈大连.把握解法的本质，方可以不变应万变[J].数学通讯，2014（上半月）（4）. [2] 曾晓阳. 换元回归根本，再探另类规划问题[J].数学通讯，2014（上半月）（9）.