上海市部分重点中学2008届高三第二次联考(文科)

上海市部分重点中学2008届高三第二次联考数学（文科）试卷 （2008.3）一、填空题：（12×4’＝48’）1、集合}2|||{<=x x A 的一个非空真子集是__________2、若(2)a i i b i +=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a __________3、若函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 10)(，则=)]([x D D _______4．若函数()2x f x x =+的反函数是y f x =-1()，则f -⎛⎝ ⎫⎪=113___________5、在等差数列}{n a 中，5737a a ==，，则349a a a +++=_______6、若1sin()2πα+=，)0,2(πα-∈，则α=____ 7、已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且圆与直线3x + 4y +4 = 0相切，则圆的标准方程是_______________________8、已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33， 则=c 9、若x 、y满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0946y x y x y x ，目标函数k=2x+y 的最大值是10、某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________11、抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++ (n ∈N *)，交x 轴于,n n A B 两点，则11223320082008||||||||A B A B A B A B ++++值为___________12、若一条曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，则称这条曲线为“二重对称曲线”，给出下列四条曲线：222(1)1(2)14y x x y +==+(3))(4)(,)6y x y kx b k b R π+=+∈其中是“二重对称曲线”的有___________ 二、选择题（4×4’=16’）13、满足“对任意实数y x ,，)()()(y f x f y x f ⋅=⋅都成立”的函数可以是 ( )（A ）x x f 3)(=； (B)x x f 3log )(=； (C)3)(x x f =； (D)xx f 3)(=。

14．若m 为实数，则复数i m m m m )6()2(22--+-+在复平面内所对应的点不可能位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限15、若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 16、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b 则a , b 的值分别为（ ）A ．0.27 , 78B ．0.27 ,83C ．2.7 ,78D ．2.7 , 83三、解答题：17、（6+6）已知向量a =（−cos x ，sin x ），b =（cos x ，3cos x ），函数f （x ）=a b ⋅， 求（1）函数f （x ）的最小正周期（2）函数f （x ）在x ∈[0,2π] 上的最大值与最小值，并指出何时取得？ [解]18、（6+6）在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），AD =1AA =1，2AB =，点E 是AB 的中点 求(1)异面直线1AD 与EC 所成的角 (2)点D 到平面1ECD 的距离 [解]19、（7+7）已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>x x ，其前n 项和为n S（1）求函数1lim )(+∞→=n n n S S x f 的解析式；（2）解不等式8310)(xx f ->．[解]20、（4+6+4）电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机长途通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行CD ） (1)若通话时间为两小时，按方案A ，B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B 比方案A 优惠？21、（4+6+6）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(1)已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F(1,0) ，写出椭圆C 的方程(2)设K 是（1）中所的椭圆上的动点，点O 是坐标原点，求线段KO 的中点B 的轨迹方程 (3)设点P 是（1）中椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L有关，并证明你的结论。

22、（4+7+7）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；22()423g x x x m m =-++--.（1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ，求)(m T 的取值范围.上海市部分重点中学2008届高三第二次联考数学（文科）试卷参考答案 （2008.3）1、{1}2、-13、0 4． 1 5、35 6、6π- 7、22(2)4x y -+=8、13 9、7 10、6112111122=⨯P 11、2008200912、 (1),(3),(4) 13、 C 14、 C 15 A 16、A 三、解答题：17、[解](1) f(x)=a b ⋅=−cos 2x +3sin x cos x ………………2分=sin （2x −6π）−21 …………………………4分T=π …………………………6分(2)∵x ∈[0,2π] ∴ 52666x πππ-≤-≤ …………… 8分当x =3π时，max ()f x =1−21=21 …………………… 10分当x =0时，min ()f x =1- …………… 12分 18、 [解] 解法1：取CD 的中点Q ，则AQ 平行与EC ，所以1D AQ ∠是所求的角------2分求解1D AQ ∆得1D AQ ∠=3π-------------5分异面直线1AD 与EC 所成的角为3π-------6分解法2：利用向量法分别以DA ，DC ，D 1D 所在的直线为X 轴建立坐标系---------------------------------1分 写出A （1，0，0） E （1，1，0 ） C （0，2，0） 1D （0，0，1）-----2分1(1,0,1),(1,1,0)AD CE =-=--------------------------------3分设1AD CE 与的夹角为θ cos θ=12-----------------5分 异面直线1AD 与EC 所成的角为3π-----------6分（2） 设点D 到平面1ECD 的距离为h -----------7分由11D DEC D D EC V V --= 111313D ECDEC S h S DD ∆∆⋅=⋅ ---------9分13111121232h ⨯⨯⨯⨯=⨯h ⇒=----------11分 点D 到平面1ECD分 19、[解] （1）当1=x 时，1,1+==+n S n S n n ，()f x =11lim =+∞→n nn ； (2)分当0>x 且1≠x 时，xx S n n --=11，111lim )(+∞→--=n nn x x x f ，……………………4分若10<<x ，1)(=x f ；……………5分，若1>x ，则xx f 1)(=，……………6分综上，⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=)1(1)10(1)(x xx x f ……………………7分（2）当10≤<x 时，由83101x ->，得132≤<x ；……………………10分 当1>x 时，由83101x x ->，得341<<x 或2>x 。

………………13分综上可得原不等式的解集为),2()34,32(∞+ 。

…………………14分20、[解]：设通话x 分钟时，方案A ，B 的通话费分别为(),()A B f x f x ---------1分 （1）当x=120时 ()A f x =116元 ()B f x =168元-----------3分若通话时间为两小时，方案A 付话费116元，方案B 付话费168元------4分（2）980601680500(),()338060185001010A B x x f x f x x x x x≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪==⎨⎨+<+<⎪⎪⎩⎩----------7分当500x >时(1)B f x +-()B f x =0.3 --------------------------------9分 方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3 元-------------------10分 (3) 当500x >时()()A B f x f x >-------------------------------11分060x ≤≤ ()()A B f x f x <----------------------12分 60500x <≤由()()A B f x f x >得8803x >----------13分 综合通话时间在880(,)3∞内方案B 较优惠。

----------14分 21、[解]：（1） 22(2)a c = ------1分c =1, ------2分2243a b ==------------3分椭圆C 的方程为 22143x y +=-----------4分（2）设KO 的中点为B （x, y ）则点(2,2)K x y --------6分把K 的坐标代入椭圆22143x y +=中得22(2)(2)143x y +=-----8分线段1KF 的中点B 的轨迹方程为22134y x +=----------10分（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----11分,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得222200114343x y x y +=+=，------12分 000PMPNy y y y k K x x x x -+==-+-------------------13分 PMPN k K ⋅=2200022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=34------------15分故：PMPN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关，-----16分22、 [解]：当1a =时，11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为)(x f 在(),0-∞上递减，所以()(0)3f x f >=，即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数。