Matlab语言及其在有限元编程中的应用
MATLAB有限元分析与应用精选全文完整版
%SpringElementForces This function returns the element nodal force
%
vector given the element stiffness matrix k
%
and the element nodal displacement vector u.
2019/11/28
§2-1 弹簧元
u1=U(1:2); f1=SpringElementForces(k1,u1);
f1 = -15.0000 15.0000
u2=U(2:3); f2=SpringElementForces(k2,u2);
f2 = -15.0000 15.0000
12
§3-1 弹簧元
%
modulus of elasticity E, cross-sectional
%
area A, and length L. The size of the
%
element stiffness matrix is 2 x 2.
y = [E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L];
2019/11/28
3.1 单元刚度矩阵的形成
function y = SpringElementStiffness(k)
%SpringElementStiffness This function returns the element stiffness %matrix for a spring with stiffness k. %The size of the element stiffness matrix is 2 x 2.
matlab二维有限元编程
matlab二维有限元编程Matlab是一种常用的数学软件，广泛应用于科学计算和工程领域。
在有限元分析中，Matlab可以用来进行二维有限元编程，实现对复杂结构的力学行为进行模拟和分析。
本文将介绍如何使用Matlab进行二维有限元编程，并给出一些实例来说明其应用。
二维有限元编程是一种将连续的物理问题离散化处理的方法，通过将连续问题转化为离散的节点和单元来进行分析。
在Matlab中，我们可以使用网格生成工具来创建二维网格，然后将其转化为节点和单元的数据结构。
节点表示问题的离散点，而单元则表示节点之间的连接关系。
在二维有限元编程中，我们通常需要定义材料的性质、载荷条件和边界条件。
材料的性质可以包括弹性模量和泊松比等。
载荷条件可以包括集中力、分布力和压力等。
边界条件可以包括固支、自由支承和位移约束等。
在Matlab中，我们可以通过定义相应的矩阵和向量来表示这些条件。
接下来，我们需要根据节点和单元的数据结构建立刚度矩阵和载荷向量。
刚度矩阵描述了节点之间的刚度关系，而载荷向量描述了节点上的外力作用。
在Matlab中，我们可以使用循环和矩阵运算来建立这些矩阵和向量。
然后，我们可以通过求解线性方程组的方法来计算节点的位移和应力。
我们可以根据节点的位移和应力来进行结果的后处理。
后处理可以包括绘制位移和应力云图、计算节点和单元的应变能和应力分布等。
在Matlab中，我们可以使用绘图函数和计算函数来实现这些后处理操作。
下面是一个简单的例子来说明如何使用Matlab进行二维有限元编程。
假设我们要分析一个弹性材料的悬臂梁，在梁的一端施加一个集中力。
首先，我们需要定义材料的性质、载荷条件和边界条件。
然后，我们可以使用网格生成工具创建二维网格，并将其转化为节点和单元的数据结构。
接下来，我们可以建立刚度矩阵和载荷向量，并求解线性方程组得到节点的位移。
最后，我们可以进行结果的后处理，如绘制位移和应力云图。
Matlab提供了强大的工具和函数来进行二维有限元编程。
第三章MATLAB有限元分析与应用
第三章MATLAB有限元分析与应用有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种工程计算方法，用于解决结构力学和流体力学等问题。
它将一个复杂的结构分割成多个简单的离散单元，通过建立数学模型和求解方程组，得到结构的力学、热力学和流体力学等性能参数。
MATLAB是一种功能强大的数学计算软件，具有直观的用户界面和丰富的工具箱，可以方便地进行有限元分析。
本章将介绍在MATLAB中进行有限元分析的基本步骤和方法，以及一些常见的应用例子。
首先，进行有限元分析需要将结构进行离散化。
常用的离散化方法有节点法和单元法。
节点法是将结构的几何形状划分为小的节点，并在节点上进行计算。
单元法是将结构划分为多个小的单元，并在每个单元内进行计算。
在MATLAB中，可以通过创建节点和单元的矩阵来描述结构和单元的关系。
例如，创建一个2D结构形式的节点矩阵：nodes = [0 0; 1 0; 0 1; 1 1];然后，通过创建描述节点连接关系的矩阵，来定义结构的单元：elements = [1 2 3; 2 4 3];这里的每一行代表一个单元，数字表示节点的编号。
接下来，需要定义材料的力学参数和边界条件。
材料的力学参数包括弹性模量、泊松比等。
边界条件包括支座约束和加载条件。
在MATLAB中，可以通过定义力学参数和边界条件的向量来描述。
例如，定义弹性模量和泊松比的向量：E=[200e9200e9];%弹性模量nu = [0.3 0.3]; % 泊松比定义支座约束的向量（1表示固定，0表示自由）：constraints = [1 1; 0 0; 0 1; 0 1];定义加载条件的向量（包括点力和面力）：最后，通过求解方程组得到结构的应力和位移等结果。
在MATLAB中，可以利用有限元分析工具箱中的函数进行计算。
例如，可以使用“assem”函数将节点和单元的信息组装成方程组，并使用“solveq”函数求解方程组。
最新MATLAB在有限元分析方法中的应用PPT
PlaneFrameElementStiffness：
PlaneFrameAssemble：
PlaneFrameElementForces：
PlaneFrameElementAxialDiagram：
PlaneFrameElementShearDiagram PlaneFrameElementMomentDiagram PlaneFrameInclinedSupport——（T） ............
2、可视化及强大的图形功能。
（1）绘图 （2）界面编制
3、含有多种学科的工具箱[ToolBox]以及 程序代码的公开性。
4、程序可移植性好。
二、有限元方法的步骤：
一、离散化域 二、形成单元刚度矩阵 三、集成整体刚度矩阵 四、引入边界条件 五、求解方程 六、后处理
2020/11/11
8
简例： ——平面刚架元
实例：如图所示刚架, 已知各杆EI及A均相同, 且 A=2*10-2m2, I=5*10-5m4,E=210GPa.
PlaneFrameElementStiffness：
PlaneFrameAssemble：
整体刚度矩阵：
引入边界条件：
KUF
后处理：
四、结论和展望
Simple,Powerful and free
结束语
谢谢大家聆听！！！
39
MATLAB在有限元分析方法 中的应用PPT
一、“MATLAB”
1、前置处理 2、求解器 3、后置处理
Simple,Powerful and free
有限元软件的基本模块： 1、前置处理 2、求解器 3、后置处理
C、C++、Fortran等/MATLAB
有限元数值解法在MATLAB中的实现及可视化
有限元数值解法在MATLAB中的实现及可视化摘要：偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。
在学习初等函数时，总是先画出它们的图形，因为图形能帮助我们了解函数的性质。
而对于偏微分方程，画出它们的图形并不容易，尤其是没有解析解的偏微分方程，画图就显得更加不容易了。
为了从偏微分方程的数学表达式中看出其所表达的图形、函数值与自变量之间的关系，通过MATLAB编程，用有限元数值解法求解了偏微分方程，并将其结果可视化。
关键词：偏微分方程；MATLAB；有限元法；可视化1 引言（Introduction）偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。
近三十多年来，它的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
例如，核武器的研制要有理论设计和核试验。
但核反应和核爆炸的过程是在高温高压的条件下进行的，而且巨大的能量在极短的时间内释放出来，核装置内部的细致反应过程及各个物理量的变化是根本不能用仪器测量出来的，核试验只是提供综合的数据。
而描述核反应和爆炸物理过程的数学模型是一个很复杂的非线性偏微分方程组，也根本没有办法得到这个方程组理论上的精确解。
所以发展核武器的国家都在计算机上对核反应过程进行数值模拟，这也称为“数值核实验”，它可以大大减少核试验的次数，节约大量的经费，缩短研制的周期[1]。
在学习初等函数时，总是先画出它们的图形，因为图形能帮助我们了解函数的性质。
而对于偏微分方程，画出它们的图形并不容易，尤其是没有解析解的偏微分方程，画图就显得更加不容易了。
所以本文主要研究如何用MATLAB数值求解偏微分方程，并将其数值解绘制成三维图形的形式，从而可以从复杂的数学表达式中看出其所表达的图像、函数值与自变量之间的关系[2]。
2 有限元法（Finite element method）2.1 有限元法概述有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
Matlab在有限元中的应用
基于MATLAB的有限元结构分析王剑(重庆交通大学土木建筑学院,重庆400074)摘要: MATLAB 是当今国际科学界最具影响力和活力的软件。
文章介绍了MATLAB 语言的特点，详细介绍了用MATLAB语言编写结构内力的有限元方法，并通过实例对平面钢架结构进行了内力分析。
关键词：MATLAB 有限元结构0引言MATLAB是Mathworks公司推出的，集算法开发、数值运算、符号运算以及图形处理等强大功能于一体的高级技术计算语言和交互式环境。
MATLAB意为矩阵实验室，它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
有限元法的基本思想是将物体（即连续求解域）离散成有限个且按一定方式相互连接在一起的单元组合，来模拟和逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的数值分析法。
有限元法还有一个特点是，它的理论采用矩阵形式表达。
这并不利于一般的计算机语言编制计算机程序，因为传统的计算机语言处理的对象是标量，使用矩阵形式的有限元理论时，必须把矩阵形式的公式转换成标量表示的公式。
而如果采用MATLAB，这个特点就变成了有限元法的优点，运算更便捷。
1运用MATLAB编写有限元程序的操作步骤1.1建立有限元模型建立有限元模型就是为求解有限元模型做铺垫。
需要对节点、单元以及材料的定义。
同时对约束条件、集中力、分布力进行定义。
然后在M函数文件中以矩阵或向量的形式输入单元号、节点数、材料的性质、约束条件、集中力、分布力。
1.2求解有限元模型用MATLAB写出每个单元的单元刚度矩阵。
按照刚度集成法，把各个单元的刚度矩阵分别放到整体刚度矩阵中的相应位置上，然后根据边界条件进行修正得到整体刚度矩阵。
matlab有限元编程荷载
matlab有限元编程荷载-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：有限元方法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它通过将复杂的连续体结构分割为一系列简单的子结构，然后利用数学方法为每个子结构建立相应的数学模型，从而得到整个结构的行为特性。
这种分割的过程通常被称为网格划分，而每个子结构则称为有限元。
MATLAB作为一种功能强大的数学软件工具，被广泛应用于有限元方法的编程与分析。
MATLAB提供了大量的工具箱和函数，可以方便地实现有限元方法的各个步骤，包括网格划分、单元构造、边界条件的施加以及结果的可视化分析等。
本文将重点介绍MATLAB在有限元编程中的应用，特别是在荷载分析方面的应用。
荷载分析是有限元分析的核心内容之一，它通过施加不同的荷载条件，分析结构在荷载作用下的变形、位移和应力等。
荷载分析的准确性对于工程设计以及结构安全性的评估至关重要。
文章将首先介绍有限元方法的基本原理，包括对结构的离散化、单元的建立和组装，以及求解过程中的矩阵运算等。
然后，针对荷载分析的特点，将详细介绍MATLAB有限元编程中的荷载处理方法，包括荷载的施加、荷载类型的选择以及荷载与结构响应的耦合关系等。
通过本文的学习，读者可以了解到MATLAB在有限元编程中的应用，并且掌握荷载分析的基本原理和方法。
同时，也可以对MATLAB有限元编程在实际工程问题中的应用进行进一步的探索和研究。
总而言之，本文将为读者提供一个全面而系统的MATLAB有限元编程荷载分析的引导，帮助读者理解有限元方法的基本原理和应用，提高工程设计和结构安全性评估的能力。
1.2 文章结构本文旨在介绍MATLAB在有限元编程中的应用，重点讲解荷载分析的基本原理以及MATLAB有限元编程中的荷载处理方法。
该文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分对文章进行了概述，包括本文的目的和总结。
在概述中，我们会介绍有限元方法的简要背景和意义，以及MATLAB在该领域中的重要性。
第三章+matlab有限元分析与应用
在满足一定约束条件下，寻找使某个或多个设 计指标达到最优的设计方案的过程。
目标函数
用于衡量设计方案优劣的数学表达式，通常是 最小化或最大化的某个性能指标。
约束条件
限制设计方案选择的条件，包括设计变量的上下界、设计变量的关系等。
基于Matlab的有限元优化设计方法
MATLAB优化工具箱
提供了一系列用于求解各种优化问题的函数和算法，包括线性规划、非线性规划、混合 整数规划等。
有限元模型
由一组离散化的元素组成，每个 元素代表系统的一部分，并具有 特定的属性和行为。
节点
元素之间的连接点，用于传递力 和位移。
有限元分析的基本步骤
前处理
01
建立有限元模型，包括定义元素类型、几何形状、材料属性、
边界条件和载荷等。
Байду номын сангаас求解
02
应用数学方程求解有限元模型的节点位移和应力分布。
后处理
03
对于一些复杂模型，如具有非线性、大变形、多 材料等特性，建模难度大，需要发展更高级的建 模方法和技术。
数据安全与隐私保护
在进行有限元分析时，需要处理大量的数据，如 何保证数据的安全和隐私保护是一个重要的问题 。需要采取有效的数据加密和保护措施来确保数 据的安全性和隐私性。
未来发展方向与展望
跨学科融合
结果后处理
显示结果
使用Matlab的图形功能，如`plot`、`mesh`等，绘制 结果的可视化图像。
分析结果
对结果进行详细的分析，如查看位移分布、应力分布 等。
结果优化
根据分析结果，对模型进行优化设计，以提高性能或 降低成本。
03
有限元分析实例
Chapter
matlab编译平面有限元计算
matlab编译平面有限元计算编译平面有限元计算是一种常用的数值计算方法，可以用于求解各种复杂的工程问题。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB编写平面有限元计算程序，并通过一个实例来说明其应用。
让我们了解一下有限元方法的基本原理。
有限元方法是一种将连续体划分为有限个单元，根据物理方程和边界条件，在每个单元上建立离散方程组，最终求解得到整个连续体的近似解的方法。
在平面问题中，连续体被划分为三角形或四边形单元。
MATLAB是一种功能强大的数值计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数，可以方便地进行有限元计算。
下面我们将以求解平面弹性力学问题为例，介绍如何使用MATLAB编写平面有限元计算程序。
我们需要定义问题的几何信息、边界条件和材料参数。
在MATLAB中，可以通过定义节点坐标、单元连接关系、边界条件和材料参数来描述问题。
节点坐标可以用一个矩阵表示，其中每一行代表一个节点的坐标。
单元连接关系可以用一个矩阵表示，其中每一行代表一个单元的节点编号。
边界条件可以用一个向量表示，其中每个元素代表一个节点的边界条件。
材料参数可以用一个矩阵表示，其中每一行代表一个单元的材料参数。
接下来，我们需要建立有限元离散方程组。
在平面弹性力学问题中，离散方程组可以通过组装单元刚度矩阵和外力向量得到。
单元刚度矩阵可以通过单元的几何信息和材料参数计算得到。
外力向量可以根据边界条件和载荷信息计算得到。
最终，我们可以通过求解离散方程组得到节点的位移解。
我们可以根据节点的位移解计算出单元的应力和应变。
在平面弹性力学问题中，应力可以通过单元的几何信息和位移解计算得到。
应变可以通过应力和材料参数计算得到。
通过计算应力和应变，我们可以评估结构的稳定性和性能。
MATLAB编译平面有限元计算程序是一种强大的工具，可以用于求解各种复杂的工程问题。
通过定义几何信息、边界条件和材料参数，建立有限元离散方程组，求解得到节点的位移解，最终计算出单元的应力和应变。
MATLAB有限元分析与应用
MATLAB有限元分析与应用有限元分析是一种基于数值方法的结构分析技术，广泛应用于工程领域中各种结构的设计与优化。
MATLAB作为一种强大的计算软件，提供了丰富的数值计算、数据可视化和编程功能，成为了进行有限元分析与应用的首选工具之一MATLAB的有限元分析工具箱（FEA）提供了一系列函数和工具，用于构建、求解和分析有限元模型。
用户可以根据实际问题构建有限元模型，包括定义几何形状、材料属性、边界条件和加载情况等。
利用有限元分析工具箱提供的函数，用户可以生成刚度矩阵和负载向量，并求解有限元方程组，得到结构的位移、应力和应变等信息。
此外，MATLAB还提供了可视化工具，可以将计算结果以图形的形式展示出来，方便用户进行结果的分析和评估。
1.结构力学：有限元分析可用于评估结构的强度和刚度，进行结构的静力和动力响应分析。
例如，在设计建筑物和桥梁时，可以通过有限元分析评估结构的变形、应力和疲劳寿命，确保结构的安全性和稳定性。
2.流体力学：有限元分析可用于求解流体介质中的运动方程和温度分布，分析流体流动的特性。
例如，在航空航天领域中，可以使用有限元分析来计算飞机机翼的气动性能，并优化机翼的设计。
3.电磁场：有限元分析可用于求解电磁场的分布和场强，以及电磁场对物体的影响。
例如，在电力系统中，可以使用有限元分析来评估导线和电力设备的电磁场分布，预测设备的电磁辐射水平，以及优化电磁屏蔽设计。
4.热传导：有限元分析可用于求解热传导方程，分析物体的温度分布和热流量分布。
例如，在热管理领域中，可以使用有限元分析来优化散热器的设计，提高散热效率。
5.多物理场耦合：有限元分析可用于求解多个物理场的耦合问题，分析各个物理场之间的相互影响。
例如，在电动汽车的电池设计中，可以使用有限元分析来研究电池的温升、电动力学响应和热耦合效应。
总之，MATLAB的有限元分析与应用广泛应用于工程领域中各种结构的设计与优化。
它提供了方便的数值计算、数据可视化和编程功能，可用于求解各种结构的力学、热力学、电磁学等问题。
matlab有限元计算
matlab有限元计算有限元计算是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域。
而Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，使得有限元计算变得更加简单和高效。
有限元计算是一种将连续问题离散化为有限个简单子问题的方法。
它将复杂的连续问题转化为离散的有限元网格，然后通过求解每个单元上的方程，最终得到整个问题的解。
有限元计算可以用于求解结构力学、流体力学、热传导等各种物理问题。
在Matlab中进行有限元计算，首先需要构建有限元模型。
有限元模型由节点和单元组成，节点是问题的离散点，单元是连接节点的基本单元。
在Matlab中，可以使用函数如meshgrid、linspace等来生成节点坐标，使用函数如delaunay、trimesh等来生成单元。
然后，需要定义问题的边界条件和加载条件。
边界条件是指在问题的边界上给定的约束条件，加载条件是指在问题中施加的外部力或位移。
在Matlab中，可以使用函数如boundary、findEdges等来定义边界条件，使用函数如force、displacement等来定义加载条件。
接下来，需要定义问题的材料性质和单元特性。
材料性质是指问题中所使用的材料的力学性质，单元特性是指单元的几何形状和材料性质。
在Matlab中，可以使用函数如materialProperties、elementProperties等来定义材料性质和单元特性。
然后，需要建立有限元方程。
有限元方程是通过对每个单元上的方程进行组装得到的整体方程。
在Matlab中，可以使用函数如stiffnessMatrix、loadVector等来建立有限元方程。
最后，需要求解有限元方程。
在Matlab中，可以使用函数如solve、eigs等来求解有限元方程。
求解得到的结果可以用于分析问题的应力、位移、变形等。
除了上述基本步骤，Matlab还提供了丰富的后处理工具和函数，用于可视化和分析有限元计算的结果。
matlab 程序 2d有限元方法
matlab 程序2d有限元方法二维有限元方法在工程与科学计算中有着广泛的应用。
MATLAB作为一种功能强大的数学软件，为二维有限元分析提供了便捷的实现途径。
本文将详细介绍如何使用MATLAB编写二维有限元方法的程序。
一、有限元方法概述有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
它通过将复杂的连续体划分成简单的单元，并在这些单元上求解方程，从而将连续问题转化为离散问题。
在二维问题中，通常将连续区域划分为三角形或四边形单元，然后在每个单元上求解偏微分方程，最后通过整体刚度矩阵的组装和求解得到整个区域的解。
二、MATLAB编程实现二维有限元方法以下是使用MATLAB实现二维有限元方法的基本步骤：1.创建网格在MATLAB中，可以使用`triangle`函数或`patch`函数创建二维网格。
以下是一个简单的例子：```matlab% 定义节点坐标odes = [0 0; 1 0; 1 1; 0 1; 0.5 0.5];% 定义单元连接关系elements = [1 2 5; 2 3 5; 3 4 5; 4 1 5];% 绘制网格triplot(nodes, elements);```2.确定单元属性在二维有限元方法中，需要为每个单元定义形状函数、雅可比矩阵等属性。
以下是一个示例：```matlabfunction [N, dNdx, dNdy, J] = shape_functions(nodes, element) % 获取单元节点坐标x = nodes(element, 1);y = nodes(element, 2);% 计算形状函数N = [1 - (x - x(1)) / (x(2) - x(1)) - (y - y(1)) / (y(2) - y(1));(x - x(1)) / (x(2) - x(1));(y - y(1)) / (y(2) - y(1));(x - x(1)) / (x(2) - x(1)) * (y - y(1)) / (y(2) - y(1))];% 计算形状函数对x、y的导数dNdx = [-1 / (x(2) - x(1)), 1 / (x(2) - x(1)), 0, (y(2) - y(1)) / ((x(2) - x(1)) * (y(2) - y(1)))];dNdy = [0, 0, 1 / (y(2) - y(1)), (x(2) - x(1)) / ((x(2) - x(1)) * (y(2) - y(1)))];% 计算雅可比矩阵J = [sum(dNdx), sum(dNdy); ...sum(dNdx .* x), sum(dNdy .* x); ...sum(dNdx .* y), sum(dNdy .* y)];end```3.组装刚度矩阵和质量矩阵在得到单元属性后，可以组装整体刚度矩阵和质量矩阵。
有限元的matlab编程
本程序的网架位移求解函数附在主程序后面，主程序运行时调用该函数。
完整ppt
14
几何建模 定义荷载
用自定义输入
加下划线的为单元编号
完整ppt
5
形成等效荷载列阵
f=[0;0;0;a;0;0;0;a;0;0;0;a;0;0;0;a;0;0;0;a];%每个节点两个自由度，a 为之前输入的节点力
集成总刚：
获取单元两端节点坐标
xi = Node( Element( ie, 1 ), 1 ) ;%ie为单元号，以下相同 yi = Node( Element( ie, 1 ), 2 ) ; xj = Node( Element( ie, 2 ), 1 ) ; yj = Node( Element( ie, 2 ), 2 ) ;
节点号：',num2str(Element(ie,2)),' 轴力:',num2str(nodef(1))] ) ;
完整ppt
12
end
例二：网架
完整ppt
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思路分析
几点说明
网架是由多根杆件按照一定的网格形式通过节点连结而成的空间结构。构成 网架的基本单元有三角锥，三棱体，正方体，截头四角锥等。鉴于网架的形 式较多，本程序提供一种通用的网架输入方法，但录入较为繁琐，同时提供 一种正放四角锥网架的简易输入方法作为典型。
有限元编程示例
完整ppt
1
例一：桁架
题目描述:
如下图所示的平面桁架，杆件长度、弹性模量、截 面积以及所受节点力P的大小可以自行定义。求节 点位移及杆件轴力。
matlab有限元编程
是的，MATLAB可以用于有限元编程，用于解决各种结构、固体力学、热传导、电磁场等物理问题的数值模拟。
有限元法是一种数值方法，用于求解偏微分方程，特别适用于复杂的几何形状和边界条件的问题。
以下是一些使用MATLAB进行有限元编程的基本步骤：
1. 建立几何模型：首先，需要定义模型的几何形状和边界条件。
这包括确定节点和单元（元素）的位置。
2. 网格生成：将模型划分为离散的节点和单元。
这些节点和单元构成了有限元网格，可以使用MATLAB中的函数或者专用的网格生成工具来实现。
3. 定义材料属性和载荷：为每个单元分配适当的材料属性，如弹性模量、密度等。
同时，还要定义在结构上施加的力或边界条件。
4. 组装刚度矩阵和载荷向量：根据有限元法原理，将每个单元的局部刚度矩阵组装成全局刚度矩阵，同时将载荷向量组装成全局载荷向量。
5. 施加边界条件：根据边界条件，在全局刚度矩阵和载荷向量中施加约束条件。
6. 求解方程：通过求解线性方程组，得到节点的位移和其他所需的结果。
7. 后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
可以绘制应力、应变分布图，计算位移、反应力等。
MATLAB提供了丰富的工具箱和函数来进行有限元编程，如Partial Differential Equation Toolbox（偏微分方程工具箱）、Finite Element Analysis Toolbox（有限元分析工具箱）等，可以大大简化有限元编程的过程。
在使用这些工具时，可以参考MATLAB的官方文档和例子，以及相关的有限元理论和方法。
Matlab在有限元的应用
有限元方法 出现于 ２ 世纪 ５ 年代末 ， ０ ０ 由于它能求解复杂 区域 的偏 微分方程 问题 ， 因此一 出现就受到工程师 ， 尤其是结构力学工程师 的普 遍欢迎 和重视 。根据有 限元方法编制 的程序有 限元软件应 运而生 ， 如 Ａ Ｓ Ｓ 。Ｍ ｔ ｂ 当今国际上科 学界最具影 响力 、 ＮＹ等 ａａ是 ｌ 也是 最有活力 的 软件 ， 已经成为一种具有广泛应用前景 的全新 的计算机 高级编程语 言， 有人称 它为“ 四代 ” 第 计算机语言 。这种语言可 以将使 用者从繁琐 、 无 谓 的底层编程 中解放 出来 ， 把有 限的宝贵 时间更 多地花在解决 问题 中 ， 这样无疑会提高工作效率 。本 文在 阐明有 限元法 与微分方 程关 系的基 础 上 ， 合工程 实例 ， 出了在 Ｍａ ａ 语 言环境 下实 现有 限元 法 的步 结 给 ｄｂ 骤． 供相关 同仁探讨 。 ２有限元法及其应用 ． 有 限元法是将物体划 分成有 限个 元 ， 这些单元 之间通过有 限个 节点相互 连接 ， 看作 是不可变形的刚体 ， 之间的力通过节点传 单元 单元 递， 然后利用能量 原理建立各单元矩 阵 ， 然后组成 总刚矩阵 ， 求解 线性 方 程组 。结构 分析中经典的刚度方法可以在不考虑控制微分方程的情 况 下导 出来 ， 是推导刚度方法 的基本关 系是 以微分方程 的解 为基础 但 的， 也即能量原理与控制微分方程之间是有必然联系的 ， 在使用时原始 含义很 容易被忽略。实际上 ， 微分方程渗透到工程领域的方方面面 ， 常 见的控 制微分方程有弹性问题 、 热传导 、 位势流 、 质量输运 、 电流等。结 构分析 中的刚度矩阵用 以描 述力和位移之 间的矩阵关系 ， 但是 现在提 到刚度矩阵 时可以不考虑其具 体应用 ， 如热 传导问题 中温度 与热通量 之间的矩阵关系 、 渗流问题中水头与流量之间的关系 、 电势与电量之间 的关系等都可称 为刚度矩 阵。 有 限元法 可以由多种方 式推导出来 ， 若忽略推导过程 ， 此方法的结 果 就是微 分方程 的数值解 。有 限元法可 以 由变分 试 函数 法（ 也称 Ｒ ｔ ｉ ｚ 法） 和残值试函数法（ 也称 Ｇａ ｒｉ 法） ｌ ｋｎ 导出 ， ｅ 这两种方法是有限元法的基 础。这两种 方法开 始都要假设试 函数 ， 本原理如 图 １ 基 所示 。从 图 中 可以看 出有 限元 法与微 分方程 的关系 。这两种 方法在数 学上是 等价 的 ， 以证 明 ， ａｅｋｎ 和变分法可导 出相 等的公式 。它们 之间的差 可 Ｇ ｌｒｉ法 异主要在于满 足边界条件 的要求不 同。Ｇ ｌｒｉ 法是一个 比变分法更 ａ ｋｎ ｅ 有用 的工具 ， 几乎所有 的单个 微分方程或 微分方程组 的物 理问题都可 以用此方法模 拟 ， 需要一 定的选择试 函数 的经验 。 但
matlab 有限元 编程
MATLAB 是一种高级编程语言和交互式环境，常用于数值计算、数据分析、算法开发、数据可视化以及应用开发等。
在有限元分析（FEA）中，MATLAB 可以用来编写和运行有限元程序。
以下是一个简单的 MATLAB 有限元分析编程示例：这个例子假设你正在解决一个一维拉普拉斯方程，其形式为 -d^2u/dx^2 = f，在区间 [0, 1] 上。
```matlab% 参数定义L = 1; % 长度h = 0.01; % 步长N = L/h; % 元素数量x = linspace(0, L, N+1); % x 向量% 创建有限元网格nodes = x(1:N+1);elements = [nodes(2:end-1) nodes(1:end-1) nodes(2:end)]; % 定义载荷向量 ff = sin(pi*x);% 定义刚度矩阵 A 和载荷向量 FA = zeros(N, N);F = zeros(N, 1);for i = 1:Nfor j = 1:i-1A(i, j) = A(j, i) = h^2/(6*(x(i)-x(j))^2);endF(i) = -f(i)*h/2;end% 使用 MATLAB 的线性方程求解器u = A\F;% 绘制结果plot(x, u);xlabel('x');ylabel('u');title('有限元解');```这个代码首先定义了问题的参数，然后创建了一个有限元网格。
然后，它定义了刚度矩阵 A 和载荷向量 F。
最后，它使用 MATLAB 的线性方程求解器来求解方程，并绘制结果。
请注意，这只是一个非常简单的例子。
在实际的有限元分析中，问题可能会更复杂，并且需要更多的编程工作。
Matlab语言及其在有限元编程中的应用_宋建辉
收稿日期:2003-08-11作者简介:宋建辉(1968-),女,浙江余姚人,广东湛江卫生学校电教中心讲师,从事计算机应用和教学研究. 2003年12月第24卷第6期湛江师范学院学报JOURNAL OF ZHANJI ANG NOR MAL COLLEGE Dec 1,2003Vol 124 No 16Matlab 语言及其在有限元编程中的应用宋建辉1,涂志刚2.3(11广东湛江卫生学校电教中心,广东湛江524037;21中山大学化学与化学工程学院,广东广州510275;31广东湛江包装材料企业有限公司,广东湛江524022)摘 要:通过运用Matlab 语言进行聚合物异型材口模挤出的三维流动计算机模拟,详细比较了Matlab 语言与其它高级语言进行有限元编程的优缺点,并讨论了用Matlab 语言进行有限元编程的方法及技巧,实践证明,Matlab 是进行有限元工程计算编程的高效编程工具.关键词:Matlab;有限元;编程中图分类号:O48415 文献标识码:A 文章编号:1006-4702(2003)06-0101-05Matlab 是美国Mathworks 公司推出的一种以矩阵为基本单位的高效数值计算语言,直观易学,其代码非常符合人们的思维习惯,被称为/演算纸式0编程语言.近年来,Matlab 在国内许多设计单位和科研机构特别是高校得到了广泛的应用,它主要应用于自动控制系统、数字信号处理、时间系列分析等方面.本文根据笔者运用Matlab 语言进行聚合物异型材口模挤出的三维流动计算机模拟研究的实践探索,从有限元工程计算方面讨论了用Matlab 语言编制程序的优缺点,并提供了有限元程序设计的方法及技巧.1 聚合物异型材口模挤出的三维罚有限元方法由于聚合物异型材挤出口模内高分子熔体流动状态的复杂性,在其流变学分析过程中,根据熔体的特点,作如下假设:稳态层流、壁面粘附、惯性力和重力不计,等温流动、熔体不可压缩.从上述假设可以得到高分子熔体在口模内流动的控制方程为[1,2]连续方程 ¨#U =0或div U =0(1)动量方程 -¨P +¨#S =0(2)式中U -速度矢量(m P s),S -应力张量(Pa),P-压力(Pa).¨-是一个微分算子,¨=D 199x +D 299y +D 399z,D i (i=1,2,3)-单位矢量;div 表示散度.研究中采用广义牛顿流体模型,其应力-应变关系如下S =2G (C #)C#(3)式中G -粘度(Pa #S),C #-形变速率张量.在这种情况下,对高分子熔体流动场进行流变学研究,实质上就是要求解式(1)~(3)组成的方程组.2 Matlab 应用于有限元程序设计的优缺点有限元方法是利用计算机求解数学物理或工程实际中的微分方程问题或偏微分方程问题的一种系统化的数值计算方法,有限元方法的一个显著特点是在迭代求解过程中涉及大量的矩阵计算.对于一个完善的有限元软件,它包括的基本模块有前置处理、求解器、后置处理,若用其它高级语言开发,如C 、C ++、Fortran 等,编程的工作量十分浩大,开发的周期很长,而利用Matlab 进行有限元设计有以下优点.2.1 语言简洁紧凑、使用方便灵活、库函数极其丰富,几乎包括有限元编程中的所有基础程序Matlab 是一个强大的数值计算软件,在数值计算方面,除了包括基本的数学函数、基本矩阵和数组运算函数以及多种插值函数之外,而且具有矩阵的求逆、LU 分解、QR 分解、矩阵指数运算等几乎所有的矩阵函数及矩阵分析函数;另外它还包括强大的稀疏矩阵的存储、初等变换、分解、特征值和奇异值的求解等功能,以及提供了系数阵为稀疏矩阵的线性方程组的各种解法.Matlab 提供的所有这些数值计算方面的功能,对有限元编程中的数据存储、单元刚度矩阵的生成、刚度矩阵的集成、线性方程组的求解等方面大有益处,根本无需编程人员去编制有限元中的基础程序,大大减少了工作量及提高了编程效率.2.2 可视化及强大的图形功能Matlab 可以给出数据的二维、三维、乃至四维等数据表现以及绘制一般科技绘图软件所能绘制的几乎所有图形,如曲线图、网格图、等直线图、表面图等,Matlab 这些功能为有限元模拟结果的可视化提供充分的表现力度,这往往是有限元数据处理中最为困难的事.除此之外,Matlab 具有较强的应用程序界面编制功能,而且提供了专门的界面编制工具(GUI Layout Tool),利用它可以编制理想的用户界面.2.3 含有多种学科的工具箱(ToolB ox)以及程序代码的公开性Matlab 提供的学科性工具箱可以使用户无需编写自己学科范围内的基础程序,大大节约编程时间.例如,Matlab 工具箱中的偏微分方程工具箱(PDE)就是利用Matlab 编制的有限元基础程序库.另外,Matlab 具有有限元中网格生成的计算几何学的各种基础程序,而且偏微分方程工具箱(PDE)中已具备三节点三角形网格生成功能.值得指出的是,现在很多大学及研究机构已开发出了各种工具箱,如伯明翰大学开发的GB T(Geometric Bounding Toolbox),它可以进行3D 或3D 以上的几何模型数据处理;康乃尔大学计算机科学部开发的含有二维和三维几何建模、网格生成以及有限元求解等功能的软件;所有这些基于Matlab 语言编制的工具箱软件,它的原代码几乎是全部公开的,任何编程用户都可以通过对原代码文件进行修改并加入自己的文件构成新的工具箱.2.4 程序可移植性好Matlab 几乎可以在各种机型和操作系统上运行,所以在可移植性和可扩充性上,Matlab 远远优于其它的高级编程语言.然而和其他的高级语言相比,由于Matlab 的程序不用编译等预处理,程序的执行速度比较慢,但如果能将Matlab 编制的程序生成可执行程序(*.dll 或*.exe),这一点将得到改观.Matlab 102湛江师范学院学报(自然科学) 第24卷除了本身自带的编译器(mcc v2.0)外,也能用其他的各种高级语言(如C,C ++,Fortran)编译器编译,另外已有很多商业化的Matlab 语言编译器,其中最为推崇的要数Matools 公司利用Matcom 技术编写了Mideva 工具软件,它可以借助于C++编译器将Matlab 下的m-文件转换成为可以被Visual C ++、Visual Basic 、E xecel 、Delphi 等调用的DLL(动态连接库)或者脱离Matlab 的独立的可执行文件,这大大提高了程序的执行速度和节约了计算机内存,同时也保证了程序代码的保密性.3 Matlab 有限元程序设计方法在开始进行有限元程序设计时,可以先打开Matlab 的程序编辑器(同时又是调试器)编写有限元的程序模块,Matlab 的编制函数形式为:function [outpar1,outpar2,,]=AdaptMesh(inpar1,inpar2,,)function-定义一个函数;[outpar1,ooutpar2,,]-函数的输出参数;AdaptMesh()-函数名;inpar1,inpar2-函数输入参数;函数的调试可以在Matlab 命令窗口或其调试器[medit.exe]中进行,调试方法包括设置断点、清除断点、运行当前行、变量检查等多种方法,其调试非常方便,而且它可以以报表(profile 命令)的形式提供程序中每条语句的运行所需时间,便于程序设计人员对程序优化,删除不必要的运算,采用省时的算法.而且Matlab 具有结构化的控制语句(如for 循环、while 循环、break 语句和if 语句),又有面向对象编程的特征(类和对象),同时它提供了Fortran 、C 和C++高级语言的接口,对于熟悉Fortran 、C 和C ++高级语言的工程人员可以采用混合编程的方法,为编程提供了广阔的空间,同时可以重复利用以前已编制好的Fortran 、C 和C++高级语言的源程序,减少重复性工作.Matlab 与其它高级语言的接口可参阅文献[3-5].由于Matlab 的基本数据为矩阵和向量,所以编程时,应尽量对向量和矩阵编程,而不是像其它高级语言编程对矩阵每个元素编程,通过向量化对Matlab 编程程序优化可以大大提高运算速度,节约内存[3].4 Matlab 有限元编程实例有限元方法最显著的特征是矩阵推导及运算,最后求解归结于对系数阵为稀疏矩阵的线性方程组的求解,下例是笔者开发的聚合物口模挤出有限元模拟系统中的一段程序,旨在说明Mat -lab 对有限元中数据存储及求解系数阵为稀疏矩阵的线性方程组方面的优势.function Result=SolveTC oeff(node,elem,bc ond)%node 为有限元中离散网格节点坐标(x ,y ,z );%ele m 为有限元中单元节点编号103第6期 宋建辉等:Matlab 语言及其在有限元编程中的应用%bcond 为有限元求解中的边界条件node num=length(node)P 3;%利用函数length 计算节点个数[TCoeffA,TcoeffB]=AssemElemCoeff(node,elem,bcond);%组装单元刚度矩阵%TC oeffA,TcoeffB 为函数返回的总体系数阵TCoeffA =sparse(TC oeffA);%把总体系数阵TCoeffA 转化为稀疏阵TCoeffB=sparse(TC oeffB);%把总体系数阵TCoeffB 转化为稀疏阵Result=TC oeffA \TCoeffB;%Matlab 根据TC oeffA 情况,采用最优化方法(Matlab%提供了4种高斯消去法或其变种,另外还提供了6个迭代法求解函数)求解系数阵为%稀疏矩阵的线性方程组从上面例子可以看出,Matlab 编程非常简洁紧凑,它不像高级语言C 、C ++牵涉复杂的指针问题,在对矩阵进行稀疏存储及运算时,若用高级语言C 或Fortran 编程,稀疏矩阵存储至少需要几十行语句.最麻烦的是对系数阵为稀疏矩阵的线性方程组求解,它需要对矩阵中的每个元素循环,而且要考虑算法的稳定性,其代码的调试更是不容易.而在Matlab 中,这些功能函数都是本领域的专家编写,用户不必担心函数的可靠性,直接利用方便简单,效率高.又比如聚合物口模挤出有限元模拟系统中其中一个后置处理模块的一段程序,它的主要功能是挤出口模内任一截面上速度分布处理,虽然语句不到20行,但实现了对有限元数据等值线,三维网格图可视化处理;在Matlab 中还有很多其它的函数,例如等值线色彩图(contourf)、表面图(surf)、矢量图(quiver 、quiver3)、流线图(Streamline)等,它们对有限元数据的可视化处理都很有用,如果这些函数都由研究工作者自己开发,工作量之大是可想而知,也很没有必要.以上两个例子只说明Matlab 在有限元编程中矩阵运算和后置处理方面的优势,其实Matlab 在有限元几何建模、网格离散、计算求解、后置处理等各个方面都有其它高级语言无法相比的优势.另外Matlab 具有动画制作功能,利用它可以把有限元计算结果动画显示.在聚合物口模挤出有限元模拟系统中,笔者利用Matlab 此项功能实现了动态观察聚合物熔体在异型材挤出口模中的流动过程.图1 聚合物熔体在异型材口模中的流动过程图Figure 1Fl ow of Polymer Melts in Profile Dies5 结束语Matlab 是以矩阵和向量为基本数据单位,集科学计算、图像处理、声音处理于一体的高度集成系统,程序可读性及编程效率远远超过其他的高级语言;而且提供了多种高级语言的编程接口,具有能和其他高级语言进行混合编程,强大的图像处理及可视化功能等优点而成为当今最为流行的科技数值计算软件.笔者结合聚合物口模挤出三维有限元模拟系统的开发,研究了Matlab 语言在有限元编程中的应用,并着重从Matlab 强大的矩阵运算及可视化处理两方面说明Matlab 在有限元编程中的巨大优越性.因此,利用Matlab 进行工程数值计算有限元编程或和其它高级语言混合编程,将是有限元编程工程人员的一个最好的选择.104湛江师范学院学报(自然科学) 第24卷参考文献:[1] 涂志刚1聚合物口模挤出三维流动研究[D]1南昌:南昌大学机电学院,2001.[2] 柳和生1罚有限元法在聚合物成型加工研究中的应用[J]1青岛化工学院学报,1995,16(4):376-381.[3] 肖志权1在VB5.0中使用和操作Matlab[J]1微型电脑应用,2000,(4):13-16.[4] 段晓君1Matab 函数转换为VB 可用的DLL[J]1微型机与应用,2000,(5):7-10.Matlab Language and Its Applicationin Finite Element ProgrammingSONG Jian-hui 1,TU Zhi-gang 2,3(11Center of Educati on Tec hnology,Zhanjiang Medical School,Zhanjiang,Guangdong 524037,Chi na;21School of Che mical and Chemical Engineering,SunYat-sen University,G uangzhou,Guangdong 510275,China;31Zhanjiang Packagi ng M ateri al Enterprises Ltd.,Zhanjiang,Guangdong 524022,Chi na)Abstract :This paper presents the advantages and disadvantages of Matlab for progra mming finite ele -ments in comparison with other advanced languages,and discusses the methods and techniques of Matlab langua ge including computer modeling of three-dimensional flow for polymer melts extrusion from profile dies.It is showed that Matlab language is the best tool for programming in engineering calculation with finite ele ment method.Key words :matlab;finite ele ment method;progra mming 105第6期宋建辉等:Matlab 语言及其在有限元编程中的应用。
基于Matlab语言的有限元法及其应用
基于Matlab语言的有限元法及其应用
宋克志;刘智儒
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(020)002
【摘要】介绍了有限元法的本质特征及用变分试函数法和残值试函数法导出有限元法的过程,给出了在Matlab语言环境下实现有限元法的步骤.利用Matlab语言中的PDE工具箱求解偏微分方程具有简便、快速、可视化程度高等优点,能满足精度要求,并以一个工程实例说明了利用有限元法求解偏微分方程从而解决实际问题的方法.
【总页数】3页(P100-102)
【作者】宋克志;刘智儒
【作者单位】烟台师范学院交通学院,山东,烟台,264025;北京交通大学隧道及地下工程试验研究中心,北京,100044;烟台师范学院交通学院,山东,烟台,264025
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82;TB115
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