概率论的基本概念试题四汇总
概率论
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
A1 A2 A3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P(B | A3 )
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
3 某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3 号机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床 之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1） 没有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要 照看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。
练习2
发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ ．” 和“ － ”，• 由于通信系统受到干扰，当发出信 号“ ．”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收 到信号 “ ．”和“ － ”，同样，当发报台发 出信号“ － ”时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ － ”和“ ．”．求 (1) 收报台收到信号“ ．”的概率． (2） 当收报台收到信号“ ．”时，发报台确系 发出信号“ ．”的概率．
x1 , x2 ,
即
, xn ,
，而取值 xk 的概率为
pk
PX xk pk
概率论习题试题集4
一、填空题1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-XeX E 。
2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且3.0)42(=<<X P ，则__________)0(=<X P 。
3. 已知离散随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即 ,2,1,!2)(2===-k e k k X P k ，则23-=X Z 的数学期望___________)(=Z E 。
4. 已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π，则________________,__________==DX EX 。
5. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则________________,__________==DX EX 。
6. 设离散随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知,9.0=EX 则________=DX 。
7. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为4.0，则2X 的数学期望_____________2=EX 。
8. 设随机变量X 与Y 相互独立，4,2==DY DX ，则______________)2(=-Y X D 。
（12）9.若随机变量321,,X X X 相互独立，且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从_________分布，___________________,__________==DX EX 。
10.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x ϕ，⎩⎨⎧>=--其他,05,)()5(y e y y ϕ，则_______________)(=XY E 。
二、选择题1. 已知随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则二项分布的参数p n ,的值为（ ）（A ）6.0,4==p n ； （B ）4.0,6==p n ； （C ）3.0,8==p n ；（D ）1.0,24==p n 。
概率论期末复习题集
概率论期末复习题集一、基本概念与原理1. 定义随机试验、样本空间、事件，并举例说明。
2. 解释概率的古典定义、频率定义和主观定义。
3. 描述概率的公理化定义，并列出概率的三个基本公理。
4. 举例说明条件概率的概念，并解释全概率公式和贝叶斯公式。
5. 描述随机变量、离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
6. 定义数学期望、方差、标准差，并解释它们的意义。
二、离散型随机变量1. 给出离散型随机变量的概率分布列和概率质量函数。
2. 计算离散型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释二项分布、泊松分布和几何分布，并给出它们的期望和方差公式。
4. 利用二项分布解决实际问题，例如药物测试的成功率问题。
三、连续型随机变量1. 描述连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
2. 计算连续型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释均匀分布、指数分布和正态分布，并给出它们的概率密度函数和期望、方差的公式。
4. 利用正态分布解决实际问题，例如测量误差的分布问题。
四、多变量随机变量1. 定义联合分布函数和边缘分布函数，并解释它们之间的关系。
2. 描述协方差、相关系数和独立性的概念。
3. 计算两个随机变量的协方差和相关系数。
4. 利用联合分布解决实际问题，例如两个独立试验的联合成功概率。
五、大数定律和中心极限定理1. 解释切比雪夫不等式、马尔可夫不等式和切比雪夫大数定律。
2. 描述中心极限定理的内容，并解释为什么它在统计学中非常重要。
3. 利用中心极限定理估计样本均值的分布。
六、随机过程1. 定义随机过程和遍历理论。
2. 描述泊松过程和维纳过程，并解释它们在实际中的应用。
3. 解释随机过程的平稳性和遍历性。
七、应用题1. 一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，计算以下事件的概率：至少有3个红球。
2. 某工厂生产的零件，每个零件合格的概率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
3. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，求X的数学期望和方差。
概率论习题试题集
11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。
12. 某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。
13. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求：（1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。
15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。
16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次；（3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。
（利用事件的关系求随机事件的概率）17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，（1）若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率；（2）若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。
19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C 的有3%。
试求下列事件的概率：（1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。
20．某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：（1）至少有一天下雨的概率；（2）两天都不下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率。
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
概率论复习题题库
第一章 随机事件与概率第一部分 作业1. 将三封信任意投到四个信筒中，求三封信都投到同一信箱和分别投到三个不同信箱的概率。
2. 设,A B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：(|)(|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
3. 甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱，求：从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
4. 三台机器独立的运转着，三台机器不发生故障的概率分别为0.9、0.8和0.7，求三台机器至少有一台发生故障的概率。
第二部分 综合练习一、填空题1. 已知()0.5,()0.25P A P B A ==，则()P AB = 。
2. 试在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在4次重复独立试验中。
事件A 至多有一次不发生的概率是 。
3. 设A 表示事件“掷一颗骰子出现偶数点”，B 表示事件“掷一颗骰子出现2点”则A 与B 的关系是 。
4. 将3个球随机地放入4个盒子中，则事件“盒中球个数最多为1”的概率为 .5. 设在三次独立试验中，事件A 发生的概率都相等。
若已知A 至少发生一次的概率为0.784，则A 在一次试验中发生的概率为 。
二、选择题1. 对于任意两事件A 和B ，( ) A. 若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 B. 若AB ≠Φ，则A 和B 可能独立 C. 若AB =Φ，则A 和B 一定独立 D. 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立2. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为( ) A. 23(1)p p - B. 26(1)p p - C. 223(1)p p - D. 226(1)p p - 3. 设事件A 与事件B 互不相容，则( ) A. ()0P A B = B. ()()()P AB P A P B = C. ()1()P A P B =- D.()1P A B ⋃= 4. 设事件A B ⊂且0()1P A <<，则必有( )A. ()(())P A P A A B ≥+B. ()(())P A P A A B ≤+C. ()()P B P B A ≥D. ()()P B P B A ≤5. 随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( )。
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
概率论基础试题
第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论经典试题
第一章 概率论的基本概念课外习题一．单项选择题1． 设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，则下列成立的是（ ）（A ）事件A 和B 互斥 （B ）事件A 和对立（C ）事件A 和B 不独立 （D ）事件A 和B 相互独立2．A 表示“既下雨又刮风”的事件，则的意义是（ ）_A (A)既不下雨又不刮风 (B)不下雨或不刮风 (C)不下雨但刮风 (D)下雨而不刮风3．若P(AB)=0, 则（ ） )()()( )(B P A P B A P A +=∪ (B) P(A)=0或P(B)=0(C) A,B 互不相容 (D) A,B 互为对立事件4． 下列关于事件的运算中正确的有 ( )(A) (A U B)-B=A (B) (A-B)∪B=A(C) (A-B)B=A ∪B (D) (A-B)+B=(A B)-BU ∪5．设10张奖卷只有一张中奖，现有10个人排队依次抽奖，则下列结论正确的是( )(A) 每个人中奖的概率相同 (B)第一个比第十个中奖的概率大(C)“第一个人未中奖而第二个人中奖”的概率为91 (D)每个人中奖与否是相互独立的 6． 对于事件A,B, 下列结论不正确的有 ( )(A)若A,B 对立，则也对立 (B)若A,B 独立, 则)()()()(1) (B P A P B P A P B A P +−−=,(C)若A,B 对立, 则0)(=∪B A P (D)若A,B 互不相容,则P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).7．，则（ ）0)(=B A P A ．互不相容 B ．为不可能事件B A B AC ．未必为不可能事件D ．B A 0)(=A P 或0)(=B P8．设，，互不相容（即0)(≠A P 0)(≠B P B A ,φ=B A ），则肯定正确的是（ ）A ．B A ,互不相容 B ．B A ,相容C ．D ．)()()(B P A P B A P =)()(A P B A P =−9．同时发生时，C 必发生，则（ ）B A ,A ．1)()()(−+≥B P A PC P B ．1)()()(−+≤B P A P C PC ．D ．)()(B A P C P =)()(B A P C P U =10．一系统由三元件并联，已知正常工作的概率分别为，则系统工作正常的概率为（ ）C B A ,,C B A ,,C B A P P P ,,A ． B ．C B A P P P C B A P P P −1 C ．)1()1()1(C B A P P P −−−D ．)1()1()1(1C B A P P P −−−−二．填空题1．41)(,21)(,31)(===AB P B P A P , 则.)( ,)|( ,)|(=∪==B A P B A P A B P2．设 P(A)=p>0, P(B)=q>0.(1)若A,B 相互独立, 则,)(=∪B A P ,)(=−B A P.)|( ,)|(==B A P B A P(2)若A,B 互不相容，则P(A B)= ∪, P(A-B)= ,=)|(B A P , P(A|B)= .(3)若A,B 相互对立, 则P(A B)= ∪, P(AB)= .P(A-B)= , )|(B A P = , )|(B A P = .3．在3重贝努利实验中,每次实验成功的概率为p,如果三次都成功与三次都失败的概率相同， 则p= .21)|(,3`1)|(,21==B A P A B P 则=∪)(B A P . 4．已知P(A)=5．已知P(B)=0.3, , 则 6.0)(=∪B A P =(A P .6．已知某元件能工作100小时的概率为 ，已知某元件能工作200小时的概率为，现这元件已工作100小时，那么它还能再工作100小时的概率为 6.04.0。
第4章 概率论基本概念 习题答案
（6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现 A B C （7）A、B、C中至少二个出现： BC AC AB
3. 化简下列各式： （1） A B ) ( B C ) ( 解：原式 ( A B ) ( B C )
AB AC BB BC AC B AB BC AC BS AB BC AC B
工艺(2)的废品率为
P 2 ( 废品 ) 1 P ( 两道工序均不出废品 1 ( 1 0 . 2 )( 1 0 . 1 5 ) 0 . 32 )
显然，工艺(2)的废品率低。
23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的25%、35% 和40%，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中， 任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。
2 2 m 2 M 2 1 1
另一只是废品
) P (B | A)
P ( AB ) P ( A)
C M mC m C
2 M
1
1
-C
2 m
(M m)m M ( M 1) 2 m ( m 1) 2 2m ( M m )
M
2m ( M m )
2
M m m
2
P ( A B ) P (( S A ) B ) P ( B AB ) q r P ( A B ) P (( S A ) B ) P ( S A B ) 1 p r
P(AB ) P(A B) 1 P(A B) 1 p q r
12. 一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两 样中有一个操作失效，该控制系统便失灵。设雷达在100小时内 操作正常的概率为0.9，而计算机在操作100小时内失效的概率 为0.12，试求在100小时内控制系统失灵的概率。
概率论与数理统计习题集及问题详解
第1章 概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。
A B L R C D1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论试题及答案
概率论试题及答案概率论作为一门应用广泛的数学学科，研究随机事件的发生概率和规律。
下面将介绍几个概率论试题及它们的答案，帮助读者更好地理解概率论的基本概念和应用。
题目一：骰子问题问题描述：假设有一枚六面骰子，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
现在连续掷骰子20次，求掷出奇数点数的次数大于偶数点数的概率是多少？解答：首先，观察到每次掷骰子的结果只可能是1、2、3、4、5、6这6个数字中的一个。
而奇数有3个（1、3、5），偶数也有3个（2、4、6）。
因此，每次掷骰子奇数点数的概率和偶数点数的概率是相等的，都为1/2。
那么，连续掷骰子20次，奇数点数的次数大于偶数点数的概率可以通过计算二项分布来求解。
记成功事件为掷出奇数点数的次数大于偶数点数的次数，成功的次数可能为11、12、 (20)根据二项分布的公式，可以计算每个可能成功次数对应的概率，并将这些概率相加，即可得到最终的概率。
题目二：抽奖问题问题描述：在一个抽奖活动中，共有100人参与抽奖，每人只能中奖1次。
现在有10个一等奖和20个二等奖，计算一个人中奖的概率。
解答：中奖的概率可以通过计算每个人中奖的概率，并将这些概率相加来求解。
首先，计算一个人中一等奖的概率。
一等奖有10个，参与抽奖的人有100个，因此，一个人中一等奖的概率为10/100=1/10。
接下来，计算一个人中二等奖的概率。
二等奖有20个，中奖概率为20/100=1/5。
最后，将中一等奖和中二等奖的概率相加，并得到一个人中奖的总概率为1/10+1/5=3/10=0.3。
题目三：扑克牌问题问题描述：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，计算抽出来的牌中至少有一张是红桃的概率。
解答：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，抽出来的牌中至少有一张是红桃可以通过计算该事件的对立事件的概率来求解。
设事件A为抽出来的牌中至少有一张是红桃，事件B为抽出来的牌中没有红桃。
首先，计算事件B的概率。
红桃有13张，而一副扑克牌有52张，所以剩下的非红桃牌有39张，抽出5张非红桃牌的概率为C(39,5)/C(52,5)。
概率论考研题目及答案
概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。
求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。
2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。
答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。
2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。
两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。
因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。
题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。
在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。
现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。
答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.7- P(B) = 0.3- P(M|A) = 0.6- P(M|B) = 0.7使用全概率公式，我们可以计算出P(M)：\[ P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) = 0.7 \times 0.6 + 0.3\times 0.7 = 0.63 \]现在我们要求的是P(A|M)，即在已知是男孩的条件下，这个男孩是在A医院出生的概率。
使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。
求：1. X的期望值和方差。
2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。
答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。
概率实用题目
第一部分：概率论基本概念（包括随机试验、概率定义、独立性、全概率公式与贝叶斯公式、二项概率公式等内容）1.设Ω＝{1,2,…,10}，A ＝{2,3,4}，B={3，4，5}，C ＝{5，6，7}，具体写出下列各等式。
（1）A B （2）B A ⋃ （3）B A （4）BC A （5）)(C B A ⋃2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。
（1）A 发生，B 、C 不发生；（2）A 、B 都发生，而C 不发生；（3）所有三个事件都发生；（4）三个事件都不发生；（5）三个事件中恰有一个发生；（6）三个事件中至少有一个发生；（7）三个事件中至少有两个发生；（8）不多于一个事件发生。
3．抽查4件产品，设A 表示“至少有一件次品”，B 表示“次品不少于两件”，问A B 各表示件？4．甲乙两炮同时向一架飞机射击，已知甲炮击中的概率为0.6，乙炮击中的概率为0.5，甲乙两炮都击中的概率为0.3，求飞机被击中的概率是什么？5．从一付扑克牌中任取4张，求至少有一张A 的概率是多少？若从无大小王牌的52张中任取一张，求这一张恰是A 的概率是多少？6．为了减少比赛场次，把20个球队分成两组（每组10队）进行比赛，求①最强的两队被分在不同组内的概率？②分在相同组内的概率？7．房间内有4个人，问至少一个人的生日是12月份的概率是多少？至少两个人的生日是同一个月的概率是多少？8．有三个班级，每班在一个星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以随机安排，求三个班在不同三天游泳的概率。
9．10个零件中有3个次品，7个合格品，从中任取一个不放回，求第三次才取得合格品的概率是多少？10．某城市的两家主要银行为争取城市居民存款储户展开竞争。
已知银行甲争取到20万户的可能性为0.6，银行乙争取到20万户的可能性为0.5，又知当银行乙争取到20万户时银行甲也争取到20万户的可能性为0.3，求（1）当银行甲争取到20万户时银行乙也争取到20万户的概率；（2）甲、乙银行同时争取到20万户的概率。
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第一章 概率论的基本概念试题四
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 .．
2．把10本书随机放在书架上，其中指定的3 本放在一起的概率为 ．
3．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 ．
4．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，第三道工序的废品率为3p ，则该零件的成品率为 ．
5．三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为0.2，0.35，0.25，则此密码能够被破译的概率为 ．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设事件C B A ,,满足1)(),(0),()()(<<=C P B P B P A P AB P , 则有（ ）．
（A ）)|()|()|(C B P C A P C AB P =；
（B ）)|()|()|(C C P B A P B A P =+；
（C ）)|()|()|(C C P B A P B A P =+；
（D ）)()(B A P B A P =．
2．已知1)(0<<B P 且)|()|()|)((2121B A P B A P B A A P += ，则下列选项成立的是（ ）．
（A ）)|()|()|)((2121B A P B A P B A A P += ；
（B ）)()()(2121B A P B A P B A B A P += ；
（C ）)|()|()(2121B A P B A P A A P += ；
（D ）)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=．
3．已知6.0)(,5.0)(==B P A P 以及8.0)|(=A B P ，则)|(B A B P 等于（ ）．
（A ）54 （B ） 116 （C ）43 （D ）7
6 4．设B A ,是两个随机事件，且)|()|(,1)(),(0A B P A B P B P A P =<<，则一定有（ ）．
（A ）)()(B A P B A P =； （B ） )()(B A P B A P ≠；
（C ）)()()(B P A P AB P =； （C ） )()()(B P A P AB P ≠．
5．设A 、B 、C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且x
C p B p A p ===)()()(，则x 的最大值为（ ）．
)(A 21； )(B 1； )(C 3
1 ； )(D 41 三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．）
1．某城市有N 部卡车，车牌号从1到N ，有一个外地人到该城市去，把遇到的 n 部卡车的牌号抄下来（可能重复），求抄到的最大号码正好是K 的概率．
2．在1—2000中随机取一整数，问取到的整数不能被6或8整除的概率是多少 ？
3．设n 个人排成一行，甲、乙是其中两人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率．
4．n 个人每人带一件礼品参加联欢会，联欢会开始后，把所有礼品编号，然后每人各取一个号码，按号码取礼品，求所有参加的人都取到别人赠送的礼品的概率．
5．设C B A 、、是任意随机事件，证明)()()()(A p BC p AC p AB p ≤-+．
6．设一只昆虫所生的虫卵数X 服从泊松分布)(λp ，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p ，并且各虫卵是否发育成幼虫是相互独立的，求一只昆虫所生的幼虫数Y 的概率分布．
7．m+n 个人排队买票，票价为5元，这些人中有m 个仅有5元的纸币，其余n 人（m n ≤）仅有10元纸币．如果每个人只买一张，并且售票处开始没有零钱找，求在买票过程中没有一个人等候找钱的概率．
8．有一种钱币游戏， A 、B 、C 三人同时抛出一枚硬币，然后比较结果．如果一枚硬币出现与另两枚不同的面，则持此硬币的人获胜；如果三枚都同面，就再抛，直到有一枚不同面为止，一次比赛规定为有一枚不同于另两枚的情形．假设硬币都是公平无偏，求证所有玩者都有均等的获胜机会，并求在6次比赛中A 至少输5次的概率？
9．盆中有5个乒乓球，其中3个新，2个旧的，每次取一球，连续无放回地取两次，求
（1）两次都取到新球的概率；
（2）第二次取到新球的概率；
（3）若第二次取到新球时，第一次取到的也是新球的概率．
10．（10分）某商店收进甲厂生产的产品20箱, 乙厂生产的同种产品15箱, 甲厂每箱80个, 废品为6个, 乙厂每箱装100个, 废品是5个, 求：
(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率．。