清华大学计算固体力学第九次课件_梁和壳
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M vx ,y
1 M D v 0 xy x ,y 2
上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之间的夹角 没有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为
M M v x , y , t v x , t yv x , t x x y , x
变形率给出为
变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为横行剪切。 由于梁内的变形率是有限的，非独立变量 v iM 和 只 要求 C0 连续，位移（挠度）和截面转动各自独立，使截面发生 剪切变形后保持平面。
2 梁理论
Euler-Bernoulli理论
运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速 度是由中线的斜率的变化率给出
M M D v yv , D 0 , D 0 xx x , x y , xx yy xy
注意在上式中的两个特征： 1）横向剪切为零； 2）在变形率的表达式中出现了速度的二阶导数，梁内的变形率 是有限的，即非独立变量的速度场必须为C1连续。
2 梁理论
Euler-Bernoulli理论
2 梁理论
横向剪切在厚梁中是明显的，在 Timoshenko 梁和 Mindlin 壳 中常常应用。当梁趋于薄梁时，Timoshenko梁中的横向剪切在理 想性能单元情况将趋于零。因此，在数值结果中也观察到了垂直 假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。 这些假设主要是以实验为依据的：这一理论预测与实验测量 相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。
主控节点
3 基于连续体的梁－CB梁
假设：
1 2 3 纤维保持直线； 横向正应力忽略不计，即平面应力条件 纤维不伸缩。
yy0 ；
第一个假设与经典的 Mindlin-Reissner 假设中要求法线保持 直线是不同的，纤维可以不垂直于中线，称其为修正的M-R假设。 如果 CB 梁单元近似地为 Timoshenko 梁，其纤维方向尽可能地 接近中线的法线方向是必要的，通过指定从属节点的初始位置可 以 实 现 这 一 点 。 否 则 ， CB 梁 单 元 的 行 为 将 从 根 本 上 偏 离 Timoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。
E-B梁理论常称为C1 理论，因为它要求C1 近似。转角由位移 对坐标的导数给出 ( 区别于 Tim 梁位移与转角相对独立 ) 。梁单元 常常是基于E-B理论，在一维情况下，C1 插值是很容易构造的。 E-B梁理论要求C1 近似是E-B和Kirchhoff-Love理论的最大缺 陷，在多维空间中C1 近似是很难构造的。由于这个原因，在软件 中除了针对梁之外很少应用C1 构造理论。 Timoshenko 梁有两个非独立变量 ( 未知 ) ，在 E-B 梁中只有一 个非独立变量。类似的简化发生在相应的壳理论中：在 Kirchhoff-Love 壳 理 论 中 只 有 3 个 非 独 立 变 量 ， 而 在 MindlinReissner壳理论中有5个非独立变量（经常应用6个）。
它带来的好处是在有限元程序中，用中厚壳代替薄壳，用铁 摩钦柯梁代替伯努利梁。
3 基于连续体的梁－CB梁
为什么要建立CB梁和CB壳：
1 梁与板壳组合的偏置(offset) 2 接触问题的处理 3 边界条件的处理 通过指定一个偏置量，可以引入偏置。偏置量定义为从壳的 中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。
3 基于连续体的梁－CB梁
运动：通过主控节点的平移x(t), y(t)和节点方向矢量的旋转描述 运动 I (t ) 从x 轴逆时针旋转的转角为正 通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动
x , t x t N , x t N , x t N , * * I I I I I I
I 1 I 1 * I 1
n N
n N
2 n N
连续体的标准形函数（在节点指标中*代表上节点＋或下节点－） 为了使上面的运动与修正的 M-R假设相一致，基本连续体单元 的形函数在 方向必须是线性的。因此，母单元在该方向只 有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为
v ω r PC
2 梁理论
Timoshenko梁理论
在二维问题中，角速度的非零分量是z 分量，所以
.
ω θ e ω e z z
法线的角速率
v ω r PC
r ye y
e e e z y x
相对速度为
v ω r y e PC x
中线上任何一点的速度是 x 和时间 t 的函数，因此有
在 方向的运动一定是线性的。这些节点称为从属节点
主控节点
为常数的线称为纤维，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量
为常数的线称为迭层
3 基于连续体的梁－CB梁
在纤维将从属节点与参考线连接的内部截面上，引入主控节 点，其自由度描述了梁的运动。以主控节点的广义力和速度建立 运动方程。在一条纤维上，每一主控节点联系一对从属节点，三 点共线。 从属节点
M M M v ( x , t ) v e v x x ye y
即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和
M M M v v ω r v y e v e x x y y
M M v x , y , t v x , t y x , t , v x , y , t v x , t x x y y
梁作为壳单元的加强部件：（a）梁截面无偏置 （b）梁截面有偏置
3 基于连续体的梁－CB梁
建立 CB 二维梁的公式，结构的控制方程与连续体 的控制方程是一致的：
质量守恒 线动量和角动量守恒 能量守恒 本构方程 应变-位移方程
3 基于连续体的梁－CB梁
右为CB梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，
2 梁理论
Timoshenko梁理论
应用变形率的定义
D sym( v ij i,j )
M M v x , y , t v x , t y x , t , v x , y , t v x , t x x y y
1 M M D v y , , D 0 , D xxx , x x yy xy v x ,wenku.baidu.comy 2
1 引言
结构单元可以分类为： 梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述； 壳，运动由包含两个独立变量的函数描述； 板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载； 膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。
实体单元
壳单元
梁单元
刚体单元
膜单元
无限单元
弹簧和粘壶
桁架单元
1 引言
在工程构件和结构的模拟中，梁和壳及其他结构单元是极为有 用的。应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向 舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。 用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单 元模拟一根梁沿厚度方向至少需要5个单元，而既便采用低阶的壳单 元也能够代替5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。 应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降 低了方程的适应条件和解答的精度。 在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结 构被限制在非常小的时间步。
描述应用在显式程序中的4节点四边形壳单元－一点积分单元。 这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。
2 梁理论
当结构一个方向的尺度 (长度)明显大于其它两个方向的尺 度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟。梁 理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而 这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数。应用梁理论获得 可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的 1/10。 典型的轴向尺度为： • 支承点之间的距离； • 横截面发生显著变化部分之间的距离； • 所关注的最高阶振型的波长。 梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面。不 要误解横截面的尺度必须小于典型单元长度 1/10的提法。高度 精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元 ( 尽管 一般不建议这样做)，在这种情况下实体单元可能更适合。
v , t v t N , v t N , v t N , * * I I I I I I
I 1 I 1 * I 1
n N
n N
2 n N
3 基于连续体的梁－CB梁
3 基于连续体的梁－CB梁
假设：1 纤维保持直线； 0； 2 横向正应力忽略不计，即平面应力条件 yy 3 纤维不伸缩。 注意到纤维的不可伸缩仅适用于运动学描述，不适用于动力学 描述。不可伸缩性与平面应力的假设相矛盾：纤维通常接近于y方向， 0 如果 ，则必须考虑速度应变 Dyy 。 yy 通过不使用运动，而是由本构方程来计算 Dyy ，消除了这种 矛盾。令 ，由 Dyy 计算沿厚度方向的变化。这等价于 0 yy 由物质守恒获得厚度，因为平面应力的本构方程与物质守恒有关。 然后修正节点内力以反映沿厚度方向的变化。这样，不可伸缩性的 假设仅仅适用于运动。
1 引言
1 2 通过两种途径建立壳体有限元： 应用经典壳方程的动量平衡(或平衡)的弱形式； 结构的假设直接由连续体单元建立－基于连续体(CB)方法。
第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性 壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通 常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加 强件的变量一般也是难以组合。而且对于什么是最佳的非线性壳方 程的观点也不一致。 第二种CB方法(基于连续体)是直观的，得到非常好的解答，它 适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中。因 此，我们将关注CB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。
运动
在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的M-R假设
2 梁理论
梁理论的假设
运动学假设关注梁的中线 (也称为参考线 )的运动。由垂 直于中线定义的平面称之为法平面。
梁横截面几何形状
2 梁理论
梁理论的假设
广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是： Euler-Bernoulli梁：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程 梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。 Timoshenko 梁 ：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向； 称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。 考虑一点 P 的运动，它在中线上的正交投影为点 C 。如果法平 面转动视为一个刚体，则P点的速度相对于C点的速度给出为
计算固体力学
非线性有限元
第9章 梁和壳
第9章 梁和壳
1 2 3 4 5 6 7 8 9
引言 梁理论 基于连续体的梁－CB梁 CB梁的分析 基于连续体的壳－CB壳 CB壳理论 剪切和膜自锁 假设应变单元 一点积分单元
1 引言
第 8 章介绍了 平面单元 ( 二 维 ) 和实体单 元(三维)
在二维问题中，最经常应用的低阶单元是 3 节点三 角形和4节点四边形。在三维单元中，是4节点四面体和 8节点六面体单元。
1 引言
在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或者动 量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。 在CB方法中，在连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运动 假设。因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，CB壳方法更加直 观。在关于壳的CB方法中，由两种途径强化运动假设： 1）在连续体运动的弱形式中，或者 2）在连续体的离散方程。 由二维梁描述CB方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验 CB梁单元。建立 CB壳单元，编程，发展CB壳理论，结合由于大变形 在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。 CB壳单元的两点不足：剪切和膜自锁。将描述假设应变场的方 法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。
1 M D v 0 xy x ,y 2
上式等价于要求剪切分量为零，表示在法线和中线之间的夹角 没有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为
M M v x , y , t v x , t yv x , t x x y , x
变形率给出为
变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为横行剪切。 由于梁内的变形率是有限的，非独立变量 v iM 和 只 要求 C0 连续，位移（挠度）和截面转动各自独立，使截面发生 剪切变形后保持平面。
2 梁理论
Euler-Bernoulli理论
运动学假设是法平面保持平面和法向，因此，法线的角速 度是由中线的斜率的变化率给出
M M D v yv , D 0 , D 0 xx x , x y , xx yy xy
注意在上式中的两个特征： 1）横向剪切为零； 2）在变形率的表达式中出现了速度的二阶导数，梁内的变形率 是有限的，即非独立变量的速度场必须为C1连续。
2 梁理论
Euler-Bernoulli理论
2 梁理论
横向剪切在厚梁中是明显的，在 Timoshenko 梁和 Mindlin 壳 中常常应用。当梁趋于薄梁时，Timoshenko梁中的横向剪切在理 想性能单元情况将趋于零。因此，在数值结果中也观察到了垂直 假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。 这些假设主要是以实验为依据的：这一理论预测与实验测量 相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。
主控节点
3 基于连续体的梁－CB梁
假设：
1 2 3 纤维保持直线； 横向正应力忽略不计，即平面应力条件 纤维不伸缩。
yy0 ；
第一个假设与经典的 Mindlin-Reissner 假设中要求法线保持 直线是不同的，纤维可以不垂直于中线，称其为修正的M-R假设。 如果 CB 梁单元近似地为 Timoshenko 梁，其纤维方向尽可能地 接近中线的法线方向是必要的，通过指定从属节点的初始位置可 以 实 现 这 一 点 。 否 则 ， CB 梁 单 元 的 行 为 将 从 根 本 上 偏 离 Timoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。
E-B梁理论常称为C1 理论，因为它要求C1 近似。转角由位移 对坐标的导数给出 ( 区别于 Tim 梁位移与转角相对独立 ) 。梁单元 常常是基于E-B理论，在一维情况下，C1 插值是很容易构造的。 E-B梁理论要求C1 近似是E-B和Kirchhoff-Love理论的最大缺 陷，在多维空间中C1 近似是很难构造的。由于这个原因，在软件 中除了针对梁之外很少应用C1 构造理论。 Timoshenko 梁有两个非独立变量 ( 未知 ) ，在 E-B 梁中只有一 个非独立变量。类似的简化发生在相应的壳理论中：在 Kirchhoff-Love 壳 理 论 中 只 有 3 个 非 独 立 变 量 ， 而 在 MindlinReissner壳理论中有5个非独立变量（经常应用6个）。
它带来的好处是在有限元程序中，用中厚壳代替薄壳，用铁 摩钦柯梁代替伯努利梁。
3 基于连续体的梁－CB梁
为什么要建立CB梁和CB壳：
1 梁与板壳组合的偏置(offset) 2 接触问题的处理 3 边界条件的处理 通过指定一个偏置量，可以引入偏置。偏置量定义为从壳的 中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。
3 基于连续体的梁－CB梁
运动：通过主控节点的平移x(t), y(t)和节点方向矢量的旋转描述 运动 I (t ) 从x 轴逆时针旋转的转角为正 通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动
x , t x t N , x t N , x t N , * * I I I I I I
I 1 I 1 * I 1
n N
n N
2 n N
连续体的标准形函数（在节点指标中*代表上节点＋或下节点－） 为了使上面的运动与修正的 M-R假设相一致，基本连续体单元 的形函数在 方向必须是线性的。因此，母单元在该方向只 有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为
v ω r PC
2 梁理论
Timoshenko梁理论
在二维问题中，角速度的非零分量是z 分量，所以
.
ω θ e ω e z z
法线的角速率
v ω r PC
r ye y
e e e z y x
相对速度为
v ω r y e PC x
中线上任何一点的速度是 x 和时间 t 的函数，因此有
在 方向的运动一定是线性的。这些节点称为从属节点
主控节点
为常数的线称为纤维，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量
为常数的线称为迭层
3 基于连续体的梁－CB梁
在纤维将从属节点与参考线连接的内部截面上，引入主控节 点，其自由度描述了梁的运动。以主控节点的广义力和速度建立 运动方程。在一条纤维上，每一主控节点联系一对从属节点，三 点共线。 从属节点
M M M v ( x , t ) v e v x x ye y
即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和
M M M v v ω r v y e v e x x y y
M M v x , y , t v x , t y x , t , v x , y , t v x , t x x y y
梁作为壳单元的加强部件：（a）梁截面无偏置 （b）梁截面有偏置
3 基于连续体的梁－CB梁
建立 CB 二维梁的公式，结构的控制方程与连续体 的控制方程是一致的：
质量守恒 线动量和角动量守恒 能量守恒 本构方程 应变-位移方程
3 基于连续体的梁－CB梁
右为CB梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，
2 梁理论
Timoshenko梁理论
应用变形率的定义
D sym( v ij i,j )
M M v x , y , t v x , t y x , t , v x , y , t v x , t x x y y
1 M M D v y , , D 0 , D xxx , x x yy xy v x ,wenku.baidu.comy 2
1 引言
结构单元可以分类为： 梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述； 壳，运动由包含两个独立变量的函数描述； 板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载； 膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。
实体单元
壳单元
梁单元
刚体单元
膜单元
无限单元
弹簧和粘壶
桁架单元
1 引言
在工程构件和结构的模拟中，梁和壳及其他结构单元是极为有 用的。应用薄壳，如汽车中的金属薄板，飞机的机舱、机翼和风向 舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。 用连续体单元模拟这些构件需要大量的单元，如采用六面体单 元模拟一根梁沿厚度方向至少需要5个单元，而既便采用低阶的壳单 元也能够代替5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。 应用连续体单元模拟薄壁结构常常导致较高的宽厚比，从而降 低了方程的适应条件和解答的精度。 在显式方法中，根据稳定性的要求，采用连续体单元的薄壁结 构被限制在非常小的时间步。
描述应用在显式程序中的4节点四边形壳单元－一点积分单元。 这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。
2 梁理论
当结构一个方向的尺度 (长度)明显大于其它两个方向的尺 度，并且沿长度方向的应力最重要时，可以用梁单元模拟。梁 理论的基本假设是：由一组变量可以完全确定结构的变形，而 这组变量只是沿着结构长度方向位置的函数。应用梁理论获得 可接受的结果，横截面尺度必须小于结构典型轴向尺度的 1/10。 典型的轴向尺度为： • 支承点之间的距离； • 横截面发生显著变化部分之间的距离； • 所关注的最高阶振型的波长。 梁单元假设在变形中垂直于梁轴线的横截面保持平面。不 要误解横截面的尺度必须小于典型单元长度 1/10的提法。高度 精细的网格中可能包含长度小于其横截面尺寸的梁单元 ( 尽管 一般不建议这样做)，在这种情况下实体单元可能更适合。
v , t v t N , v t N , v t N , * * I I I I I I
I 1 I 1 * I 1
n N
n N
2 n N
3 基于连续体的梁－CB梁
3 基于连续体的梁－CB梁
假设：1 纤维保持直线； 0； 2 横向正应力忽略不计，即平面应力条件 yy 3 纤维不伸缩。 注意到纤维的不可伸缩仅适用于运动学描述，不适用于动力学 描述。不可伸缩性与平面应力的假设相矛盾：纤维通常接近于y方向， 0 如果 ，则必须考虑速度应变 Dyy 。 yy 通过不使用运动，而是由本构方程来计算 Dyy ，消除了这种 矛盾。令 ，由 Dyy 计算沿厚度方向的变化。这等价于 0 yy 由物质守恒获得厚度，因为平面应力的本构方程与物质守恒有关。 然后修正节点内力以反映沿厚度方向的变化。这样，不可伸缩性的 假设仅仅适用于运动。
1 引言
1 2 通过两种途径建立壳体有限元： 应用经典壳方程的动量平衡(或平衡)的弱形式； 结构的假设直接由连续体单元建立－基于连续体(CB)方法。
第一种途径是困难的，尤其是对于非线性壳，因为对于非线性 壳的控制方程是非常复杂的，处理起来相当不方便；它们的公式通 常由张量的曲线分量来表示，并且其特征，诸如厚度、连接件和加 强件的变量一般也是难以组合。而且对于什么是最佳的非线性壳方 程的观点也不一致。 第二种CB方法(基于连续体)是直观的，得到非常好的解答，它 适用于任意的大变形问题并被广泛地应用于商业软件和研究中。因 此，我们将关注CB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。
运动
在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的M-R假设
2 梁理论
梁理论的假设
运动学假设关注梁的中线 (也称为参考线 )的运动。由垂 直于中线定义的平面称之为法平面。
梁横截面几何形状
2 梁理论
梁理论的假设
广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是： Euler-Bernoulli梁：假设中线的法平面保持平面和法向；称为工程 梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。 Timoshenko 梁 ：假设中线的法平面保持平面，但不一定是法向； 称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。 考虑一点 P 的运动，它在中线上的正交投影为点 C 。如果法平 面转动视为一个刚体，则P点的速度相对于C点的速度给出为
计算固体力学
非线性有限元
第9章 梁和壳
第9章 梁和壳
1 2 3 4 5 6 7 8 9
引言 梁理论 基于连续体的梁－CB梁 CB梁的分析 基于连续体的壳－CB壳 CB壳理论 剪切和膜自锁 假设应变单元 一点积分单元
1 引言
第 8 章介绍了 平面单元 ( 二 维 ) 和实体单 元(三维)
在二维问题中，最经常应用的低阶单元是 3 节点三 角形和4节点四边形。在三维单元中，是4节点四面体和 8节点六面体单元。
1 引言
在大多数板壳理论中，通过强制引入运动假设建立平衡或者动 量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。 在CB方法中，在连续体弱形式的变分和试函数中强制引入运动 假设。因此，对于获得壳和其它结构的离散方程，CB壳方法更加直 观。在关于壳的CB方法中，由两种途径强化运动假设： 1）在连续体运动的弱形式中，或者 2）在连续体的离散方程。 由二维梁描述CB方法编程特点，应用第一种途径的理论，检验 CB梁单元。建立 CB壳单元，编程，发展CB壳理论，结合由于大变形 在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。 CB壳单元的两点不足：剪切和膜自锁。将描述假设应变场的方 法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。