上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)

上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．方程lg（3x+4）=1的解x=．
2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=．
3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为．
4．函数的反函数是．
5．6展开式中x3项的系数为（用数字作答）
6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．
7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）
8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}=（用列举法表示）
9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则
取值范围是．
10．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．
11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和
均由2个和2个排列而成，记
，那么S的所有可能取值中的最小值是（用
向量、表示）
=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n
+2
b n
﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数+1
次，则满足要求的b1的值为．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）
16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）
A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以
直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）
18．（14分）已知，，A、B、C是△ABC的内角；
（1）当时，求的值；
（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．19．（14分）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污
水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；
已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）
（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？
（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系
式，并求y的取值范围．
20．（16分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距
为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．
21．（18分）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n
，P n，
﹣1
设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k
，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；
﹣1
（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；
（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；
（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．
2017年上海市闵行区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．方程lg（3x+4）=1的解x=2．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据对数概念求解．
【解答】解：∵lg（3x+4）=1，
∴3x+4=10，x=2，
∵故答案为：2．
【点评】本题简单的考查了对数的概念，关键是把对数式化为指数式子，属于简单题目．
2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=5．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】求出a，b的值，从而求出a+b即可．
【解答】解：若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），
则a=1，b=4或a=4，b=1，
则a+b=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了不等式的解集问题，是一道基础题．
3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．
【分析】根据题意和公式，化简后求出数列的通项公式
【解答】解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，
又21﹣1=1，所以a n=2n﹣1，
故答案为：a n=2n﹣1．
【点评】本题考查了a n、S n的关系式：的应用，注意验证n=1是否成立．
4．函数的反函数是f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥0）．
【考点】反函数．
【分析】根据反函数的定义，求出x关系y的函数，把x与y互换，可得反函数的解析式．
【解答】解：函数，其定义域为{x|x≥0}．
解得：x=（y﹣1）2．
把x与y互换可得y=（x﹣1）2．
∴函数的反函数位：f﹣1（x）=（x﹣1）2．
故答案为：f﹣1（x）=（x﹣1）2．（x≥0）
【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．
5．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用通项公式即可得出．
==2r，令r=3，
【解答】解：通项公式T r
+1
可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数==160．
故答案为：160．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1
﹣ADE的体积为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知求出△DED1的面积，然后利用等体积法求得三棱锥D1﹣ADE的体积．
【解答】解：如图，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2，E为棱CC1的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，
再与“a“全排列，C53A44=240，
即含有“a”的共有240种．
故答案为240．
【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出要选出三个字母同所给的字母进行排列，本题是一个基础题．
8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， } （用列举法表示）【考点】三角方程．
【分析】由已知得，或，由此能求出结果．
【解答】解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，
∴，或，
∴cosx=或cosx=﹣，
∴x=或x=，
∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， }．
故答案为：{， }．
【点评】本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则
取值范围是[，] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】结合图形，将代入进行数量积的运算，并代入∠
BOP=60°﹣∠AOP 进行化简即可得出
，这样，根据0°
≤∠AOP ≤60°即可求出sin （∠AOP ﹣30°）的范围，即求出的取值范围．
【解答】解：
=
=cos ∠BOP ﹣cos ∠AOP
=cos （60°﹣∠AOP ）﹣cos ∠AOP
=
=
=sin （∠AOP ﹣30°）； 0°≤∠AOP ≤60°；
∴﹣30°≤∠AOP ﹣30°≤30°；
∴；
∴
的取值范围为
．
故答案为：[
]．
【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．
10．已知x 、y 满足曲线方程，则x 2+y 2的取值范围是 [，+∞） ．
【考点】基本不等式．
【分析】先求出y 2的范围，再令y 2=t ，t ≥，则f （t ）=2+t ﹣，根据函数的单调性即可求出范围．
【解答】解：
，则x 2+y 2=2﹣
+y 2，
∵
∴y2≥
设y2=t，t≥，
则f（t）=2+t﹣，
∴f′（t）=1+＞0，
∴f（t）在[，+∞）为增函数，
∴f（t）≥f（）=2+﹣2=，
故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），
故答案为：[，+∞）
【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．
11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和
均由2个和2个排列而成，记
，那么S的所有可能取值中的最小值是
（用向量、表示）
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．
【解答】解：根据条件得，S所有可能取值为：
，，
∴S的所有可能取值中的最小值为．
故答案为：．
【点评】考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．
=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n
+2
b n
+1
﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满
足b n
+1
﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，
，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，
【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，
∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，
∴a n=
∴b n
+1
﹣b n=a n=，
∴b2n
+2﹣b2n
+1
=a2n
+1
=1，b2n
+1
﹣b2n=a2n=2，
∴b2n
+2
﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3
∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，
b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n
﹣2
=3，b2﹣b1=1，
，，，，…，=b4n
﹣2
，，
∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，
∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1，
b4=b8=b12=…=b4n，
解得b8=b4=3，
b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，
故答案为：2
【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：由＞1，解得：0＜a＜1，
故“a＜1”是“”的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．
14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．
【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，
4a=0，并且a2﹣4=﹣4，
所以a=0；
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．
15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【分析】对a讨论，分a≤0，a＞0，可得a＞0成立，由|x2﹣a|=a，可得x=0或
±，由≥1，即可得到所求范围．
【解答】解：若a≤0，则f（x）=x2﹣a，
f（x）在[﹣1，1]的最大值为1﹣a，
即有1﹣a=a，可得a=，不成立；
则a＞0，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，
由图象结合在区间[﹣1，1]上的最大值是a，
可得≥1，解得a≥．
故选：C．
【点评】本题考查函数的最值的判断，考查分类讨论思想方法，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．
16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）
A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．
【解答】解：由于圆C2：x2+（y+r﹣）2=r2（r＞0）．圆心为（0，﹣r），在横轴上，半径等于r，
正弦曲线C1：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有交点．
但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．
故选D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）（2017•闵行区一模）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以
直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）
【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】（1）由圆锥的侧面积S
侧=πrl，能求出结果．
（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．
【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，
将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
4×π=8π．
∴圆锥的侧面积S
侧=πrl=2×
（2）取OB的中点E，连结DE、CE，
则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，
∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，
在Rt△DEC中，CE=，DE=，
tan=，
∴．
∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．
【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18．（14分）（2017•闵行区一模）已知，，A、B、C是△ABC的内角；
（1）当时，求的值；
（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由即可求出向量的坐标，从而得出的值；
（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而看出
A=时，取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．
【解答】解：（1）时，；
∴；
（2）
=
=；
取最大值时，；
又；
∴在△ABC中，由正弦定理得：；
即；
∴．
【点评】考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．
19．（14分）（2017•闵行区一模）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污
水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；
已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）
（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？
（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系
式，并求y的取值范围．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．
（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．
【解答】解：（1）分别单独建厂，
共需总费用：y1=25×30.7+25×50.7≈131.1万元．
（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）0.7+（0≤x≤20）
令h（x）=（0≤x≤20），
可得h2（x）=20+2=20+2∈[20，40]，
121.5≈25×≤y≤≈127.4，
y的取值范围：[121.5，127.4]．
【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
20．（16分）（2017•闵行区一模）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；
（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范
围；
（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称
【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，
∴双曲线Γ的方程=1；
（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0
∴x=﹣1或x2=，
∴Q（，），M（﹣，）
∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）
（3）由题意，k AP•k BP==4，
同理k AP•k OM=﹣4，
∴k OM+k BP=0，
设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，
∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．
21．（18分）（2017•闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n
，P n，设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，﹣1
记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k﹣1，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；
（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；
（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；
（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．【考点】数列与解析几何的综合．
【分析】（1）由已知得|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，，由此能示
出P1的坐标．
（2）求出p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．
（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2 +△x n，由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．
△x n
﹣1
【解答】解：（1）∵x k∈Z，y k∈Z，∴△x k，△y k∈Z，
又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，
∴，
∴x1=x0+△x1=0+1=1，
y1=y0+△y1=1+2=3，
∴P1的坐标为（1，3）．
（2）∵，
∴x n=x0+△x1+△x2+…+△x n=n，
又|△x k|•|△y k|=2，△x k=1，
∴△y k=±2，（k∈N*，k≤n），
∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，
{y k}（k∈N，k≤n）是增数列，
∴，
∴y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n=1+2n，
∴p n（n，1+2n），
将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，
解得n=9．
（3）∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，
∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，
设T n=x0+x1+x2+…+x n
=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△x n）
=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n
+△x n，
﹣1
∵n=2016是偶数，n＞100，
T n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n
+△x n≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，
﹣1
当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，
△y101=﹣1，…，△y n﹣1=1，△y n=﹣1，
△x1=△x2=△x3=…=△x n=2时，（取法不唯一）
（T n）max=n2+n，
∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．。