平均失真和信息率失真函数
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《信号处理原理》 第4章 信息失真率
d(0,2)=d(1,2)=0.5
则得失真矩阵
d
0 1
1 0
0.5 0.5
4.1 平均失真和信息率失真函数
说明：失真函数d (xi, yj) 的数值是依据实际应 用情况，用 yj代替xi, 所导致的失真大小是人为决 定的。比如上例中，用y=2代替x=0和x=1所导致 的失真程度相同，用0.5表示；而用y=0代替x=1 所导致的失真程度要大，用1表示。失真函数d (xi, yj) 的函数形式可以根据需要任意选取，例如平方 代价函数、绝对代价函数、均匀代价函数等。
信源编码器的目的是使编码后所需的信 息传输率R尽量小，然而R越小，引起的平 均失真就越大。给出一个失真的限制值D，
在满足平均失真 D D的条件下，选择一种
编码方法使信息率R尽可能小。信息率R就 是所需输出的有关信源X的信息量。
16
4.1 平均失真和信息率失真函数
将此问题对应到信道，即为接收端Y需要 获得的有关X的信息量，也就是互信息 I(X;Y)。这样，选择信源编码方法的问题就 变成了选择假想信道的问题，符号转移概 率p(yj/xi)就对应信道转移概率。
输入符号集 X:{a1, a2, …, an}中有n种不同的符 号xi (i =1, 2, …, n) ；输出符号集Y:{b1, b2, …, bm}中有m种不同的符号yj (j =1, 2, …, m)；对于 图所示的系统，对应于每一对(xi, yj)(i = 1, 2, …,n；j=1, 2, …, m)，定义一个非负实值函数
平均失真D是对给定信源分布p(ai)经过某一种 转移概率分布为p(bj|ai)的有失真信源编码器后产 生失真的总体量度。
13
4.1 平均失真和信息率失真函数
信息论与编码第5章限失真信源编码
4 1 0
第一节 失真测度
• 以上所举的三个例子说明了具体失真度的定义. 一般情况下根据实际信源的失真, 可以定义不同 的失真和误差的度量.
• 另外还可按照其他标准, 如引起的损失、风险、 主观感受上的差别大小等来定义失真度d(ui,vj).
• 从实用意义上说, 研究符号实际信源主观要求的、 合理的失真函数是很重要的.
第一节 失真测度
设信源变量为U={u1,…,ur}, 接收端变量为 V={v1,…,vs}, 对于每一对(u,v), 指定一个非负 函数
d(ui,vj)≥0 称为单个符号的失真度(或称失真函数). 失真函数用来表征信源发出符号ui, 而接收端再现 成符号vj所引起的误差或失真. d越小表示失真越小, 等于0表示没有失真.
➢ 应该指出, 研究R(D)时, 条件概率p(v|u)并没有 实际信道的含义. 只是为了求互信息的最小值而引 用的、假想的可变试验信道. ➢ 实际上这些信道反映的仅是不同的有失真信源编 码或信源压缩. 所以改变试验信道求平均互信息最 小值, 实质上是选择编码方式使信息传输率为最小.
率失真理论与信息传输理论的对偶关系
– 接收端获得的平均信息量可用平均互信息量I(U;V)表示;
– 这就变成了在满足保真度准则的条件下 D D 找平均互信息量I(U;V)的最小值.
,寻
– 因为BD是所有满足保真度准则的试验信道集合, 即可以 在D失真许可的试验信道集合BD中寻找某一个信道 p(vj|ui), 使I(U;V)取最小值.
本章所讨论的内容是量化、数模转换、频带 压缩和数据压缩的理论基础.
前言
本章主要介绍信息率失真理论的基本内容, 侧 重讨论离散无记忆信源.
首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定 义与性质, 然后讨论离散信源的信息率失真函数计 算. 在这个基础上论述保真度准则下的信源编码定 理.
第一节 失真测度
• 以上所举的三个例子说明了具体失真度的定义. 一般情况下根据实际信源的失真, 可以定义不同 的失真和误差的度量.
• 另外还可按照其他标准, 如引起的损失、风险、 主观感受上的差别大小等来定义失真度d(ui,vj).
• 从实用意义上说, 研究符号实际信源主观要求的、 合理的失真函数是很重要的.
第一节 失真测度
设信源变量为U={u1,…,ur}, 接收端变量为 V={v1,…,vs}, 对于每一对(u,v), 指定一个非负 函数
d(ui,vj)≥0 称为单个符号的失真度(或称失真函数). 失真函数用来表征信源发出符号ui, 而接收端再现 成符号vj所引起的误差或失真. d越小表示失真越小, 等于0表示没有失真.
➢ 应该指出, 研究R(D)时, 条件概率p(v|u)并没有 实际信道的含义. 只是为了求互信息的最小值而引 用的、假想的可变试验信道. ➢ 实际上这些信道反映的仅是不同的有失真信源编 码或信源压缩. 所以改变试验信道求平均互信息最 小值, 实质上是选择编码方式使信息传输率为最小.
率失真理论与信息传输理论的对偶关系
– 接收端获得的平均信息量可用平均互信息量I(U;V)表示;
– 这就变成了在满足保真度准则的条件下 D D 找平均互信息量I(U;V)的最小值.
,寻
– 因为BD是所有满足保真度准则的试验信道集合, 即可以 在D失真许可的试验信道集合BD中寻找某一个信道 p(vj|ui), 使I(U;V)取最小值.
本章所讨论的内容是量化、数模转换、频带 压缩和数据压缩的理论基础.
前言
本章主要介绍信息率失真理论的基本内容, 侧 重讨论离散无记忆信源.
首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定 义与性质, 然后讨论离散信源的信息率失真函数计 算. 在这个基础上论述保真度准则下的信源编码定 理.
信息率失真函数的定
信息率失真函数的定
义
所谓信息率失真，是指在数据传输过程中造成的原本可以正常识别的信息被破坏而无法被正确识别的现象。
它通常由某种外部的影响，如噪声、干扰或错误编码等因素造成。
具体来说，信息率失真函数是一种度量从输入到输出信号中信息率“差异”的函数。
它定义为信号输出中比原始信号（输入）中丢失的信息的分数。
可以用以下公式来表示信息率失真：
I_R=1-D_R
其中，I_R是信息率失真，D_R是失真率，它定义为输出信号（受失真影响的信号）比输入信号（未受失真影响信号）失真的部分所占的比例，单位是%。
[信息与通信]第10讲 信息率失真函数
![[信息与通信]第10讲 信息率失真函数](https://img.taocdn.com/s3/m/d018b36c3069a45177232f60ddccda38376be1de.png)
1 log 2e 2
2
D
1 2
R(D) log 2D
N
X
Y
反向加性高斯实验信道
1 2 D
2 2 D
R(D) 1 log 2
2D
R(D) 0
R(D)
2
D
2 D
S(D)
高斯信源的率失真函数
C
R(D)
I (X ;Y ) 的上凸函数 I (X ;Y ) 的下凸函数
I (X ;Y ) 的极大值
p(b 2
/
a) 1
(1
p)(1
e2S
)
p(b 1
/
a 2
)
(1 p) peS p(1 e2S )
p(b2
/
a2
)
(1 p) peS (1 p)(1 e2S
)
n
D(S)
m i p(ai ) p(bj )d (ai , bj )eSd (ai ,b j )
i1 j1
e S
1 eS
n
R(S) SD(S) p(ai ) ln i i 1
0
...
a
... ... ... ...
a
a
...
a
a 1
汉明失真
0 1 1
1
0
1
1
1
0
2 d(ai ,bj ) (bj ai )2 平方误差失真函数
平均失真度
失真函数d(ai，bj)是随机变量，失真函数的数 学期望称为平均失真度，记为
nm
D E[d(ai ,bj )]
作业：4.1 4.3 4.10 4.11
4.1 信息率失真函数
4.1.1 失真函数和平均失真度
ch4信息率失真函数
j
/
ai
)
p 1
(b
j
/
ai
)
(1
)
p
2
(b
j
/
ai
)
nm
D
p(ai ) p(bj / ai )d (ai ,bj )
i1 j1
D1 (1 )D2
满足保真 度准则
D' (1 )D'' D
I ( X ;Y ) R ( D ) R[D ' (1 ) D '' ]
由 I ( X ;Y ) 对 p(b j ai )的下凸性： I ( X ;Y ) I ( X ;Y1 ) (1 ) I ( X ;Y2 )
nm
D(S )
p(a ) p(b )eSd(ai ,bj )d (a , b )
ii
j
ij
4
i1 j 1
（4.2.5）
n
R(S)
m
p(a
)
p(b
)eSd (ai ,bj )
ln
i
p(b )eSd(ai ,bj ) j
ii
j
i1 j1
p(b ) j
n
SD(S ) p(a ) ln
n
1
Dm a x
min j
Dj
min j
i 1
p(ai )d (ai , bj )
n
2
i p (ai )e Sd (ai ,b j ) 1
i
i 1
3
1
i
m j 1
p(b j )eSd (ai ,bj )
p(bj )
4 p(bj ai ) p(bj )ieSd(ai ,bj )
信息率失真函数r(d)
信息率失真函数r(d)
信息率失真函数是信息论中对信源的提取率和失真之间关系的描述函数，用于量化信息传输过程中的信源失真。
信息传输中存在两个基本要素，即提取率和失真。
提取率指的是通过传输信道提取出的有效信息的比例，
而失真则是指提取出的信息与原始信息之间的差异。
信息率失真函数通常被用来评估压缩编码的性能。
在压缩编码中，为
了减小数据的传输量，我们会对数据进行压缩，并通过编码算法将其表示
为较短的二进制代码。
压缩过程中的失真表示为编码后恢复的数据与原始
数据之间的差异。
在设计压缩编码算法时，我们希望能够在提取率和失真之间达到一个
平衡。
提取率越高，我们能够从信道中提取出更多的有效信息；而失真越小，恢复的信息与原始信息的差距越小。
信息率失真函数可以帮助我们在
这两个方面之间进行权衡。
在信息论中，常用的信息率失真函数有均方误差函数和最大误差概率
函数。
均方误差函数衡量的是编码恢复的数据与原始数据之间的平方差的
期望，可以通过最小化均方误差来实现较低的失真。
而最大误差概率函数
则衡量的是编码恢复的数据与原始数据之间的最大差异的概率，可以通过
最小化最大误差概率来实现较低的失真。
总结来说，信息率失真函数是信息论中用于量化信源提取率和失真之
间关系的函数。
它可以帮助我们在设计压缩编码算法时找到提取率和失真
之间的平衡点，以达到较高的提取率和较低的失真。
信息率失真函数及其性质
Dmax min
j 1,2,, s
pd
i 1 i
r
ij
电子信息工程学院
信息论
7.2
信息率失真函数及其性质
3、信息率失真函数的性质
（3）Dmax的计算 例 设输入输出符号表示为U＝V{0，1}，输入概率分布 p(u)={1/3，2/3}，失真矩阵为
d (u1 , v1 ) d (u1 , v2 ) 0 1 d d ( u , v ) d ( u , v ) 1 0 2 1 2 2 分析： 当Dmin＝0时，R(Dmin)＝H(X)＝H(1/3，2/3)＝0.91比特/符号，
s
j
1
D中的最小值 ，即
Dmax min p j pi dij
j 1 i 1
s
r
电子信息工程学院
信息论
7.2
信息率失真函数及其性质
r
3、信息率失真函数的性质
（3）Dmax的计算 从上式观察可得：在j=1，…，s中，可找到 pi dij
i 1
值最小的j，当该j对应的pj＝1，而其余pj为零时，上式右 边达到最小，这时上式可简化成
s中可找到为零时上式右边达到最小这时上式可简化成max123信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院max的计算设输入输出符号表示为uv01输入概率分布pu1323失真矩阵为minhxh1323091比特符号这时信源编码器无失真所以该编码器的转移概率为3信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院max的计算所以该编码器的转移概率为minmin3信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院max的计算此时输出符号概率3信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院rd是关于d的严格递减函数
j 1,2,, s
pd
i 1 i
r
ij
电子信息工程学院
信息论
7.2
信息率失真函数及其性质
3、信息率失真函数的性质
（3）Dmax的计算 例 设输入输出符号表示为U＝V{0，1}，输入概率分布 p(u)={1/3，2/3}，失真矩阵为
d (u1 , v1 ) d (u1 , v2 ) 0 1 d d ( u , v ) d ( u , v ) 1 0 2 1 2 2 分析： 当Dmin＝0时，R(Dmin)＝H(X)＝H(1/3，2/3)＝0.91比特/符号，
s
j
1
D中的最小值 ，即
Dmax min p j pi dij
j 1 i 1
s
r
电子信息工程学院
信息论
7.2
信息率失真函数及其性质
r
3、信息率失真函数的性质
（3）Dmax的计算 从上式观察可得：在j=1，…，s中，可找到 pi dij
i 1
值最小的j，当该j对应的pj＝1，而其余pj为零时，上式右 边达到最小，这时上式可简化成
s中可找到为零时上式右边达到最小这时上式可简化成max123信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院max的计算设输入输出符号表示为uv01输入概率分布pu1323失真矩阵为minhxh1323091比特符号这时信源编码器无失真所以该编码器的转移概率为3信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院max的计算所以该编码器的转移概率为minmin3信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院max的计算此时输出符号概率3信息率失真函数的性质信息论电子信息工程学院rd是关于d的严格递减函数
信道率失真函数
24
第四章 信息
率失真函数 4.1.3 信息率失真函数R(D)
n
Dmax mind ( y) min pidij
p(yj )
j 1,2,...,m i1
2
min j 1,2
i 1
p(xi )d (xi , y j )
min{1 0 2 1, 1 1 2 0}
3 j 1,2
33 3
•实际的信源常常是连续的，信息量无限大，若要无失
真传送, 要求信息率R为无穷大；
•实际信道带宽是有限的，所以信道容量受限制。要想
无失真传输，所需传输的信息率一般都大大超过信道 容量即R >> C。
2020/4/4,
3
第四章 信息
率失真函数 4.1.1 失真函数
• 实际中允许一定程度的失真
• 实际生活中，人们一般并不要求获得完全无失真的消 息，通常只要求近似地再现原始消息，即允许一定的 失真存在。
2020/4/4,
6
第四章 信息
率失真函数 4.1.1 失真函数
• 失真矩阵 • 失真度还可表示成矩阵的形式
• 称d 为失真矩阵。它是n×m阶矩阵。 • 例：4－1
2020/4/4,
7
第四章 信息
率失真函数 4.1.1 失真函数
• 信源符号X取自{0，1},编码器输出符号取自 {0,1,2}, 规定失真函数为：
2020/4/4,
5
第四章 信息
率失真函数 4.1.1 失真函数
输入 X
X∈{a1, a2,…, ai,…, an}
p( y j / xi ) 信源编码器
• 定义失真函数：
输出 Y
Y∈{b1,b2,…,bj,…,bm}
第四章 信道失真率函数
D( N ) E[d (ai , b j )] p(ai ) p(b j | ai )d (ai , b j )
n n
N p(ai ) k 1 p( xik ) N p(b j | ai ) k 1 p( y jk | xik )
nN m N
i1 1 m
i N 1 j1 1
6
常用的失真函数
失真函数是根据人们的实际需要和失真引起的损失、风险、 主观感觉上的差别等因素人为规定的，可以有多种形式 平方误差失真函数 d ( xi , y j ) ( y j xi )2 适用于 d ( x , y ) | y x | 绝对误差失真函数 i j j i 连续信源 相对误差失真函数 d ( xi , y j ) | y j xi | | xi |
率失真函数的定义域 (D 的下界)
允许失真度 D 是平均失真度的上限，而 D 是非负函数 d ( xi , y j ) 的数学期望，因此 D 的下界至多为 0，对应于无失真的情况， 此时信息传输率应等于信源输出的信息熵，即 Dmin 0 时： 离散信源：R( Dmin ) R(0) H ( X ) 连续信源：R( Dmin ) lim R( D )
N
由于 N 次扩展信源和 N 次扩展信道都是无记忆的，因此：
p(ai ) p( xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( xik )
p(b j | ai ) p( y j1 y j2
y jN | xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( y jk | xik )
9
符号序列的 平均失真度
i 1, 2, j 1, 2,
,n ,m
上述非负的失真函数共有 n m 个，可以整体表示成失真矩阵 d ( x1 , ym ) d ( x1 , y1 ) d ( x1 , y2 ) d ( x , y ) d ( x , y ) d ( x , y ) 2 1 2 2 2 m D d ( x n , ym ) d ( xn , y1 ) d ( xn , y2 ) 由于信源发出的符号 X 和信宿收到(再现)的符号 Y 均是随机 变量，因此单个符号的失真函数 d ( xi, yj ) 也是随机变量(的一 次实现)
n n
N p(ai ) k 1 p( xik ) N p(b j | ai ) k 1 p( y jk | xik )
nN m N
i1 1 m
i N 1 j1 1
6
常用的失真函数
失真函数是根据人们的实际需要和失真引起的损失、风险、 主观感觉上的差别等因素人为规定的，可以有多种形式 平方误差失真函数 d ( xi , y j ) ( y j xi )2 适用于 d ( x , y ) | y x | 绝对误差失真函数 i j j i 连续信源 相对误差失真函数 d ( xi , y j ) | y j xi | | xi |
率失真函数的定义域 (D 的下界)
允许失真度 D 是平均失真度的上限，而 D 是非负函数 d ( xi , y j ) 的数学期望，因此 D 的下界至多为 0，对应于无失真的情况， 此时信息传输率应等于信源输出的信息熵，即 Dmin 0 时： 离散信源：R( Dmin ) R(0) H ( X ) 连续信源：R( Dmin ) lim R( D )
N
由于 N 次扩展信源和 N 次扩展信道都是无记忆的，因此：
p(ai ) p( xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( xik )
p(b j | ai ) p( y j1 y j2
y jN | xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( y jk | xik )
9
符号序列的 平均失真度
i 1, 2, j 1, 2,
,n ,m
上述非负的失真函数共有 n m 个，可以整体表示成失真矩阵 d ( x1 , ym ) d ( x1 , y1 ) d ( x1 , y2 ) d ( x , y ) d ( x , y ) d ( x , y ) 2 1 2 2 2 m D d ( x n , ym ) d ( xn , y1 ) d ( xn , y2 ) 由于信源发出的符号 X 和信宿收到(再现)的符号 Y 均是随机 变量，因此单个符号的失真函数 d ( xi, yj ) 也是随机变量(的一 次实现)
第四章：信息率失真函数
信息率失真函数
R( D)
p ( y j / xi )PD
min I ( X ;Y )
I ( X ; Y ) NR( D)
N N
对于离散无记忆信源的N次扩展信源和离散无记忆 信道的N次扩展信道：
RN ( D)
p (b j / ai )PD ( N )
min
信息率失真函数
在研究R(D)时，引用的条件概率p(y/x)并没有 实际信道的含义。只是为了求平均互信息的 最小值而引用的、假想的可变试验信道。实 际上这些信道反映的仅是不同的有失真信源 编码或信源压缩。所以改变试验信道求平均 互信息的最小值，实质上是选择一种编码方 式使信息传输率最小。
信息率失真函数的性质
基本概念
失真函数与平均失真度
失真函数 常用的失真函数 平均失真度 离散无记忆信道的N次扩展信道的平均失真
基本概念
失真函数
X {x1...xn} Y { y1... ym} P( yj / xi )
对任一 ( xi, yj ) 指定一个非负数d ( xi, yj ) 0 称 d ( xi, yj ) 为单个符号的失真度或失真函数。
p ( xi1 ) p( xiN ) p( y j1 / xi1 ) p( y jN / xiN ) d ( xik , y jk )
i1 1 n iN 1 j1 1 jN 1 k 1
n
m
m
N
p ( xi1 ) p( y j1 / xi1 )d ( xi1 , y j1 ) p( xi2 ) p( y j2 / xi2 ) d ( xi2 , y j2 )
i 1 j 1
n
m
p( xi ) p( y j / xi )d ( xi , y j )
信息率失真函数matlab
信息率失真函数matlab在信息论中，信息率失真函数（Rate-Distortion Function）是一种描述信源信号压缩过程中信息率和失真之间关系的函数。
该函数用于衡量在给定的失真限制下，信源信号的最低信息率。
在MATLAB中，可以使用以下代码计算信息率失真函数：```matlabfunction R = rate_distortion_func(D)% 定义信源信号source_signal = [1 0 1 1 0 1 0 0];% 定义失真度量函数distortion_func = @(x, y) sum(x ~= y);% 定义信息率R = [];for i = 1:length(D)% 压缩信源信号compressed_signal = compress(source_signal, D(i));% 计算失真distortion = distortion_func(source_signal, compressed_signal);% 计算信息率R(i) = length(compressed_signal) / distortion;endendfunction compressed_signal = compress(source_signal, D)% 在此处编写信源信号压缩算法% ...% 返回压缩后的信号end```在上述代码中，`rate_distortion_func`是计算信息率失真函数的函数，输入参数`D`是失真限制的向量。
`source_signal`是待压缩的信源信号，`compress`函数是信源信号压缩的算法函数。
`distortion_func`是失真度量函数，用于计算压缩后信号与原信号之间的失真。
使用时，可以调用该函数并传入失真限制的向量，例如：```matlabD = [0.1 0.2 0.3 0.4];R = rate_distortion_func(D);```上述代码将计算在失真限制为0.1、0.2、0.3和0.4时的信息率。
第4章 信息率失真函数 《信息论与编码》经典PPT课件
失真矩阵
d(a1,b1) d(a1,bm )
d
d(an,b1) d(an,bm )
• 例：设信源符号序列为X={0,1},接收端收到符号
序列为Y= {0,1,2},规定失真函数为
失真矩阵
d(0,0)＝d(1,1)= 0 d(0,1)＝d(1,0)= 1 d(0,2)＝d(1,2)= 0.5
d
没有失真
0
• d(xi , y j ) 0
x ≠ y xi y ji
j
产生失真
失xi 真 yj 的大小,用一个量来表示,即失真函数d(xi,yj),
以衡量用yj代替xi所引起的失真程度。
• 失真函数定义为：
0
d(xi, yj )
xi y j
0 xi y j
4
失真函数
• 将所有的d(xi,yj)排列起来,用矩阵表示为:
• 如果对信源进行不失真编码,平均每个符号至少需 要log2n个二进制码元。
• 现在假定允许有一定失真,假设失真限度为D=1/2 设想采用下面的编码方案：
a1→a1， a2→a2， …an→an
an+1→an ,an+2→ an ,…a2n→ an
21
• 平均失真
D
i
j
p(ai
)
p(a j
|
ai
8
L长序列编码
• 如果假定离散信源输出符号序列X＝{X1X2… Xl… Xn},其中L长符号序列xi =[xi1xi2…xiL],经信源 编码后,输出符号序列Y={Y1Y2…Yl…Ym},其中L
长符号序列yj=[yj1yj2…yjN ],则失真函数定义为
1
dL (xi , y j ) L j d (xiL , y jL )
信息率失真函数的物理意义
信息率失真函数的物理意义
信息率失真函数(Information Rate-Distortion Function)是在一定失真度量下，对于给定的信源，最低要求的信息传输速率。
它描述了信源与信宿之间信息传输的效率，是信源编码理论中的基本概念之一。
信息率失真函数的物理意义可以从以下几个方面解释：
1. 失真度量：信息率失真函数是基于一定的失真度量来定义的。
失真度量是指对于信源中的不同符号或信号，它们在解码后与原始信号之间的差异程度。
失真度量的种类很多，常见的有对称失真度量和非对称失真度量。
2. 信息传输速率：信息率失真函数描述了在一定的失真限制下，最低要求的信息传输速率。
这个速率是在信源编码中追求的目标，因为较低的信息传输速率通常可以降低编码成本和传输成本，同时提高信息传输的效率。
3. 信源编码定理：信息率失真函数是信源编码定理中的基本概念之一。
信源编码定理指出了对于任意给定的信源，存在一种最优的编码方式，使得编码后的信息传输速率达到信息率失真函数所描述的值。
因此，信息率失真函数为信源编码提供了理论基础和指导。
4. 信息率失真函数的优化：信息率失真函数的优化是指在给定失真限制下，寻找最低的信息传输速率。
这个过程通常涉及到编码算法和码本设计等方面，是信源编码理论中的重要研
究方向之一。
通过优化信息率失真函数，可以提高信息传输的效率和可靠性，降低编码和传输成本。
总之，信息率失真函数是描述信源与信宿之间信息传输效率的基本概念，它在信源编码理论中具有重要的作用和意义。
信道率失真函数
5
4.1 平均失真和 信息率失真函数
6
• 在实际问题中，信号有一定的失真是可 以容忍的。但是当失真大于某一限度后， 信息质量将被严重损伤，甚至丧失其实 用价值。
• 要规定失真限度，必须先有一个定量的 失真测度。
• 为此引入失真函数。
7
4.1.1 失真函数
• 假如某一信源X,输出样值xi , xi∈{a1,a2,…an},经 信道传输后变成yj , yj ∈{b1, b2,…bm},如果:
dL ( xi ,
yj)
1 L
L l 1
d ( xil ,
y jl )
式中d ( xil , y jl )是当信源输出xi中第l个符号xil，经编码
后输出yj中的第l个符号y jl时的失真函数。 14
补充知识—数学期望
设离散型X的分布律为
若级数
P{X xk } pk , k 1, 2,....
的数学期望，记为E(X )。即
E(X )=
xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
16
4.1.2 平均失真
• xi和yj都是随机变量,所以失真函数d(xi,yj)也是随 机变量,限失真时的失真值只能用数学期望表示
• 将失真函数的数学期望称为平均失真：
nm
nm
D
p(ai,bj )d (ai,bj )
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信息率失真函数
• 由互信息的关系式
I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)-H(X|Y)
可理解为互信息是信源发出的信息量H(X)与噪声干扰条件下 消失的信息量H(Y|X)之差。应当注意，这里讨论的是有关信 源的问题，一般不考虑噪声的影响。信息在存储和传输时需 要去掉冗余，或者从某些需要出发认为可将一些次要成分去 掉，也就是说，对信源的原始信息在允许的失真限度内可以 进行压缩。由于这种压缩损失了一定的信息，造成一定的失 真，把这种失真等效成由噪声而造成的信息损失，看成一个 等效噪声信道(又称为试验信道)，因此信息率失真函数的物 理意义是：对于给定信源，在平均失真不超过失真限度D的 条件下，信息率允许压缩的最小值为R(D)。
4.1 平均失真和 信息率失真函数
6
• 在实际问题中，信号有一定的失真是可 以容忍的。但是当失真大于某一限度后， 信息质量将被严重损伤，甚至丧失其实 用价值。
• 要规定失真限度，必须先有一个定量的 失真测度。
• 为此引入失真函数。
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4.1.1 失真函数
• 假如某一信源X,输出样值xi , xi∈{a1,a2,…an},经 信道传输后变成yj , yj ∈{b1, b2,…bm},如果:
dL ( xi ,
yj)
1 L
L l 1
d ( xil ,
y jl )
式中d ( xil , y jl )是当信源输出xi中第l个符号xil，经编码
后输出yj中的第l个符号y jl时的失真函数。 14
补充知识—数学期望
设离散型X的分布律为
若级数
P{X xk } pk , k 1, 2,....
的数学期望，记为E(X )。即
E(X )=
xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
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4.1.2 平均失真
• xi和yj都是随机变量,所以失真函数d(xi,yj)也是随 机变量,限失真时的失真值只能用数学期望表示
• 将失真函数的数学期望称为平均失真：
nm
nm
D
p(ai,bj )d (ai,bj )
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信息率失真函数
• 由互信息的关系式
I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)-H(X|Y)
可理解为互信息是信源发出的信息量H(X)与噪声干扰条件下 消失的信息量H(Y|X)之差。应当注意，这里讨论的是有关信 源的问题，一般不考虑噪声的影响。信息在存储和传输时需 要去掉冗余，或者从某些需要出发认为可将一些次要成分去 掉，也就是说，对信源的原始信息在允许的失真限度内可以 进行压缩。由于这种压缩损失了一定的信息，造成一定的失 真，把这种失真等效成由噪声而造成的信息损失，看成一个 等效噪声信道(又称为试验信道)，因此信息率失真函数的物 理意义是：对于给定信源，在平均失真不超过失真限度D的 条件下，信息率允许压缩的最小值为R(D)。
4.1有关信息率失真函数的基本概念
,
y
j
)
|
yj |
xi
xi |
|
,
2019/11/5
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单符号离散信源的失真函数
设离散无记忆信源为
X P( X
)
x1， p( x1 )，
x2， p(x2 )，
xi， p(xi )，
xn p(xn )
信源通过转移概率矩阵P（Y/X） 的信道传输的接收端Y
NR(D) 无记忆
2019/11/5
23
信息率失真函数的基本性质 率失真函数的定义域(0,Dmax) 1、当平均失真D=0时，率失真函数 R(D)=R(0)=H(X) 证明：
(1)对于离散信源 当D=Dmin=0时，说明信源无失真的通过确定信道到达 接收端，此时信道传输的信息量（平均互信息I）就 是信源熵
的信道转移概率分布或转移概率密度函数），使在该 信道（称为试验信道）上传输的信息速率达到最小， 这个最小的信息速率称为信息率失真函数，记作R(D)。
信息率失真函数示意图
2019/11/5
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单符号离散无记忆信源的信息率失真函数
R(D) min I (X ;Y ) DD
min I (X ;Y ) p( y j / xi )pD
发送：ai (xi1xi2 xik xiN ), xik (x1,xn ) 接收：bj ( y j1 y j2 y jk y jN ), y jk ( y1, ym )
则N次扩展信源的失真函数可定义为
d N (ai , bj ) d N (( xi1xi2 xiN ), ( y j1 y j2 y jN ))
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解：失真矩阵为
d 10
1 0
00..55
说明: (1) 最常用的失真函数
均方失真函数： 绝对失真函数： 相对失真函数：
d(xi,yj)=(xi-yj)2 d(xi,yj)= d(xi,yj)=
误码失真函数： d(xj,yj)=
xi y j xi y j / xi
如果xj≠yj，就产生了失真。失真的 大小，用一个量来表示，即失真
函数d(xi,yi),以衡量用yj代替xi所引 起的失真程度。
一般失真函数定义为
d
(
xi
,
y
j
)
0, a,
a0
xi y j xi y j
如何定义失真矩阵? 将所有的失真函数 d(xi,yj)，i=1,2,…,n；j＝1,2,…,m排
离散矢量信源符号失真函数定义为： 如果假定离散矢量信源符号为矢量序列X＝
{传符x1输号x2…后序x，列i…y接jx=收n[}y，端j1y其j收2…中到yNj矢N长]则量符失序号真列序函Y列=数{yx1定iy=2[…义xi1yx为ji…2…yxmi}N，]，其经中信N道长
式接d中收Nd端(x(收ikx,到yijk第,)是yj个信jN源)长输符出号N1第yji中个k的NN1长第d符k个(号x符xii中k号,的yjyk的第jk失k个)真符函号数x。ik，
p（x）＝{0.5，0.5}，
信道矩阵分别为:p'ij 00..2600..84,
p' 'ij
0.9 0.2
求: 互信息。
00..81
解：因为p(xiyj)＝p(xi)p(yj/xi)； 用p’ij代人得 p’（x1y1）=0.3，p’（x1y2）＝0.2， p’（x2y1）=0.1，p’（x2y2）＝0.4
3. 矢量传输情况平均失真度
DN
1 N
N
E[d (xik , y jk )]
k 1
1 N
N
Dk
k 1
说明:
Dk是第k个符号的平均失真。
4.1.3 信息率失真函数R（D）
1. 信息率失真函数R（D）问题产生? 对于信息容量为C的信道传输信息传输率为R
的信源时，如果R＞C，就必须对信源压缩，使 其压缩后信息传输率R’小于信道容量C，但同时 要保证压缩所引人的失真不超过预先规定的限 度几信息压缩问题就是对于给定的信源，在满 足平均失真
4. 信息率失真函数R（D）
R(D) min I (X ;Y ) PD '
说明:
对于离散无记忆信源，R（D）函数可写成
R(D)
min
pi j pD '
n i1
m j 1
p(xi ) p(y j
/ xi ) log
p( y j / xi ) p(y j )
例4－1－2
已知, 编码器输人的概率分布为:
(3)平均失真D是对给定信源分布p（xi）在给定转移概 率分布为p（yj／xi）的信道中传输时的失真的总体量度。
2. 离散随机变量平均失真定义 平均失真
D
说明:
pxy (x, y)d (x, y)dxdy
(1) pxy(x,y)是连续随机变量的联合概率密度. (2) d（x，y）是连续随机变量的失真函数。
o,
(
xi
,
y
j
)
1,
xi y j 其它
(2)最常用的失真函数及其适用性 均方失真函数,绝对失真函数, 相对失真函数适用于连续信
源 ; 误码失真适用于离散信源。
(3)失真函数困难性比较 有均关方，失在真数和学绝处对理失上比真较只方与便(xi；-yj相)有对关失，真而与不主是观分特别性与比x较i及匹yj 配，因为主观感觉往往与客观量的对数成正比，但在数学处 理中就要困难得多。
因为p(yi)=
, 所以
p’（y1）＝0.4，pi’（py2(）x＝i y0j.6)
又因为p（xi/yj）=p(xiyj)/p(yj)，所以 p’(x1/y1)=3/4, p’(x1/y2) =1/3, p’(x2/y1)=1/4, p’(x2/y2)=2/3
列起来，用矩阵表示为
d (x1, y1 ) d
d (xn , y1 )
d (x1, ym )
d (xn , ym )
例4-1-1
设信源符号序列为X＝{ 0,1}，接收端收到符号序列为 Y＝{ 0,1,2}，规定失真函数为 d(0,0)＝d(1,1)=0 d(0,1)=d(1,0)=1 d(0,2)=d(1,2)=0.5 求：失真矩阵d ?
值，因此将失真函数的数学期望称为平均失真。
(2) p（xi,yj）, i=1,2,…,n，j=1,2,…,m是联合分布；p（xi） 是信源符号概率分布；p（yj ／xi），i= l，2，…，n，j ＝ l，2，…，m是转移概率分布；d（xi,yj），i=1， 2，…，n,j=1，2，… ，m是离散随机变量的失真函数.
D D'
的前提下，使信息率尽可能小。
2. 什么叫 允D许'信道（也称为 允许的试验D信' 道）?
对于连续的情况, 允许信道定义为
D'
PD' p( y / x) : D D,
3. 对于离散无记忆信道, 允许信道D（' 也称为 允许的试验 信道） D'
PD' p( y j / xi ) : D D' i 1,2,, n; j 1,2,, m
4.1.2 平均失真
1. 离散随机变量平均失真定义
nm
nm
D p(xi , y j )d(xi , y j ) p(xi ) p(y j / xi )d(xi , y j )
i1 j1
i1 j1
说明:
(变1)量由，于限xi和失y真j都时是的随失机真变值量，，只所能以用失它真的函数数学d期(xi望,yj或)也统是计随平机均
平均失真和信息率失真函数
控制信息失真的原因?
在实际问题中，信号有一定的失真是可以容 忍的。但是当失真大于某一限度后，信息质量 将被严重损伤，甚至丧失其实用价值。要规定 失真限度，必须先有一个定量的失真测度，
4.1.1 失真函数
如何定义失真函数 ? 假如某一信源X输出一个随机序列X=x1,x2,…,xn经信道传输后 变成Y=y1,y2,…,ym。 如果 xi=yi. i=1,2,…,n，j=1,2,…,m (4-1-1) 则认为没有失真。