高数实验一

《高等数学》实验一——函数与极限
实验目的：
熟悉Matlab软件的基本操作，会熟练应用作图命令绘制一元显函数、隐函数及由参数方程表示的函数、极坐标表示的函数的图形。

掌握极限的符号计算。

学会分析上述有关内容的综合问题并利用软件给出正确的解答。

实验内容：
1.一元函数作图
a.散点图和折线图：两同维数的向量配对成x, y坐标，等距散点时注意用linspace(a,b,n)
命令，其中[a,b]为x的范围，n为总的散点数，用命令plot(x,y, ‘选项’)实现散点图，用plot(x,y)实现折线图；
b.作显函数y=f(x)的图：利用ezplot(‘f(x)’,[a,b])命令作出显函数f(x)在区间[a,b]上的图；
c.作隐函数f(x,y)=0的图：利用ezplot(‘f(x,y)’,[xmin,xmax,ymin,ymax]) 命令作出隐函
数f(x,y)=0在区间xmin<x<xmax和ymin<y<ymax之间的图像；
d.作由参数方程x=x(t), y=y(t)确定的函数曲线图：利用ezplot(‘x(t)’,’y(t)’,[tmin,tmax])
命令作出由参数方程x=x(t), y=y(t)确定的函数在对应参数范围在tmin≤t≤tmax 之间的图像；
e.作出复杂自定义函数y=f(x)的图：首先建立函数M文件filename.m，再利用命令
fplot(‘filename’,[a,b])画出此函数在区间[a,b]间的图像，fplot命令画出的图像比较精细，主要采用的是自适应的技术，就是在曲线变化比较大的地方取点密集，曲线变
化比较小的地方取点稀疏；
f.作极坐标表示的函数图：利用命令polar(theta,rho, ‘选项’)画出极坐标ρ=ρ(θ)表示的函
数图像；其中，theta向量表示θ的散点取值，rho向量表示对应的ρ取值。

2.一元函数求极限
利用Matlab中的符号计算，解析地求出一元函数的极限。

先定义符号变量进行符号计算：syms a x;
limit(f,x,a) ：求符号（即解析）表达式f在x->a时的极限；
limit(f,x,inf) ：求符号（即解析）表达式f在x->∞时的极限；
limit(f,a) ：求符号（即解析）表达式f在默认自变量->a时的极限；
limit(f) ：求符号（即解析）表达式f在默认自变量->0时的极限；
limit(f,x,a,'right') 或limit(f,x,a,'left') ：求符号（即解析）表达式f在x->a时的右或左极限。

学生实验内容：
1. 作显函数193432-+-=x x x y 在区间]4 ,4[-上的散点图，要求x 取40个等距散点，散点用“+”号表示出来。

2. 作显函数193432-+-=x x x y 在区间]4 ,4[-上的图形。

3. 作显函数123+--=x x x y 在区间]2 ,5.1[-上的折线图，要求x 取10个等距点。

4. 作显函数123+--=x x x y 在区间]2 ,
5.1[-上的图形。

5. 作显函数2
)3(361++=x x y 在区间]20 ,20[-上的图形。

6. 作显函数78624++-=x x x y 在区间]3 ,3[-上的图形。

7. 选取合适的步长(如选取步长为0.012, 为避免出现x = 0的情况），作显函数x
y 1sin =在区间]1 ,1[-上的散点图，散点用“o ”号表示。

8. 作显函数x
y 1sin =在区间]1 ,1[-上的图形。

9. 作显函数x
x y sin =在默认区间上的图形。

10. 作显函数x x y sin =
在区间]20 ,20[-上的图形。

请与第9题比较所得图像的差异并解释。

11. 作显函数x
x y 2cos cos =在区间] π,0[上的图形。

12. 作显函数x x y cos =在区间[-60, 60]上的图形。

13. 作隐函数0)cos(5)sin(2222=+++++y x e
y y x x y x 所表示的曲线图形。

14. 作隐函数0633=-+y x y x 所表示的曲线图形。

15. 作隐函数23)sin(y x e
y x xy -+=+所表示的曲线图形。

16. 作隐函数xy e e y +=所表示的曲线图形。

17. 作出参数方程]2 ,0[ ,sin cos π∈⎩
⎨⎧==t bt y at x 所表示的函数图形。

其中.4 ,3==b a 18. 作出参数方程]2 ,0[ ,)
cos 1(2)sin (2π∈⎩⎨⎧-=-=t t y t t x 所表示的函数图形（这是一段摆线）。

19. 作出参数方程]2 ,0[ ,1313323
π∈⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t t at
y t at x 所表示的函数图形，其中.2=a 20. 作出参数方程]2 ,0[ ,sin 2cos 233πθθ
θ∈⎩⎨⎧==y x 所表示的函数图形（这是星形线）。

21. 作出极坐标方程θρ2sin 4=,]2 ,0[ πθ∈所表示的函数图形。

22. 作出极坐标方程θρ3sin 2=, ]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

23. 作出极坐标方程θρ2cos 3=, ]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

24. 作出极坐标方程θρ3cos 2=, ]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

25. 作出极坐标方程)3/4sin(4θρ=,]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

你觉得自己画出的图
形完整吗？该如何选取θ 才能显示完整的图形？
26. 作出极坐标方程)3/sin(4θρ=,]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

27. 作出极坐标方程)2/sin(4θρ=, ]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

28. 分别作出极坐标方程)2/7cos(θρ= 在以下(1)]2 ,0[πθ∈，(2)]3 ,0[πθ∈
(3)]4 ,0[πθ∈情形下所表示的函数图形，从中看出什么规律性。

29. 作出极坐标方程θρ7cos 13
-=, ]2 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

从所得到的图形你
可以猜测出θρ8cos 13-=, ]2 ,0[πθ∈所表示的图形形状吗？再用画图命令验证你的猜想。

30. 作出极坐标方程)2/5sin(θρ=, ]4 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

所得的十叶花瓣图中
你知道画图时花瓣画出的顺序吗？请说明为什么。

31. 作出极坐标方程2
0012
.1θρ=，]4 ,0[πθ∈所表示的函数图形。

32. 著名的Fibonacci 数列是遵循以下规律生成的：
) ,3 ,2( ,1 ,11121 =+===-+n x x x x x n n n
编程写出此数列的前20项。

若记) ,3 ,2 ,1( 1
==+n x x y n n n ，在理论上证明：数列}{n y 的极限是黄金分割点值，即21
5lim -=∞→n y y .
33. 求数列n n n x )1
1(+=在10000 , ,3000 ,2000 ,1000 =n 时的值，
画出n 和
n n n x )1
1(+=对应的散点图，散点用‘*’表示。

34. 求极限x x x sin lim 0→及x x
x sin lim ∞→.
35. 求极限ππ-→x x
x sin lim .
36. 求极限)2sin 1ln(1
2lim 0x x x +-→. (注意：自然对数lnx 的命令为log(x))
37. 求极限2
21lim 22
x x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++∞→. 38. 求极限113lim 21-+--→x x
x x .
39. 求极限)2(lim 2
n n n n -+∞→.
40. 求极限31
0)sin 1tan 1(lim x
x x x ++→.
41. 求极限x x
x x x c b a 1
0)3(lim ++→，其中a , b , c 均为正数。

42. 求极限x x
x x tan 1cos sin lim 4π
--→
43. 求极限x
x x -→11
1lim
44. 求极限x
x x x sin 1sin 1lim 0--+→ 45. 求极限a
x a x a x --→sin sin lim 46. 求极限20cos 1lim x
x x -→ 47. 求极限x x e x x sin cos 11
lim 30---+→
48. 求极限 )(lim 1x f x →，其中⎩⎨⎧≤>=-1
,1 ,)(1x x x e x f x . 注意用左右极限分别计算。

49. 用二分法求方程135=-x x 在(1, 2)中的根，精确到610-.
50. 用二分法求方程01sin =++x x 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-2π ,2π中的根，精确到610-. 51. 用二分法求方程03sin 6cos 53=-+x x x 在()2π ,0中的根，精确到610-.
52. 利用以下迭代关系⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+n n n x x x 5211可以求得方程52=x 的近似根，请编程从21=x 开始计算直至算出的某n x 与精确解
误差不超过610-，利用format long 命令输出取15位小数的近似解，并从理论上说明此迭代式的原理。

53. 现在你的父母从你上大学开始为你以后筹备结婚资金给出两种方案：第一种，父母在
你上大学开始就存入5万元，当时的年利率为12%，即月利率为1%，现在以月利率复利计算，到你结婚时父母一次性连本带利把钱交付给你；第二种，父母先准备5万元，然后每月加入700元，但没有利息，直到你结婚一次性交付给你。

请问：
（1）在两种方案中你会选择哪种方案？为什么？
（2）进一步思考：对方案一如果你的父母将钱存入银行时可以灵活结算，即结算方式可
以是任意时间计息（即可以以季、月、日、分钟、秒甚至更小的时间单位进行计息结算），那么通过怎样的方式可以实现最大收益？ 这样的收益会无限大吗？
54. 设正三角形的三个顶点坐标（以原点为对称中心）分别是
21
,23 , 21,23 ),1,0(000⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==C B A ， 现将此正三角形绕逆时针旋转，每次旋转的角度为π/6，请画出此正三角形旋转4次所得到的六个新位置上的正三角形)4, ,2 ,1( =i C B A i i i 的图。

请先分析这些正三角形的顶点位置如何确定。

55.空气通过盛有CO2吸收剂的圆柱形容器，已知它吸收CO2的量与CO2在空气中的含量
及吸收层的厚度成正比（提示：先将总厚度等分，考虑通过第一等份时吸收的情况，然后再考虑通过第二等份时的情况……）。

今有CO2含量为8%的空气通过厚度为10cm的吸收层后，出口处空气中CO2的含量降为2%. 问：
（1）若通过的吸收层厚度为30cm, 出口处空气中CO2的含量是多少？
（2）若要使出口处空气中CO2的含量为1%，其吸收厚度应该为多少？。