2.2.1～2.2.2向量加法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义课件(人教A必修4)

[通一类]
3．设 a 表示向西走 10 km，b 表示向北走 10 3 km，则 a－b
表示
()
A．向南偏西 30°走 20 km
B．向北偏西 30°走 20 km
C．向南偏东 30°走 20 km
D．向北偏东 30°走 20 km
uur
uuur
解析：如图，作OA＝a，OB＝b，
uur 则 BA＝a－b.在 Rt△ABO 中，OA＝10，
在 Rt△ACD 中，|CD |＝| AB|＝|v 水|＝10 m/min， uuur | AD|＝|v 船|＝20 m/min，
uuur ∴cos α＝||uCAuDDur||＝1200＝12，
∴α＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成 120°的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平 面几何中求角度的问题．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ∴a－b＋c＝ AB－ AD＋ BF ＝ DB＋BF ＝ DF ，
uuur 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
[悟一法] 用几何法作两个向量的和或差应注意以下几点： (1)两向量是否共起点； (2)弄清减向量与被减向量； (3)灵活选择加法法则．
[通一类]
1．如图所示，O 是四边形 ABCD 内
任一点，试根据图中给出的向量，确定
a、b、c、d 的方向(用箭头表示)，使 a＋b＝
uur
uuur
BA，c－d＝ DC ，并画出 b－c 和 a＋d.
uur
uuur
解：因为 a＋b＝ BA，c－d＝ DC ，
ຫໍສະໝຸດ Baiduuur
uuur
uuur
uuur
所以 a＝OA，b＝BO，c＝OC ，d＝OD；
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
uuur uuur
uuur uuur
∴ ED＋ EA＝0，CF ＋ BF ＝0.
uuur uuur uuur uuur
∴ EF ＋ EF ＝ AB＋ DC .
法二：如图，在平面内取点 O，
连接 AO，EO，DO，CO，FO，BO，则 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur EF ＝ EO ＋OF ＝ EA＋ AO＋OB＋BF ，
3．怎样理解||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|? 提示：(1)当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与 a，b都不相同，模满足||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b方向相同，模满足|a＋b|＝ |a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|＞|b|，则a＋b与a同向，模满足|a ＋b|＝|a|－|b|；若|a|＜|b|，则a＋b与b同向，模满足|a＋b|＝|b| －|a|. 4．类比向量的加法运算是否有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成 立？ 提示：成立．因为|a－b|＝|a＋(－b)|， 所以||a|－|b||＝||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|.
uuur uuur uuur uuur ＝ AB－CD－ AC ＋BD
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur ＝(OB－OA)－(OD－OC )－(OC －OA)＋(OD－OB)
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur ＝OB－OA－OD＋OC －OC ＋OA＋OD－OB＝0.
求两个向量 和的运算，叫做向量的加法．
2．向量加法的运算法则
uuur
已知非零向量 a、b，在平面上任取一点 A，作 AB
uuur
uuur
向量 求和
三角
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a
作
a＋b
，即
uuur uuur a＋b＝ AB＋ BC ＝
与uuurb 的和，记 AC.
的法 形法 这种求两个向量和的方法，称为
[答案] 0
[悟一法]
uuur 在进行向量加减法运算时，应熟练掌握以下结论： AB＋ uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur BD＝ AD； AB－ AC ＝CB； MN ＝ON －OM .可不画出图形
直接写出类似的一系列式子．
[通一类] uuur
2．下列四式中不能化简为 AD的是 uuur uuur uuur
uuur uuur ＝ AB＋ DC .
[点评] (1)本题运用向量的加、减运算解决，而不必 考虑图形是平面图形还是空间图形，体现了向量的优点．
(2)本例结论可以看作梯形中位线定理的推广．
uuur uuur uuur ＋FC ＋CD＋ DE ＝0，
uuur uuur uuur uuur 所以 EF ＝－FC －CD－ DE
uuur uuur uuur
＝CF ＋ DC ＋ ED.
①
uuur uuur uur uuur
在四边形 ABFE 中， EF ＋FB＋ BA＋ AE ＝0，
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 对于 B 有 AD＋( MB＋BC )＋CM ＝ AD＋( MC ＋CM )＝ AD；
uuur uur uuur uuur uuur uuur 对于 C 有(OC －OA)＋CD＝ AC ＋CD＝ AD，只有 D 无法化简
A．( AB＋CD)＋ BC uuur uuur uuur uuur
B．( AD＋ MB)＋(BC ＋CM ) uuur uur uuur
C．OC －OA＋CD uuur uuur uuur
D． MB＋ AD－ BM
()
uuur uuur uuur uuur 解析：对于 A 有 AB＋BC ＋CD＝ AD；
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， uuur uuur uuur uuur
∴ DE ＝ EA， BF ＝FC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ∴ EF ＋ EF ＝ EA＋ AO＋OB＋ BF ＋ EA＋ AO＋OB＋ BF
如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据
平行四边形法则可得：b－c＝
uuur EO
，a＋d＝
uuur OF
.
[研一题] uuur uuur uuur uuur [例 2] 化简：( AB－CD)－( AC －BD)＝________.
uuur uuur uuur uuur [自主解答] 法一：( AB－CD)－( AC －BD)
uuur
又 AC ＝c，所以延长 AC 到点 E，
uuur uuur 使|CE |＝| AC |，
uuur 则 AE ＝a＋b＋c，
uuur 且| AE |＝2 2.
uuur uuur (2)作 BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
uuur uuur ∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB|＝2，
uuur 为 AD. 答案：D
[研一题] [例3] 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为
10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对
岸，求船行进的方向．
[自主解答] 作出图形，如图．
船速 v 船与岸的方向成 α 角，由图可知 v 水
＋v 船＝v 实际，结合已知条件，
四边形 ABCD 为平行四边形， uuur uuur
uuur uuur uuur uuur ＝ AB－CD－ AC ＋BD
uuur uuur uuur uuur ＝( AB－ AC )＋( DC － DB)
uur uuur ＝CB＋ BC ＝0. 法三：设 O 为平面内任意一点，则有 uuur uuur uuur uuur ( AB－CD)－( AC －BD)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ＝ DE ＋ AO＋OB＋FC ＋ EA＋ AO＋OB＋BF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ＝( AO＋OB)＋( DA＋ AO＋OB＋BC )
uuur uuur uuur ＝ AB＋( DO＋OC )
则
则 向量加法的 三角形 法则．
对于零向量与任一向量 a 的和有
a＋0＝ 0＋a ＝ a
向 平 以同一点 O 为起点的两个已知向量
量 求 和
行 四 边
a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线
uuur OC
就是 a 与 b 的和．这种作两个向量
的 法
形 法
和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
2.2
第
二平
章
面 向
平
量 的
面线
向性
量运
算
2.2.1 ～
2.2.2
向量 加法 运算 及其 几何 意义
向量 减法 运算 及其 几何 意义
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读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 解题高手 NO.1课堂强化
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[读教材·填要点] 1．向量加法的定义
5．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋( －b )，即减去一个
向量相当于加上这个向量的 相反向量 ．
uur (2)几何意义：以 O 为起点，作向量OA＝a，
uuur
uur
OB＝b，则 BA
＝a－b，如图所示，即 a－b 可表示从向量b的
终点 指向向量a的终点 的向量．
[小问题·大思维] 1．任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行 四边形法则进行？ 提示：不一定．当两向量共线时，不能用平行四边形法 则，只能用三角形法则． 2．若a＋b＝c＋d则a－c＝d－b成立吗？ 提示：成立．移项法则对向量等式适用．
uuur uuur uuur uuur ＝ AB－CD－ AC ＋BD
uuur uuur uur uuur ＝ AB＋ DC ＋CA＋BD
uuur uuur uuur uur ＝( AB＋ BD)＋( DC ＋CA)
uuur uuur ＝ AD＋ DA＝0.
uuur uuur uuur uuur 法二：( AB－CD)－( AC －BD)
所以 EF ＝ BF ＋ AB＋ EA.
②
①＋②，得 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur EF ＋ EF ＝CF ＋ DC ＋ ED＋ BF ＋ AB＋ EA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ＝(CF ＋ BF )＋( ED＋ EA)＋( AB＋ DC )．
则则
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) ．
4．相反向量 与a 长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量，记
作 －a .
(1)规定：零向量的相反向量仍是 零向量 ；
(2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝ 0 ； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a，a＋b＝0 .
[研一题]
[例 1] 如图，已知正方形 ABCD 的边长
uuur
uuur
uuur
等于 1， AB＝a，BC ＝b， AC ＝c，
试作以下向量并分别求其模．
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
uuur uuur [自主解答] (1)如图，由已知 a＋b＝ AB＋ BC
uuur ＝ AC ，
uuur
OB＝10 3，
则 AB＝20，∠ABO＝30°.
易知向南偏西 30°行走 20 km. 答案：A
已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，
uuur uuur uuur uuur 求证： EF ＋ EF ＝ AB＋ DC .
uuur [证明] 法一：如图，在四边形 CDEF 中，EF