著名机构初中数学培优讲义.二次根式的概念及性质.第02讲(A).教师版
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式的认识
二次根式的认识在数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式是数学中的一个重要概念，它在解方程、计算和几何等领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨二次根式的定义、性质和应用，帮助读者更好地认识和理解二次根式。
一、二次根式的定义二次根式的定义相对简单，就是非负实数的平方根。
其表示形式为√a，其中a ≥ 0，并且√表示根号符号。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
同样地，√9 = 3，因为3的平方等于9。
在这些例子中，4和9都是非负实数。
二、二次根式的性质二次根式具有以下几个重要的性质：1. 二次根式的运算规则：二次根式具有与平方根相似的运算规则。
例如，√a * √b = √(ab)，√a / √b = √(a/b)。
这些运算规则在化简和计算二次根式时非常有用。
2. 二次根式的化简：有时，二次根式可以通过化简来简化其表达形式。
例如，√9 = 3，因为9是一个完全平方数。
类似地，√16 = 4，√25 = 5。
通过将二次根式转化为它们的平方形式，可以使计算更加方便。
3. 二次根式的加减运算：对于相同根的二次根式，可以进行加减运算。
例如，√2 + √2 =2√2，√3 - √3 = 0。
注意，根号下的数字必须相同才能进行此类运算。
4. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，如果a < b，则√a <√b。
这意味着二次根式的大小顺序与根号下的数字的大小顺序相同。
三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 解方程：二次根式可以用于解关于二次根式的方程。
例如，方程√(x+2) = 4的解为x = 18。
2. 几何问题：二次根式可以用于计算几何图形的边长、面积和体积。
例如，在计算正方形的对角线长、圆的半径和球的体积时，常常会涉及到二次根式的计算。
3. 物理学中的运动问题：二次根式可以用于描述自由落体运动、弹射运动等物理过程中的速度、加速度和位移等量。
二次根式辅导讲义
二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
普陀秋季最好的初中补习班 新王牌 二次根式的概念和性质讲解
a2 a
ab a b （a≥0，b≥0）
a a （a≥0，b>0） b b
3.最简二次根式，同类二次根式，有理化因式，分母有理化 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式:（1）被开方数的因数是整数，因式是整式; （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 有理化因式 分母有理化 几个二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,这几个二次根式叫同类二次根式 两个含有二次根式代数式相乘,若它们的积不含二次根式,这两个代数式互为有理化因式 通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算;在根式运算和把一个根式化成最简分式 时，都要将分母有理化.
（D）x≤1 ）
2． （江苏镇江常州）若 x 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围（ （A）x≥2 （B）x≤2 （C）x＞2
（D）x＜2 ） （D）
3． （四川凉山）已知 y 2x 5 5 2x 3 ，则 2 xy 的值为（ （A） 15 （B） 15 （C）
15 2
x2 9 9 x2 2 ，求 5x 6 y 的值. x3
4．若 m 适合关系式 3x 5 y 2 m 2x 3 y m
x 199 y 199 x y ，求 m 的值．
-6-
唐 L 老师
初二数学
☆ Round 4 ☆ 课后百科
1．人有我大，天没有我大。 （打一字）
2．上在下，下在上，卡在中间。 （打一字）
3．天有地没有，工有农没有。 （打一字）
4．增白皂。 （打一字）
5．保留一半，放弃一半。 （打一字）
6．加一倍不少，加一横不好。 （打一字）
7．左边加一是一千，右边减一是一千。 （打一字）
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式的有关概念及性质专题(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解二次根式的定义时，我意识到需要更多具体的例子来帮助学生形象地理解被开方数和根指数的概念。例如，通过展示√9=3和√(-3)²=3的例子，学生们更能明白被开方数的正负性对于二次根式的意义。
在讲授二次根式的性质时，我发现学生们在运用这些性质进行化简和计算时容易出现混淆。我意识到，除了提供例题，还需要让学生们通过小组讨论和实际操作来加深记忆。比如，在讲解性质（1）√a²=|a|时，可以让同学们通过剪纸活动来直观感受这一性质。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过探索二次根式的性质，培养其从特殊到一般的推理方法，并能运用这些性质进行数学证明和解决问题。
3.增强学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简与计算方法，提高四则运算的速度和准确性，培养解决实际问题时运用数学运算的能力。
举例：解释为什么√(-3)²=3，而非-3。
（2）二次根式性质的灵活运用：学生在运用二次根式性质进行化简和计算时，容易忘记或混淆性质，导致错误。
举例：在计算√2+√8时，学生可能会直接相加，而忘记化简为√2+2√2。
（3）二次根式的混合运算：学生在进行二次根式的混合运算时，容易出错，如加减乘除运算的顺序和法则。
举例：解释为什么(√2+√3)(√2-√3)=1，而非0。
（4）实际问题中的二次根式应用：学生往往难以将实际问题转化为二次根式的数学模型，从而解决问题。
举例：在求边长为√3的等边三角形面积时，学生可能不知道如何应用二次根式。
九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式二次根式的概念和性质讲义华东师大版.doc
二次根式的概念和性质 重难点易错点解析 区别)0()(2≥=a a a 和⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 例1题面：判断下列等式是否成立(1)2(19)19()= (2)2(19)19()-=- (3)2(19)19()-= (4)2()()a b a b -=- (5)2()()a b a b-=- (6)2(0)().a a a =-≤金题精讲题一 题面：（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）．A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a - （2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 题二题面：已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______．满分冲刺题一题面：已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长．题二题面：已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．题三 题面：设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积.思维拓展题面：若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ．讲义参考答案重难点易错点解析例1答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．金题精讲题一答案：（1）A （2）C题二答案：0满分冲刺题一答案： c＝2，3，4．题二题三答案：1() 2bc ad-思维拓展答案：。
二次根式的概念与性质
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3. a2 与 （√ a ）2 是一样的吗？
你的理由是什么，请小组讨论一下。
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
a (a 0)
a2 a a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
3=
3 2，
5 2
5 2
2
0.04
2
0.04
( a )2 a (a 0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 3
-
(word完整版)初二数学二次根式概念及性质讲义
二次根式的概念1、判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、计算 ： (1) 2)4((2) （3）2)5.0(（4）2)31(3、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 4、（1）若a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数【总结】 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
【拓展延伸】1、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5 0.35(2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11【练习】A 组(一)填空题：1、2)3(x --2123⎪⎪⎫ ⎛2、 在实数范围内因式分解：（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)（二）选择题：1、计算（ ）A. 169B.-13C±13 D.132、已知的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0( C .2)3.0(=0.3 D 2)75(=35B 组（一）选择题：1、下列各式中，正确的是（ ）。
二次根式的性质课件
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
二次根式讲义
二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】 12）解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：12()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值【例4】已知a b 是 的小数部分，求12a b ++的值。
举一反三：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． （．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式的性质2 （公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例6】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=二次根式的性质3 （公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 【例7】已知2x <,）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x - 举一反三：【例 A. -a B. --a C. -aD. a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式： 最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】 下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B C ． 21 D【例11】 举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是( ) 是 。
二次根式讲义
教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标1、了解二次根式和最简二次根式的概念2、理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算3、会确定二次根式有意义的条件教学重点二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算教学难点二次根式的混合运算教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、二次根式的概念（例1）一般地，我们把形如)0(≥aa的式子叫做二次根式.在二次根式中，a可以是一个数，也可以是一个代数式，但不管是什么形式，作为被开方数的a必须满足0≥a，当0<a时，二次根式无意义.也就是说，当被开方数0≥a时，二次根式才有意义.注意：二次根式的两个基本特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数.比如)1(1,0,2≥-aa等均是二次根式，而像1,32---a等均不是二次根式. 2、二次根式的性质（例2）（1）二次根式的非负性，即)0(0≥≥aa，这一性质也是非负数的算术平方根. （2）一个非负数的算术平方根的平方是它本身，即)0()(2≥=aaa.把公式)0()(2≥=aaa反过来就得到了式子)0()(2≥=aaa，也就是说，逆用这一性质，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.（3）任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即aa=2.3、积的算术平方根的性质（例3）积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即baba∙=∙).,0(≥≥ba注意：（1）在这个性质中，ba,可以是实数，也可以是代数式，但不管是实数，还是代数式，都必须使二次根式有意义，即0,0≥≥b a .要防止出现94)9()4(-⨯-=-⨯-这样的错误.（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如)0,0,0(≥≥≥∙∙=c b a c b a abc .(3)如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个，再分别运用a a =2化简二次根式.4、商的算术平方根的性质（例4）商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或可以简单地说：商的算术平方根等于算术平方根的商.注意：（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时，一定要准确把握性质成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于0.(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如412必须先化成49，注意412412⨯≠；如果被开方数是小数，应先化成分数，如5.0必须先化成21 5、最简二次根式（例5）定义：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如229,465,54,63都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如21不是最简二次根式.把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式.6、二次根式的乘法和除法（例6）（1）把积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab 反过来写为)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如)0,0,0(≥≥≥=∙∙c b a abc c b a .二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数.（2)把商的算术平方根的性质).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或反过来写为)00)((>≥÷=÷=b a b a b a b a ba ，或，则为二次根式的除法法则，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.7、分母有理化(例7）定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如36963232=== 注意：（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.(2）分母有理化的依据：分式的基本性质.(3）分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4）分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如)0(>a a 的有理化因式是a .8、二次根式的合并（例8）合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如3233)2123(3213233=+-=+-.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.9、二次根式的加减法（例9)二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。
八年级二次根式 教师讲义带答案
第五章二次根式知识网络知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式;注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式;知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可;2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义;知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根,也就是说,是一个非负数,即0;注：因为二次根式表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术平方根是非负数,即0,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似;这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0;知识点四：二次根式的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数;注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论;上面的公式也可以反过来应用：若,则,如：,.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值;注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义；3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简;知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中a可以是正实数,0,负实数;但与都是非负数,即,;因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算1运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.2注意知道每一步运算的算理；3乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算1对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的；2二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.1加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.例如进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,43+=+=+通过约分达到化简目的；2多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221+-=-=,利用了平方差公式.所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：2a a +-互为有理化因式；一般地a a +--互为有理化因式；一般地+-式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题专题解读涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 取何值时,3的值最小最小值是多少分析 00,因为3是常数,3的最小值为3.0，33≥,∴当9x +1=0,即19x =-时,3有最小值,最小值为3.解题策略解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,0a ≥0. 专题2 二次根式的化简及混合运算专题解读对于二次根式的化简问题,可根据定义,也可以利用||a =这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是 分析 根据具体选项,应先进行化简,再计算. A 选项中,==B 选若可化为=,C 选项逆用平方差公式可求得2（=4-5=-1,而D 得22=.故选A.例3 计算2006200721)21)的结果是 分析 本题可逆用公式ab m=a m b m及平方差公式,将原式化为2006[(21)(21)]21)2 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值,但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质,得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠解题策略 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.解题策略 本题应根据条件直接进行化简,2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例6 已知实数,a ,b ,c 在数轴上的位置如图21-8所示,化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ,b ,c 在数轴上的位置可知：解题策略 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简.规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”.例8 已知3,12,.a ba b ab ba b a+=-=求的值 图21-8分析 这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意a ,b 的符号,本题中没明确告诉,a ,b 的符号,但可从a +b =-3,ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3,ab =12,∴a ＜0,b ＜0.解题策略 本题最容易出现的错误就是不考虑a ,b 的符号,把所求的式子化简,直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9 的运算结果应在 A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果,原式4==+,由于即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知m 是,n ,求m nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16,即3 43,即m =3,3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题专题4 配方法专题解读 把被开方数配方,a |化简.例11 化简规律·方法一般地,对于a±型的根式,可采用观察法进行配方,即找出x,yx＞y＞0,使得xy=b,x+y=a,则2a±=,于是==,.例12 若a,b为实数,且b15,值.分析本题中根据b15可以求出a,b,对.解：由二次根式的性质得3503350..5305aa aa-⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，当3215.55a b====，时，原式解题策略对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式,当它们作为被开方式进行化简时,要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法专题解读通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算解：令x两边同时平方得：∴x2=33专题6 代入法专题解读通过代入求代数式的值.例14 已知22==a b ab2400,5760,.专题7 约分法专题解读通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简).≠x y三、思想方法专题专题8 类比思想专题解读类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,若被开方数相同,则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：1原式2原式=3+2.解题策略对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想专题解读当问题比较复杂难于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y 24x -中,自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,24x -是二次根式,所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x 3,则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易,根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为21x -,3-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想专题解读 当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.本意在运用公式2||a a =进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -,则x 的取值范围是 A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-,由此可知|1|1x x -=-,且|4|4x x -=-,由绝对值的意义可知10x -≥,且40x -≥,所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.解题策略 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm 和3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案.解：沿前、右两个面爬,=cm. 沿前、上两个面爬,=cm. 沿左、上两个面爬,=cm.所以它要爬行的最短路径长为规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题一判断题：每小题1分,共5分1．ab 2)2(-＝－2ab ．………………… 2．3－2的倒数是3＋2． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．… 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．… 5．x 8,31,29x +都不是最简二次根式． 二填空题：每小题2分,共20分 6．当x __________时,式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时,|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2x －1＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：7－522000·－7－522001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0,则x －12＋y ＋32＝____________．15．x ,y 分别为8－11的整数部分和小数部分,则2xy －y 2＝____________． 三选择题：每小题3分,共15分16．已知233x x +＝－x 3+x ,则………………A x ≤0B x ≤－3C x ≥－3D －3≤x ≤017．若x ＜y ＜0,则222y xy x +-＋222y xy x ++＝……………………… A2x B2y C －2x D －2y18．若0＜x ＜1,则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于……………………… A x2 B －x2 C －2x D2x19．化简aa 3-(a ＜0)得……………………………………………………………… A a - B －a C －a - D a20．当a ＜0,b ＜0时,－a ＋2ab －b 可变形为……………………………………… A 2)(b a + B －2)(b a - C 2)(b a -+- D 2)(b a ---四计算题：每小题6分,共24分 21．235+-235--；22．1145-－7114-－732+；23．a 2m n －m ab mn ＋m n n m ÷a 2b 2mn ； 24．a ＋ba abb +-÷b ab a +＋a ab b -－ab b a +a ≠b ．五求值：每小题7分,共14分25．已知x ＝2323-+,y ＝2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 26.当x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、 解答题：每小题8分,共16分 27.计算25＋1211+＋321+＋431+＋…＋100991+． 28. 若x ,y 为实数,且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值． 一判断题：每小题1分,共5分 1、提示2)2(-＝|－2|＝2．答案×． 2、提示231-＝4323-+＝－3＋2．答案×．3、提示2)1(-x ＝|x －1|,2)1(-x ＝x －1x ≥1．两式相等,必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．答案×． 4、提示31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．答案√．5、29x +是最简二次根式．答案×． 二填空题：每小题2分,共20分6、提示x 何时有意义x ≥0．分式何时有意义分母不等于零．答案x ≥0且x ≠9．7、答案－2a a ．点评注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、提示a －12-a ________＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．答案a ＋12-a ． 9、提示x 2－2x ＋1＝ 2,x －1．当1＜x ＜4时,x －4,x －1是正数还是负数 x －4是负数,x －1是正数．答案3．10、提示把方程整理成ax ＝b 的形式后,a 、b 分别是多少12-,12+．答案x ＝3＋22．11、提示22d c ＝|cd |＝－cd ．答案ab ＋cd ．点评∵ ab ＝2)(ab ab ＞0,∴ ab －c 2d 2＝cd ab +cd ab -．12、提示27＝28,43＝48．答案＜．点评先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较－281与－481的大小． 13、提示－7－522001＝－7－522000·_________－7－52．7－52·－7－52＝1．答案－7－52．点评注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、答案40．点评1+x ≥0,3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时,x ＋1＝0,y －3＝0． 15、提示∵ 3＜11＜4,∴ _______＜8－11＜__________．4,5．由于8－11介于4与5之间,则其整数部分x ＝小数部分y ＝x ＝4,y ＝4－11答案5．点评求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了． 三选择题：每小题3分,共15分 16、答案D ．点评本题考查积的算术平方根性质成立的条件,A 、C 不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、提示∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0,x ＋y ＜0． ∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ． 222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．答案C ．点评本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、提示x －x 12＋4＝x ＋x 12,x ＋x 12－4＝x －x 12．又∵ 0＜x ＜1, ∴ x ＋x 1＞0,x －x1＜0．答案D ．点评本题考查完全平方公式和二次根式的性质．A 不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时,x －x1＜0．19、提示3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．答案C ． 20、提示∵ a ＜0,b ＜0,∴ －a ＞0,－b ＞0．并且－a ＝2)(a -,－b ＝2)(b -,ab ＝))((b a --． 答案C ．点评本题考查逆向运用公式2)(a ＝aa ≥0和完全平方公式．注意A 、B 不正确是因为a ＜0,b ＜0时,a 、b 都没有意义． 四计算题：每小题6分,共24分21、提示将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式． 解原式＝35-2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、提示先分别分母有理化,再合并同类二次根式． 解原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、提示先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 解原式＝a 2m n －m ab mn ＋m n n m ·221b a n m＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24、提示本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分． 解原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +． 点评本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐． 五求值：每小题7分,共14分25、提示先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值． 解∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26, y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26． ∴ x ＋y ＝10,x －y ＝46,xy ＝52－262＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 点评本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、提示注意：x 2＋a 2＝222)(a x +, ∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +22a x +－x ,x 2－x 22a x +＝－x 22a x +－x ．解原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x-++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．点评本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1． 六、解答题：每小题8分,共16分27、提示先将每个部分分母有理化后,再计算．解原式＝25＋11212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--＝25＋112-＋23-＋34-＋…＋99100- ＝25＋11100- ＝925＋1．点评本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分．这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、提示要使y 有意义,必须满足什么条件].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 解要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵ xy y x ++2－xy y x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy yx+|－|xy y x-|∵ x ＝41,y ＝21,∴y x ＜x y ． ∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41,y ＝21时,原式＝22141＝2．点评解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y的值．。
二次根式的定义和基本性质
二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。
它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。
在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。
二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。
当x小于0时，√x是一个虚数。
在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。
基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。
例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。
例如，√4小于√9，因为4小于9。
通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。
例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。
需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。
负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。
虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。
初中数学知识点归纳二次根式
初中数学知识点归纳二次根式二次根式是初中数学中的一个重要知识点，它是一个数的平方根，或者可以表示成形如√a的形式，其中a是一个正整数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握二次根式的化简、计算与运算等基本技巧。
下面我将详细介绍二次根式的相关知识点。
1.二次根式的定义与性质二次根式可以表示成√a的形式，其中a是一个正整数。
二次根式有以下基本性质：（1）√a=b，其中b是一个正数，那么a=b²；（2）√a=b，其中b是一个正数，那么b²=a，即b是a的一个正平方根；（3）0<√a<√b，其中a<b。
2.二次根式的化简化简二次根式是指将一个二次根式以最简形式表达出来。
（1）对于根号中的数，可以找出完全平方数因式，然后求出根号中被平方的数的平方根。
（2）对于根号外的系数，可以利用乘方运算法则进行整理。
3.二次根式的运算二次根式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。
（1）加减法：二次根式的加减法可以转化为同类项相加减的问题，将根号内的数进行化简和整理即可。
（2）乘法：乘法运算可以通过合并同类项、运用公式进行展开、化简来求解。
（3）除法：除法运算需要利用有理化技巧，将二次根式的被除数和除数分别乘以一个适当的有理化因子，使得分子没有根号。
4.二次根式的应用二次根式在初中数学中常常与勾股定理、平方差公式等知识点相结合，应用于解决各种几何问题。
（1）使用二次根式计算直角三角形的边长：根据勾股定理，可以利用二次根式计算直角三角形的边长。
（2）使用二次根式计算面积：利用二次根式可以计算各类面积，如矩形、正方形、圆等。
5.二次根式的估算在实际生活和解题过程中，我们常常需要对二次根式进行估算。
可以利用四舍五入和近似计算的方法对二次根式进行估算，得到一个较为接近的结果。
以上就是关于初中数学中二次根式的相关知识点的归纳。
通过学习和掌握这些知识，可以更好地理解和运用二次根式，提高数学解题的能力。
著名机构数学讲义暑假01-八年级培优版-二次根式的概念与性质-教师版
教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称二次根式的概念和性质二次根式的概念和性质知识模块Ⅰ：二次根式的概念1.二次根式a a≥叫做二次根式。
读作“根号a”，其中a叫被开方数.代数式(0)2.二次根式有意义a≥a有意义的条件是0【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、33、1x、(0)x x >、0、42、2-、1x y +、x y + (x ≥0，y ≥0)． 【答案】二次根式：2、(0)x x >、0、2-、x y + (x ≥0，y ≥0)． 【例2】设x 实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）21x -；（2）2x -；（3）1x；（4）21x + 【答案】（1）12x ≥（2）2x ≤（3）0x >（4）一切实数 【例3】若x ，y 为实数，且y ＝＋＋．求－的值． 【答案】2【例4】若化简︱1－x ︱－x 2－8x ＋16的结果为2x －5，则x 的取值范围是（ ）A . x 为任意实数B . 1≤x ≤4C . x ≥1D . x ≤4 【答案】B【例5】已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b ＋︱c －1－2︱＝10a ＋2b －4－22，则△ABC 为（ ）A . 等腰三角形B . 正三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形【答案】B【例6】已知2012＋13与2012－13的小数部分分别是a 和b ，求代数式ab －3a ＋4b ＋8的值。
【答案】因为2012＋13与2012－13的小数部分分别是a 和b ，所以a ＝13－3，b ＝4－13，所以ab －3a ＋4b ＋8＝8。
2x 41-14-x 21x y y x ++2xy y x +-2知识模块Ⅱ：二次根式的性质（1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥；性质3：ab a b =⨯ （0a ≥，0b ≥）；性质4：a a b b=（0a ≥，0b >）． （2）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩【例7】求下列二次根式的值.（1） （2）其中.【答案】（1）3π-（2）31+【例8】已知三角形、、为三角形的三边，化简：【答案】4a2(3)π-221x x -+3x =-a b c 2222()()()()a b c a b c a b c a b c +++-+---++-【例9】，求的值. 【答案】22x y =-=，原式=8【例10】当a 取何值时，25a --的值最大，并求最大值.【答案】52a =【例11】已知()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a x y 、、为互不相同的实数，求x y x y+-的值. 【答案】0【习题1】使2x -有意义的x 的取值范围是 .【答案】0x ≤22()0x x y +++=2x xy -。
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内容 基本要求略高要求较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）1. 二次根式a (0)a ≥的内涵，a (0)a ≥是一个非负数；2()a a =(0)a ≥；2a a =(0)a ≥•及其运用．2. 二次根式乘除法的规定及其运用．3. 二次根式的加减运算．无 穷 小 是 零 吗 ？ ── 第 二 次 数 学 危 机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的．1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论．他指出："牛顿在求n x 的导数时，采取了先给x 以增量0，应用二项式(0)n x +，从中减去n x 以求得增量，并除以0以求出n x 的增量与x 的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比．这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x 有增量，又令增量为零，也即假设x 没有增量．"他认为无穷小dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx 为逝去量的灵魂"．无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论．导致了数学史上的第二次数学危机．18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠．其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等．中考要求重难点课前预习二次根式的概念及性质直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础．从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础．模块一 二次根式的概念及性质二次根式的概念：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．二次根式的基本性质：（1）0a ≥（0a ≥）双重非负性；（2）2()a a =（0a ≥）；（3）2 (0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．对二次根式定义的考察【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、4、33、1x、(0)x x >、0、42、1x y+、x y +（x ≥0，y ≥0）． 【难度】1星【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．【答案】二次根式有：2、(0)x x >、0、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：4、33、1x、42、1x y+．【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）． A ．7- B ．38 C ．x D ．x 【难度】1星 【解析】略【答案】A ．【例2】 当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 【难度】1星【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0，•31x -才能有意义．【答案】x ≥13．【例3】 当x 是多少时，1231x x +++在实数范围内有意义？例题精讲【难度】2星 【解析】11x +在实数范围内有意义，2x+3≥0和11x +中的x+1≠0． 依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由2x +3≥0得：x ≥32-由x +1≠0 得：x ≠-1当x ≥32-且x ≠-111x +在实数范围内有意义【答案】x ≥32-且x ≠-1．有意义的未知数x 有（ ）个 ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 【难度】1星【解析】利用二次根式和平方非负性解题． 【答案】B ．【巩固】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 【难度】1星【解析】注意在实际应用题中数据的非负性． 设底面边长为x ，则20.21x =，解答：x【例4】 解答下列题目（1） 已知6y =，求xy的值． 【难度】1星【解析】二次根式非负性的考察．由题可知3030x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x =3，y =6，则x y =3162=【答案】12．（20，求20112011a b +的值．【难度】1星【解析】原式=20112011(1)1110-+=-+=． 【答案】0．【巩固】已知a 、b5b +，求a 、b 的值． 【难度】2星【解析】二次根式非负性的考察． 【答案】a =5，b =-5．【巩固】已知实数a 与非零实数x满足等式：222130x x ⎫⎛-++ ⎪⎝⎭【难度】3星【解析】非负性的考察．由题可知2213010x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2x Q 2130x -+=，222221113,25,()5x x x x x x ∴+=++=+=．又Q 110,a x x a x x--=∴+=，a ∴=∴原式=2a -∴当a原式=a-2=2，当a=原式=a2．22．对二次根式性质的考察【例5】 计算（1）2 （2）2 （3）2( （4）2【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）34；（2）36；（3）5；（4）34．【巩固】计算（1）2(0)x ≥ （2）2 （3）2 （4）2 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）x +2；（2）2a ；（3）221a a ++；（4）24129x x -+．【例6】 在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x - 【难度】2星【解析】实数与有理数的区别:实数包含无理数．【答案】（1）(x x -+；（2）2(2)x x x +；（3）．【例7】 先化简再求值：当a=9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=(1)1a a a +=+-=；乙的解答为：原式=(1)2117a a a a ++-=-=．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．【难度】2星 【解析】略【答案】甲； 甲没有先判定1-a 是正数还是负数．【巩固】若-3≤x ≤2时，试化简2x - 【难度】2星0；2a = (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩原式=23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-． 【答案】 10x -．【巩固】如果0a >，0ab< 【难度】2星 【解析】略0,0,0aa b b><∴<Q原式=414(1)413b a a b b a a b b a a b ----+=-++--+=-++-+-=．【答案】3．总结:（1）在做题中,在有取之范围的情况下,根式下的式子要满足大于等于0；同时特别注意其与分式的结合应用；（2）整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值；偶次方（常以平方的形式出现）；根号．在中考题中经常以填空或选择的形式出现．模块二 二次根式的乘除运算（0a ≥，0b ≥）【例8】 =x ，y 必须满足条件 ． 【难度】1星 【解析】略【答案】0,0x y ≥≥．【例9】 化简：（1）＝______；（2＝______；（3______． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1） 63； （2）0．3 （3）236a ．【例10】 如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥B ． 3x ≥C ．03x ≤≤D ． x 为任意实数【难度】1星 【解析】略 【答案】B ．【巩固】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积． 【难度】1星【解析】12s ==2cm ）．【例11】 把4324根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-B ．11C ．44-D ．44【难度】1星 【解析】略【答案】D ．【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1）;1aa -（2）⋅---11)1(y y 【难度】2星0)a ≥解题，在解题过程中要注意0a ≥的应用．（1）；（2）(y - 【答案】（1）（2）【例12】 先化简，再求值：((6)a a a a --，其中215+=a 【难度】1星【解析】在做题过程中，一定要注意先化简，再代入求值．原式223663a a a a =--+=-，把215+=a 代入得原式=16)32⨯-=．【答案】．【例13】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值． 【难度】3星【解析】非负性的考察．(0,(b b -==-0,(00,10,101,1b b b b a ∴-≥≥∴-≥-≥∴=∴=-Q 又，原式=20112011(1)1112--=--=-．【答案】2-．【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===验证：=同理可得：=……通过上述探究你能猜测出： =_______（a >0），并验证你的结论．【难度】2星 【解析】略【答案】 验证：==总结：对于上题，在做题中要注意横向和纵向的对比，即式子本身及式子与式子自检的关系，以便找到规律．利用乘法法则时注意a 、b =，a 、b 都非负，否则不成立，≠=（0a ≥，0b >）【例14】 计算： （1）（1（3 （4【难度】1星=（0a ≥，0b >）便可直接得出答案（12===；（22===（32===；（4==【答案】 （1）2；（2）（3）2；（4a b =，的值． 【难度】3星【解析】乘法公式和除法公式的综合应用．10ab===． 【答案】10ab ．【例15】 已x 为偶数，求(1x +【难度】3星【解析】由题可知90,60,69x x x -≥->∴<≤x Q 为偶数，8x ∴=Q （1+x (1(1x x =+=+当x =8时，原式=2(1963+==⨯=． 【答案】6．( （m >0，n >0） 【难度】1星【解析】原式==22n n m m --=．【答案】总结：利用这除法法则时注意a 、b =（0a ≥，0b >），a 非负，b 必须大于０，否则不成立．模块三 最简二次根式：0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式．（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．【例16】 把下列各式化成最简二次根式：（1______；（2______；（3______；（4______．【难度】1星 【解析】略【答案】（1）（2）（3）（4）【例17】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．A ．a 8B ．32-bC ．2yx - D ．y x 23【难度】1星 【解析】略【答案】B ．【巩固】把下列各式化成最简二次根式：（1 （2 （3 （4 【难度】1星 【解析】略【答案】（1（2；（3）ab （4．【例18】 计算：（1 （2） （3 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）；（2）24；（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．互为有理化因式，原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．【例19】的有理化因式是 ；y 的有理化因式是 ．的有理化因式是 ． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1（2） y ； （3）．【例20】 把下列各式分母有理化：（1（22 （3（4【难度】1星【解析】（1==；（22==-；（31===；（4==【答案】（1；（2）-（31；（4【难度】1星 【解析】略【例21】【难度】2星【解析】原式=．【例22】 观察规律：32321,23231,12121-=+-=+-=+，……，求值． （1）7221+＝______；（2）10111+＝______；（3）n n ++11＝______． 【难度】1星【解析】略【答案】（1）（2；（3=_______． 【难度】2星【解析】原式123==-． 【答案】3-．模块四 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(a b =+．同类二次根式才可加减合并．【例23】 把有 ；的被开方数相同的有 ；的被开方数相同的有 ．【难度】1星【解析】略【答案】【例24】 若____a =．【难度】2星【解析】同类二次根式的考察依题意，得，3a -5=a +3 ，解得a =4 ．【答案】4．【例25】 化简后，与2的被开方数相同的二次根式是（ ）．A ．12B ．18C ．41D ．61 【难度】1星【解析】略【答案】 B ．【例26】 若n m 、n 的值． 【难度】2星【解析】依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ ，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，m n ⎧=±⎪⎨=⎪⎩所以m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【答案】m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【巩固】若a a ，b 的值．【难度】2星【解析】在做题过程中，要注意是否是最简二次根式， 此题注意到a【答案】11a b =⎧⎨=⎩．【巩固】已知最简根式a ，b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组【难度】1星【解析】略【答案】B ．【例27】 化简计算：（1（2）(a b -0a b >>)（3）- 【难度】2星【解析】略【答案】（1）3-（2（3．【练习1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）． A ．23- B ．2)3.0(- C ．2- D ．x 【难度】1星【解析】略【答案】B ．【练习2】已知33x +是二次根式，则x 应满足的条件是（ ）． A ． x ＞0 B ． x ≤0 C ． x ≥－3 D ． x ＞－3 【难度】2星【解析】注意分式与二次根式的结合．【答案】D ．【练习3】若m m 32-+有意义，则m ＝ ． 【难度】1星【解析】略【答案】0．【练习4】计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323( 【难度】1星【解析】略【答案】（1）18；（2）6；（3）15；（4）6．【练习5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（1）3＝______；（2）24______；（3）322＝______；（4）6y ＝______． 【难度】1星【解析】略【答案】（1）3；（2）6；（3）6；（4）6x y ．【练习6】计算 222223333()22m n m n a a a m n -+-÷⨯- （a >0） 【难度】2星课堂检测【解析】原式22223()()332m n m n a a m n m n a -+=-⨯⨯⋅⋅+- 23222626a a a =-⨯-==- 【答案】6a -．1.通过本堂课你学会了 ．2.掌握的不太好的部分 ．3.老师点评：① ．② ． ③ ．1.当a ______时，23-a 有意义；当x______时，31-x 有意义． 当x ______时，x 1有意义；当x ______时，x 1的值为1． 【难度】1星【解析】略【答案】23a ≥；3x >；x >0；x =1．2.若b ＜0，化简5ab -的结果是______．【难度】1星【解析】略 【答案】原式2b ab =-．3.在9，112,,8,273中，与3是同类二次根式的是 ． 【难度】1星【解析】略【答案】112,,273． 总结复习课后作业4.若3xy m = ．【难度】2星【解析】依题意，得366224x y y y x y x y m +=+⎧⎪+=⎨⎪-=++⎩，解得244x y m =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，4m ∴=．【答案】4．5.若a ，b 两数满足b ＜0＜a 且｜b ｜＞｜a ｜，则下列各式有意义的是（ ）．A ．b a +B ．a b -C ．b a -D ．ab【难度】2星【解析】由已知条件，借助于数轴解决问题．【答案】C ．6.=成立的条件是（ ） A ．2x ≥ B ．2x ≥- C ．22x -≤≤ D ．2x ≥或2x ≤-【难度】1星【解析】略【答案】A ．7.若3,4a b =-=-，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）A ．()3(34)21a a b +=---= B ．15==--- C ．15=-= D ．15±=±=±=±【难度】2星【解析】略【答案】C ．8.计算（1）（2）781)1)（3）(⋅ （4） 48)832(3x x x x ÷- （5）(1x x +++-【难度】2星【解析】（1）原式(55=--=-=--=-+（2）原式71)]1)(21)1==-=；（3）原式3()2a b =⋅-⋅===（4）原式(6=÷-=； （5）原式223(1)[(1)](1)(1)1x x x x x x x =-+-=-++=-．【答案】（1）5-+；（21；（3）（4）；（5）31x -．9.若最简二次根式a 是同类根式，求2b a -的值【难度】2星【解析】222a b a b a b +=⎧⎨+=+⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴原式211=-=-． 【答案】1-．10. =（ ）A BC D ．不同于以上三个答案 【难度】2星【解析】灵活应用分母有理化．=====【答案】C ．。