信息学奥赛一本通（提高组）

信息学奥赛⼀本通（提⾼组）
⼀、贪⼼算法
选择不相交区间问题：给定n个开区间，选择尽量多个区间，是得这些区间两两没有公共点。

（例：活动安排）
按照结束时间由⼩到⼤的顺序排列，依次考虑各个活动，如果没有和已经选择的活动冲突，就选；否则就不选。

区间选点问题：给定n个闭区间，在数轴上选尽量少的点，是得每个区间内都⾄少有⼀个点（不同区间内含的点可以是同⼀个）。

（例：种树）
⾸先按照区间的结束位置从⼩到⼤排列。

然后在区间中进⾏选择：对于当前区间，若集合中的点不能覆盖它，则将区间末尾的数加⼊集合。

贪⼼策略：取最后⼀个。

区间覆盖问题：给定n隔壁区间，选择尽量少的区间覆盖⼀条指定的线段区间。

（例：喷⽔装置）
将所有区间按照左端点由⼩到⼤排序，依次处理每个区间。

每次选择覆盖点s的区间中右端点坐标中最⼤的⼀个，并将s更新为该区间的右端点坐标，直到选择的区间包含t。

贪⼼策略：在某时刻的s，找出⼀个满⾜a[i]<=s的b[i]最⼤值即可。

流⽔作业调度问题：n作业，两机器，先a后b，求总时间最短。

（例：加⼯⽣产调度）
直观：让a没有空闲，让b空的少
Johnson算法：对于a<b的集合，按s⾮减序排列；对于a>=b的集合，按照b⾮升序排列
带期限和罚款的单位时间任务调度：n任务，每个都能在单位时间内完成，每个都有对应的完成期限及完成不了的罚款数额，确定执⾏顺序使罚款最少。

（例：智⼒⼤冲浪）
按照罚款数额由⼤到⼩排序，然后依次进⾏安排。

安排规则为：使处理当前任务的时间在既在期限之内，⼜尽量靠后，如果都已经排满，则放弃处理并扔在最后.
⼆、⼆分（单调性）与三分（单峰性）
⼆分的边界问题：
⼆分常见模型：⼆分答案（将最优化问题转为判定性问题），⼆分查找（求解分界点），代替三分（⼆分导函数求极值，定义域通常定为整数域）。

三分：任取两点判断好坏不断缩⼩区间。

三，搜索
dfs的优化技巧：优化搜索顺序（对象），排除等效冗余，可⾏性剪枝（上下界剪枝），最优性剪枝，记忆化。

例：数的划分，⽣⽇蛋糕，⼩⽊棍，weight，Addition Chains。

双向bfs等
四、图论
最⼩⽣成树：
prim适⽤于疏密图，kruskal使⽤于稀疏图。

例：北极通讯⽹络。

⼀些相关拓展：最短路径⽣成树（例，），次⼩⽣成树，严格次⼩⽣成树
最⼩环问题：
对于⽆向图，考虑Floyd，枚举与k相邻的两个点求解最⼩值。

对于有向图，考虑dijkstra，从1到n中枚举s，s是堆中第⼀个取出的结点，扫描所有出边，更新完成后使d[s]为⽆穷⼤，当s第⼆次被取出时，d[s]即为所求。

最短路：
Floyd：可处理⽆向与有向图，边权可正可负，不能有负环。

可求解最⼩环。

每对点之间。

（堆优化）：处理⾮负边权。

单源。

Bellman-Ford：单源，可解决负边权
（队列优化的Bellman-Ford）：可判断，稀疏图上效率较⾼，稠密图易退化，输出路径可⽤数组记录（注意倒序输出）。

最短路计数问题：在所使⽤的求最短路的⽅法中加上计数操作即可。

差分约束:可转换为有向图的路径问题，例题详见博客，感觉差分约束还是⽐较容易看出来的
强连通分量:使⽤tarjan算法，⽤途：有向图的，解决2-SAT问题
割点和桥
欧拉回路
五、字符串
：双哈希（选取孪⽣质数），⾃然溢出；
：线性，单模式串匹配，
AC⾃动机：trie上的kmp，多模式串匹配
（马拉车）算法：判断回⽂串
六，数据结构
树状数组
RMQ问题：，以及与线段树的
及其拓展:
倍增求LCA：orzzz，处理数组时注意从前或者从后处理，基本不会单独考出来，⼀般在树上跑倍增qwq
树链剖分（再说）
平衡树（Treap）（再说）
七、动态规划
区间dp:分解合并求解，阶段特征明显，类似分治，f[i,j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+决策），k为划分点
树形dp：基本模型都是⼀棵树或者森林。

仔细考虑每个节点有什么状态，这些节点的状态与⽗节点⼦节点的状态都有什么联系，也就是如何由⼦结点的最优值推出⽗结点的最优值。

经典问题：树的重⼼：以重⼼为根的有根树的最⼤⼦树的结点数最⼩。

树的最长路径（最远点对)：找到距离最远的两个结点。

树的中⼼问题：中⼼到树中的其他结点的最远距离最近。

普通树形dp：考虑状态，取或不取。

⼀些类型：由根分成左⼦树和右⼦树两部分：考虑左⼦树为空，右⼦树为空，左右⼦树都⾮空三种情况
背包类树形dp：⼀般以结点编号作为树形dp，“体积”作为第⼆维状态
求树的最长链问题：对于每个结点i记录以i为根的⼦树到叶节点的最⼤距离及次⼤距离，不断更新，最后相加取最⼤值
求树的最⼤独⽴集：考虑每种状态下的策略问题，从⽽推出转移⽅程
普通树的dp：依旧是考虑每个节点的状态，考虑该状态下的策略
数位dp
状压dp
单调队列优化dp
斜率优化dp
⼋、数学基础
快速幂:连续分解
质数：算术基本定理，质数分布定理，质数判定及筛法，质因数分解
约数：求1~n每个数的正约数集合（）
同余问题
矩阵乘法
组合数学
博弈论。