2016届高考数学理命题猜想专题18统计与统计案例(解析版)

【命题热点突破一】抽样方法
某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样法，设甲产品中应抽取的产品件数为x ，某件产品A 被抽到的概率为y ，则x ，y 的值分别为( )
A ．25，14
B ．20，1
6 C ．25，1600 D ．25，1
6 【【答案】】D
【特别提醒】 三种抽样方法均是等概率抽样，当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．【变式探究】
从编号分别为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
【【答案】】74
【【解析】】每8件产品抽取一件，编号为58的产品在样本中，则样本中产品的最大编号为58＋16＝74.
【命题热点突破二】用样本估计总体
(1)将某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图18-3所示)，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
图18-3
A ．91，91.5
B ．91，92
C ．91.5，91.5
D ．91.5，92
(2)2014年6月，一篇关于“键盘侠”(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)的时评引发了大家对“键盘侠”的热议．某地区新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可度做出调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有9600人，则估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有
________人．
【【答案】】（1）C（2）6912
【特别提醒】统计的基本思想之一就是以样本估计总体．以样本的频率估计总体的概率、以样本的特征数估计总体的特征数．
【变式探究】
(1)某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出的频率分布直方图如图18-4所示，则原始的茎叶图可能是()
图18-5
(2)高三年级上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图18-6所示，数据分组依次如下：
[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]．
估计该班数学成绩的平均分数为()
图18-6
A．112
B．114
C．116
D．120
【【答案】】（1）B（2）B
【命题热点突破三】统计案例
例3、某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均参加体育运动时间情况，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均参加体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少名女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均参加体育运动时间的频率分布直方图(如图18-7所示)，其中样本数据分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均参加体育运动时间超过4个小时的概率．
(3)在样本数据中，有60名女生每周平均参加体育运动的时间超过4个小时，请画出每周平均参加体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”．
附：K2＝
n（ad－bc）
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
结合列联表可得K 2
的观测值k ＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝100
21≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”.
【特别提醒】 在计算K 2时要注意公式中各个字母的含义，分子上是总量乘2×2列联表中对角线数字乘积之差的平方，分母上是四个分和量的乘积．
【变式探究】
为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系.
(1)求小李这5天的平均投篮命中率；
(2)用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率． 解：（1）小李这5天的平均投篮命中率y －＝ 0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4
5
＝0.5.
（2）易知x －＝1＋2＋3＋4＋5
5
＝3， 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则由公式可得b ^＝
＝
（－2）×（－0.1）＋（－1）×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×（－0.1）
（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22＝0.01，
所以a ^＝y －－b ^x －
＝0.5－0.01×3＝0.47， 所以y ^＝b ^x ＋a ^
＝0.01x ＋0.47.
当x ＝6时，y ^
＝0.53，故小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
【特别提醒】 回归直线一定过样本点的中心(x ，y)，当已知回归直线方程两个系数中的一个时，可以直接代入样本点中心的坐标求得另一个系数．正相关和负相关是根据回归直线方程的斜率判断的：正相关时回归直线方程的斜率为正值；负相关时回归直线方程的斜率为负值．回归直线方程斜率的符号与相关系数的符号是一致的．
【高考真题解读】
1．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A ．167
B ．137
C ．123
D ．93
【答案】 B
2．(2015·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )
A ．8
B ．15
C ．16
D ．32 【答案】 C
【解析】 法一 由题意知，x 1＋x 2＋…＋x 10＝10x ，
s 1
则y ＝1
n [(2x 1－1)＋(2x 2－1)＋…＋(2x 10－1)] ＝1
n
[2(x 1＋x 2＋…＋x 10)－n]＝2x －1，
所以S 2
＝＝2s 1，故选C.
3．(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是( )
0122
8 9 2 5 8
0 0 0
3 3 8 1 2
A ．19
B ．20
C ．21.5
D ．23
【答案】 B
4
．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】 D
【解析】从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.
5．(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y
∧
＝b
∧
x＋a
∧
，其中b
∧
＝0.76，a
∧
＝y－b
∧
x．据此估计，该社
区一户年收入为15万元家庭的年支出为()
A．11.4万元B．11.8万元
C．12.0万元D．12.2万元
【答案】B
6．(2014·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()
A ．6
B ．8
C ．12
D ．18 【答案】 C
【解析】 由题图可知，第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有20
0.40＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.
7．(2014·陕西，9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a(a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )
A ．1＋a ，4
B ．1＋a ，4＋a
C ．1，4
D ．1，4＋a
【答案】 A
8
．(2014·湖南，2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2<p 3
B ．p 2＝p 3<p 1
C ．p 1＝p 3<p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
【答案】 D
【解析】 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.
9．(2014·广东，6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该
地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(
)
A ．200，20
B ．100，20
C ．200，10
D ．100，10
【答案】
A
1
0．(2014·天津，9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
【答案】 60
【解析】 4
20×300＝60(名)．
11．(2015·江苏，2)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 【答案】 6
【解析】 这组数据的平均数为1
6(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.
12．(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：
13
14
15
0 0 3 4 5 6 6 8 8 9
1 1 1
2 2 2
3 3
4 4
5 5 5
6 6
7
8 0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成
绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．
【答案】 4
1 3．(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62738192958574645376
78869566977888827689
B地区：73836251914653736482
93486581745654766579
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．
由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(C A1)＝1620，P(C A2)
＝420，P(C B1)＝1020，
P(C B2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.。