(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3

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第三章 导数及其应用
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(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大 值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
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2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
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(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29.
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x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大 值4
极小 极大 值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5
当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4.
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[问题1] 这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小 值吗？
[提示1] 能． [问题2] 若y＝h(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲 线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？ [提示2] 不能．
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方法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3 ∴f′(x)＝－4x3＋4x， 令 f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0. 解得：x＝－1 或 x＝0 或 x＝1. 又 f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5. 所以当 x＝－3 时，f(x)有最小值－60. 当 x＝±1 时，f(x)有最大值 4.
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2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37， 求a的值并求f(x)在[－2,2]上的最大值．
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解析： f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
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3.3.3 函数的最大(小)值与导数
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2．当函数f(x)不单调时： (1)求y＝f(x)在(a，b)内的_极__值； (2)将y＝f(x)的各__极__值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值．
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第三章 导数及其应用
所以令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)若 a>0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
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上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3. 又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)>f(2)， 所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝ 2.
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3．f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
解析： f′(x)＝1－1x，令 f′(x)＝0，得 x＝1，当 0<x<1 时， f′(x)<0；当 1<x≤e 时，f′(x)>0，所以最小值为 f(1)＝1.
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又 f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故 f(2)>f(－1)． 所以当 x＝2 时，f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，a＝－2. 综上所述，所求 a，b 的值为ab＝ ＝22， 或ab＝ ＝－ －22， 9.
答案： 1
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4．已知函数 f(x)＝13x3－4x＋4. (1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析： (1)f′(x)＝x2－4，解方程 x2－4＝0， 得 x1＝－2，x2＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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1．能够区分极值与最值两个不同的概念． 2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次)的求法．
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假设函数y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象 都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图象，你认为此 类函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？最大值及最 小值与极值有什么关系？如何求函数的最值？
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(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7， f(4)＝13×43－4×4＋4＝238， 与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是238，最小值 是－43.
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对函数最值的理解 (1)在开区间(a，b)上，图象是一条连续不断的曲线的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值．如函数 f(x)＝1x在(0，＋∞)内没有最 大值也没有最小值； (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的 极值是比较极值点附近的函数值得出的．
1
(1,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－1
极小值－3
17
因此 f(x)在区间[0,3]的最大值为 17，最小值为－3.
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已知函数的最值求参数
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3， 最小值－29，求a，b的值．
B．－71
C．－15
D．－22
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解析： f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由f′(x)＝0得x＝3，－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71. 答案： B
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x
(－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
28 3
－43
从上表可看出，当 x＝－2 时，函数有极大值，且极大值为238；
而当 x＝2 时，函数有极小值，且极小值为－43.
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由函数的最值来确定参数的问题是利用导数 求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含 参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的 应用．
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1．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是
[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个
最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最
[思路点拨] 根据导数与单调性，导数与最值之间的关系 求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对 参数的取值情况进行讨论．
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解析： 依题意，显然 a≠0.
因为 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，
值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内
连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
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解析：
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① × 当函数在闭区间上的端点处取得最值 ② × 时，其最值一定不是极值
令 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
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函数最值的求法
求函数f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行： 1 ． 当 函 数 f(x) 单 调 时 ： 若 函 数 y ＝ f(x) 在 [a ， b] 上 单 调 递 增，则f(a)为函数的_最__小__值___，f(b)为函数的__最__大__值__；若函数 y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的_最__大__值__，f(b)为函 数的__最__小__值___．
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1．求函数f(x)＝x3－3x－1在区间[0,3]上的最大值、最小
值．
解析： f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)令f′(x)＝0得x1＝1， x2＝－1，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
0 (0,1)
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求解函数在闭区间上的最值． 在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数 值； (3)比较极值与区间端点函数值的大小．
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求函数的最值
求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值． [思路点拨] 方法一： 求f′x
→ 令f′x＝0得到相应的x的值 → 列表 → 确定极学习 新知突破
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函数的最大值与最小值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的 曲线，则该函数在[a，b]上一定有_最__大__值__和__最__小__值__，函数的 最值必在极值点或区间端点处取得．
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比较大小 → 求极值与端点处的函数值 → 确定最值
比较极值与端点值 方法二： 求f′x → 求极值点 → 的大小确定最值
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方法一：f′(x)＝－4x3＋4x， 即f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：