小学数学教师解题能力竞赛试题整理

小学数学教师解题能力竞赛试题整理
填空部分：
1、在1—100的自然数中，（）的约数个数最多。

2、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，这两个质数之和是（）。

3、在1～600这600个自然数中，能被3或5整除的数有（）个。

4、有42个苹果34个梨，平均分给若干人，结果多出4个梨，少3个苹果，则最多可以分给（）个人。

5、甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米环行跑道行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走50米，这二人最少用（）分钟再在A点相遇。

6、11时15分，时针和分针所夹的钝角是（）度。

7、一个涂满颜色的正方体，每面等距离切若干刀后，切成若干小正方体块，其中两面涂色的有60块，那么一面涂色的有（）块。

8、六一儿童节游艺活动中，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有（）人。

9、一批机器零件，甲队独做需11小时完成，乙队独做需13小时完成，现在甲、乙两队合做，由于两人合作时相互有些干扰，每小时两队共少做28个，结果用了6.25小时才完成。

这批零件共有（）个。

10、李然从常熟虞山下的言子墓以每分12米的速度跑上祖师山，然后以每分24米的速度原路返回，他往返平均每分行（）米。

11、常熟市乒乓比赛中，共有32位选手参加比赛，如果采用循环赛，一共要进行（）场比赛；如果采用淘汰赛，共要进行（）场比赛。

12、甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱合买一种英语本，买回后甲和乙都比丙多要6本，因此，甲、乙分别给丙1.5元钱，每本英语本（）元。

13、一个表面都涂上红色的正方体,最少要切（）刀,才能得到100个各面都不是红色的正方体。

14、果园收购一批苹果，按质量分为三等，最好的苹果为一等，每千克售价3.6元；其次是二等苹果，每千克售价2.8元；最次的是三等苹果每千克售价2.1元。

这三种苹果的数量之比为2：3：1。

若将这三种苹果混在一起出售，每千克定价（）元比较适宜。

15、在一次晚会上男宾与每一个人握手(但他的妻子除外),女宾不与女宾握手,如果有8对夫妻参加晚会,那么这16人共握手（）次。

16、百米赛跑，假定各自的速度不变，甲比乙早到5米，甲比丙早到10米。

那么乙比丙早到（）米。

17、一件工作，甲独干8天后，乙又独干13天，还剩下这件工作的1/6。

已知甲乙合干这件工作要12天，甲单独完成这件工作要（）天。

18、小华有2枚5分硬币，5枚2分硬币，10枚1分硬币，他要取出1角钱，共有（）种不同的取法。

19、一个正方体，它的表面积是20平方厘米，现在把它切割成8个完全相同的小正方体。

这些小正方体的表面积之和是（）。

20、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。

小明上学两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的3/2，那么上坡的速度是平路速度的（）。

21、9点整时，时针与分针组成的角是（）角，此后时针与分针再成这种角是9时（）分。

22、五（1）班全班45人选中队长，每人投一票，现已统计到李辰已得票16票，王莹得票18票，王莹至少再得（）票就能保证当选（得票多者当选）
23、自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数。

在这些和中，最小的是4，最大的是500，那么A＝（）
24、甲、乙、丙三个电台，分别有4、4、3人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话（）次。

25、如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：12345678910111213…996997998999。

那么在这个数里，从左到右的第2000个数字是( )。

解决问题部分：
1、六(1)班男、女人数之比为5：3。

体育课上，老师按每3个男生、2个女生分成一组进行游戏。

这样，当女生分完时男生还剩4人。

求这个班女生一共有多少人？
2、常熟市举行小学生“百科知识竞赛”，大约有381～450名学生参加，测试结果是全体学生的平均分是76分，男生平均分是79分，女生平均分是71分。

求参加测试的男生和女生至少各有多少人。

3、中国古代算书《张丘建算经》中有个“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只。

问鸡翁、母、雏各几何？
4、在AB一段公路上，甲骑自行车从A往B，乙骑摩托车从B往A，他们同时出发，经过80分钟两人相遇，乙到A后马上折回，在第一次相遇后40分钟追上甲，乙到B地后马上返回，再过多少时间甲与乙再相遇？
5、两辆汽车从甲乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，它们各自到达甲乙后又立即返回，两车在距甲地25千米处相遇。

假设两车的速度不变，甲乙两地的距离是多少千米？
6、百货公司委托运输公司运送1000只花瓶，双方商定每只的运费为1.5元，如打破一只，这只花瓶不但不计运费，还要赔偿9.5元。

结果运输公司共得到了1456元运费。

问运输过程中打破了几只花瓶？
7、用长72米的篱笆靠墙围成一个长方形。

长和宽各多少时围成的面积最大？面积是多少？
8、甲乙丙三人合作完成一件工程，共得报酬1800元。

三人完成这项工作的情况是：甲乙合作8天完成工程的；接着乙丙又合作2天，完成余下的；以后三人合作5天完成了这项工程。

按劳付酬，各人应得报酬多少元？
A B C
9、甲、乙两车分别从、两站同时相向开出，已知甲车速度是乙车速度的1.5倍，甲车到达途中站的时刻为凌晨5:00，乙车到达途中站的时刻为同一天的下午3:00,问这两车相遇是什么时刻?
1
6
10、蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。

要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。

现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序，轮流各开一小时，多少时间后水开始溢出水池?
11、某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度,超出部分按每度8角收费。

某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？
12、小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/小时、48千米/小时和42千米/小时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到
大客车。

甲、乙两地相距多远？
13、制作一个玩具熊，甲需5分钟，乙需6分钟，丙需7.5分钟。

现在将制作555个玩具熊的任务交给他们，要求他们三人在相同时间内完成任务，那么每人各应加工多少个？
14、用丰商场从批发部购进100副手套和80个帽子，共花去2800元。

商场零售时，每副手套加价5%，每个帽子加价10%，这样卖出后共收入3020元，原来1副手套和1个帽子一共多少元？
15、某风景区门票的票价如下：50人以下每张12元，51-100人每张10元，100人以上每张8元。

现在有甲、乙两个旅游团，若分开购票，两个旅游团总共需门票费1142元；若两个旅游团合在一起作为一个团体购票，总共只需付门票864元。

这两个旅游团各有多少人？
16、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样的一段后，发现长纸带剩下的长度是短纸带剩下的长度的2倍。

请问：剪下的一段有多长？
17、小星有48块巧克力，小强有36块巧克力。

如果每次小星给小强8块，同时小强又给小星4块，经过多少次这样的交换后，小强的块数是小星的2倍？
18、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了3次，袋中还有6个球。

请问：袋中原有多少个球？
19、有一根长180厘米的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也作一记号。

然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
20、某班学生排队，如果每排3人，就多1人；如果每排5人，就多3人，如果每排7人，就多2人，这个班级至少有多少人？
21、学校一次选拔考试，参加的男生与女生之比是4:3，结果录取91人，其中男女生人数之比是8:5，在未被录取的学生中，男女生人数之比是3:4，那么，参加这次考试共有多少名学生？
22、甲、乙两人各做一项工程。

如果全是晴天，甲需12天，乙需15天完成。

雨天甲的工作效率比晴天低40%，乙降低10%。

两人同时开工，恰好同时完成。

问工作中有多少个雨天？
23、甲、乙两车往返于相距270千米的A、B两地，甲车先从A地出发，12分钟后，乙车也从A地出发，并在距A地90千米的C地追上甲车。

乙车到B地后立即按原速返回，甲车到B地休息5分钟后加快速度，向A地返回，在C地又将乙车追上。

最后甲车比乙车早几分钟到达A地？
24、甲乙两人分别从相距130千米的AB两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B 地、A地。

甲每小时行28千米，乙每小时行32千米。

甲乙各有一个对讲机，当他们之间的距离不大于10千米时，两人可用对讲机联络。

问：（1）两人出发后多久可以用对讲机联络？（2）他们能用对讲机联络多长时间？
25、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.8元。

当超过4吨时，超过部分每吨3元。

某月甲、乙两户用水量之比为5：3，共缴水费26.4元。

问甲、乙两户各应缴水费多少元？
26、某服装公司第一季度销售一批服装，单件成本为400元，售价510元。

卖完后公司的有关部门作市场调查，决定第二季度降低成本，同时把售价降低4%，结果第二季度销量增加了10%，总利润提高了5%。

问第二季度的每件成本是多少元？
27、某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队等待检票。

检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。

如果只有一个检票口，检票开始8分钟就没有人排队检票，如果有两个检票口，检票开始后分钟就没有人排队检票？28、一列快车和一列慢车从A、B两地同时相向而行，6小时相遇，相遇后两车又继续行驶2小时，这时快车距B地还差全程的20％，慢车共行了400千米，A、B两地之间的路程共多少千米？
29、某班学习小组有12人，一次数学测验只有10人参加，平均分是81.5分。

后来，缺考的李明和张红进行了补考，李明补考成绩比原10人平均分少1.5分，而张红的补考成绩却比12人的平均分多12.5分，张红考了多少分？
30、火车站的检票口前已经有一些人排队等候检票进站，假如每分钟前来检票口排队检票的人数一定，那么当开一个检票口时，需要20分钟可以检完；当开两个检票口时，8分钟就可以无人排队。

如果开三个检票口时，需要多少分钟可以检完？
教师解题能力竞赛试题参考答案
（个人整理，仅供参考）
填空部分：
1、60。

约数中尽量含有
2、
3、5，由此可以判断出可能是30、60、90其中的一个。

2、49。

3a+2b=100，由于2b是偶数，所以3a也是偶数，即a是偶数，又是质数，所以a=2，从而求出b=47,a+b=49
3、280。

600÷3=200；600÷5=120；600÷15=40，200+120-40=280
4、15。

34-4=30；42+3=45；30和45的最大公约数是15
5、40。

甲、乙跑一圈分别是5分钟和8分钟，5和8的最小公倍数是40
6、112.5。

30×4-30/4=112.5
7、120。

60÷12=5，5×5×6=120
8、16。

摸两个球，有5+4+3+2+1=15种情况，所以要16人才能保证至少有2人相同。

9、3575。

28÷（24/143-4/25）。

24/143表示甲乙工作效率和，4/25表示甲乙相互干扰后的工作效率和。

10、16。

设路程为1，2/(1/12+1/24)=16
11、496和31。

单循环赛：1+2+3+…31=496；淘汰赛：比赛一场淘汰1人，决出冠军意味着要淘汰掉31人，所以比赛31场。

12、0.75元。

（1.5+1.5）÷[（6+6）÷3]=0.75
13、17。

首先要切6刀把表皮切掉，底面切成25个小正方形：（4+4）刀，然后竖着再切3刀，就是100个了。

也就是6+8+3=17
14、2.95。

（3.6×2＋2.8×3＋2.1×1）÷（2＋3＋1）=2.95
15、84。

无限制两人握手16×15÷2=120次，去掉女士相互握手8×7÷2=28次，去掉夫妻握手8次，最后求出：120-38-8=84
16、100/19米。

甲跑100米，乙跑95米，丙跑90米，他们跑的路程成正比，95：90=100:X，X=1800/19。

100-1800/19=100/19
17、20。

1/12－（5/6－1/12×8)÷(13－8)
18、10种。

用列举法得出。

19、40。

大正方形每个面分成4块，所以表面积为4×6=24块，当拆开后，表面积为6×8块，面积增加1倍。

20、0.75。

因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75
21、直、360/11。

分针每小时可以追上时针330º，追上180º需要180÷330时=360/11分
22、5。

王莹得到23票（超过半数）就能当选，只要再得23-18=5票。

23、375。

4=3+1；500÷4×3=375
24、40次。

4×4＋4×3＋4×3=40（次）
25、0。

因为1—99有189个数字；100—699有300×6=1800个数字；数到699时，有
1800+189=1989个数字，再往后数11个，即70070170270，第2000位是0。

解决问题部分
1、思路点拨：男女学生分的组数相同。

设男女生都分成了a组，列方程得：(3a+4)/2a=5/3；a=12。

男生人数：3a+4=40；女生人数：2a=24。

2、思路点拨：求出男女生人数的比例。

设男生a人，女生b人，列方程得：（79a+71b）/(a+b)=76，整理后得3a=5b，即a:b=5:3，也就是总人数a+b是8的倍数。

381÷8=47……5，所以总人数至少是48×8=388人，从而求出男生人数为388×5/8=240人；女生人数为388-240=144人。

3、思路点拨：“百鸡问题”可以通过列出不定方程解出其中两种鸡的数量关系，再利用鸡的取值范围和数的整除性解出得数。

设：鸡翁、母、雏各有a、b、c只。

列方程得：a+b+c=100①；5a+3b+1/3c=100②，将②两边乘3得15a+9b+c=300③，用③-①得14a+8b=200，整理后得b=25-7a/4④。

可以看出a必定是4的倍数，并且a小于15，所以a可能是4、8、12分别代入④，最终得出3种不同结果。

即鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别是12、4、84或8、11、81或4、18、78。

4、思路点拨：⑴可以先求出甲乙的速度比。

⑵可以从整体上考虑：三个全程时间(240分钟)－第一次相遇时间(80分钟)一追上时间(40分钟)=追上后第二次相遇时间(120分钟)。

方法（一）：假设甲的速度是X，乙的速度是Y。

那么80X+80Y=AB,考虑到80分钟第一次相遇后40分钟又相遇了,说明甲还没有走道B点就被乙追到了,所以120Y-120X=AB ；80X+80Y=120Y-120X ；5X=Y。

乙的速度是甲的5倍，这样可以推理到第三次相遇时,甲还是没有走到B点，再假设第三次相遇的时间为m，那么mX+mY=3AB，套用80X+80Y=AB，m=240分钟。

最后用三个全程时间(240分钟)－第一次相遇时间(80分钟)一追上时间(40分钟)=追上后第二次相遇时间(120分钟)。

方法（二）：不需要求出甲乙的速度比。

甲、乙共走一个全程AB需80分钟，整体上考虑，从同时出发到最后第二次相遇，甲、乙共走了三个全程AB，总时间是80×3=240(分钟)。

三个全程时间(240分钟)－第一次相遇时间(80分钟)一追上时间(40分钟)=追上后第二次相遇时间(120分钟)。

方法（三）*：设AB一段公路为x，乙骑摩托车在第一次相遇后40分钟追上甲，说明行进速度是自行车5倍（这句话想要理解的话需要花费一点时间的）。

从第一次相遇后40分钟甲实际仅仅走了摩托车8分钟的路程。

也就是距B地还有80-8=72分钟的摩托车路程，也就是乙骑摩托车还需要72分钟才到b地能返回。

此时甲骑自行车距b地还有72-72/5=57.6分钟的路程。

到再相遇即57.6分钟/1.2=48分钟+72分钟=120分钟。

（其中1.2表示1+1/5）5、思路点拨：当甲乙两车第二次相遇时，两车一共行驶的距离正好是甲乙全程距离的3倍。

首先要作图分析（图略）第一次相遇，乙行驶了95千米，第二次相遇，由于是双方一共行驶了甲乙全程距离的3倍，所以乙一共行驶了95×3=285千米。

又因为第二次相遇时，乙行驶了一个甲乙的全程再加上25米，所以甲乙两地的距离等于95×3-25=260千米。

6、思路点拨：可以列出二元一次方程解出或者采用假设法。

假设法：假设所有的花瓶都没有打破，应该得到的运费是1500元，实际只得了1456元运费，少得了44元，这是因为把打破的花瓶看出成了没有打碎的花瓶。

没有打破得1.5元运费，打破了要陪9.5元，两者相差1.5+9.5=11元，也就是每打破一个花瓶，一来一去要少得11元的运费。

44÷11=4个，所以打破了4个。

7、思路点拨：要注意这道题是靠墙围的长方形，最大面积不是正方形。

其实靠墙围出的最大面积的长方形正好是半个大正方形（假设围墙的另一面也有半个大正方形），也就是长是
宽的2倍。

方法一：设长方形宽a 米，长（72-2a ），面积是（72-2a ）a=2a(36-a)，当a=36-a 时，面积最大，也就是a=18。

长方形的长36米，宽18米，面积是648平方米。

方法二：长方形的长是宽的2倍，把宽看成1倍，长就是2倍。

72÷（1+1+2）=18，18×2=36
8、思路点拨：分别求出甲乙丙的工作效率，然后根据甲乙丙工作占的比例求出各自的报酬。

根据“甲乙合作8天完成工程的1/3”求出甲乙合作完成需要24天；根据“乙丙又合作2天，完成余下的1/4”求出乙丙合作完成需要：2÷（2/3×1/4）=12天；根据“以后三人合作5天完成了这项工程”求出甲乙丙三人合作完成需要：5÷（1-1/3-1/6）=10天。

所以丙的工作效率=1/10-1/24=7/120；甲的工作效率=1/10-1/12=1/60；乙的工作效率=1/24-1/60=1/40。

整个工程，甲做了13天，占了总量的13/60；乙做了15天，占了总量的15/40即3/8；丙做了7天，占了总量的49/120。

甲的报酬=1800×13/60=390元；乙的报酬=1800×3/8=675元；丙的报酬=1800×49/120=735元。

9、思路点拨：当未知量很多时，通常把其中的一个或几个量设成1。

设甲、乙两车的速度分别是1.5和1，当甲到达C 站时，乙还需要10小时才能到达C 站，这时两车的距离等于10×1=10，相遇的时间=10÷（1+1.5）=4小时，5+4=9时（上午9时）。

10、思路点拨：同上
解法（一）： 设水池容量为1，设甲乙丙丁四个水管每小时进出水量分别为a 、b 、c 、d ，则有a=1/3，b=1/4；c=1/5；d=1/6。

易知甲乙丙丁循环一次的总进水量为7/60，本题的关键是动态的考虑水池的剩余容量，5/6-a=1/2，而7/60 ×4<1/2，故经过4×4=16小时是不会溢出的，再经过两小时的剩余容量=5/6-28/60-(a-b)=17/60 > c ，所以再过两小时也不会溢出，至此经过20小时，剩余容量=1/4<a ，需要1/4÷a=3/4小时，所以20.75小时后溢出。

列式解答方法（同解法一）：
＋＝ （先通过甲管放进水，现在水池一共有水）
1－＝ （还需要进水，按照b 、c 、d 、a 的顺序进水，这样就不需要动态考虑剩余容量了。

）
÷（－＋－）＝4 （需要4个周期多一点）
［－（－＋－）×4＋－＋］÷＝（小时）
1＋4×4＋1＋1＋1＋＝20（小时）
答：20小时后水开始溢出水池。

解法（二）：现在令水池的水有60份
那么甲+20份/小时
乙-15份/小时
61
3
21
2
2345
6172
21563
43
3
4
4
3
丙+12份/小时
丁-10份/小时（+增加-减少）
现在水池有10份水。

如果按甲、乙、丙、丁的顺序,循环开各水管,每次每管1小时
则4小时后增加7份水
8增加17
12增加7总水为31份
16小时增加7，水池水为38份
17小时增加20，水池为58<60
20小时减少13，总数水为45，还剩15，15÷20=0.75小时
所以20.75小时后溢出。

11、思路点拨：先根据数的整除性判断甲乙用电数有没有超过50度。

解法一：因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲用电超过50度，乙用电不足50度。

设甲用电(50+x)度，乙用电(50- y)度。

因为甲比乙多交33角电费，所以：8x+5y=33。

容易看出x=1时，y=5。

推知甲用电51度，乙用电45度。

解法二：
33＝8×1＋5×5
50＋1＝51（度）
50－5＝45（度）
12、思路点拨：本题最好通过作图帮助理解（图略），找出相隔的30分钟那段路的解求方法。

解法（一）：（48＋42）×1/2=45千米(当面包车遇到小轿车时，面包车和大卡车相距45米，也就是说当面包车遇到小轿车时，小轿车比大客车多行驶45千米)
45÷（60-42）=2.5小时（根据同向行驶两车距离公式求出小轿车和面包车相遇的时间） （60＋48）×2.5=270千米（小轿车和面包车的速度和乘相遇的时间等于总路程） 解法（二）：感觉很简单却又很复杂。

÷（－）＝270（千米）
其中表示面包车和大卡车的效率和，即两车共行驶1千米相遇的时间（类似于工作效率和），表示小轿车和面包车的效率和，表示时间，即小时。

感觉好像在解答工程问题？而这个题目却是相遇问题啊。

13、思路点拨：本题解答的方法很多，最稳妥的办法就是根据甲乙丙工作效率比值求出结果或者通过列方程解答。

解法一：
1/5:1/6:1/7.5=6:5:4
555×6/15=222(个) 555×5/15=185(个) 555×4/15=148(个)
解法二：
5、6、7.5的最小公倍数是30，以30分钟为一个生产周期。

30÷5＋30÷6＋30÷7.5=15(个) 555÷15=37(个)周期
甲：37×(30÷5)=222(个) 乙：37×(30÷6)=185(个) 丙：37×(30÷7.5)=148(个) 解法三：设：甲、乙、丙各加工x 、y 、z 个
x+y+z=555；5x=6y=7.5z ，解x 、y 、z 分别等于222、185，148。

6030
4248
601+4248
601+30
60
解法四：3人的速度分别是1/6、 1/5、 1/7.5个/分，设需要x分钟完成
x/6+x/5+x/7.5=555，x=1110
1110÷5=222个；1110÷6=185个；1110÷7.5=148个
14、思路点拨：采用列方程或看作鸡兔同笼问题，采用假设法解答。

假设手套和帽子都加价5%，得2800×（1+5%）=2940，比实际少了3020-2940=80元，这是因为把帽子少算了（10-5）%，所以80÷5%=1600元，1600÷80=20元
综合算式：帽子单价：[3020－2800×（1+5%）]÷80÷（10%－5%）=20（元）
手套单价：[2800×（1+10%）－3020]÷100÷（10%－5%）=12（元）
15、思路点拨：先求出两个旅游团总人数以及采用假设法
解法一：设分别有x，y人
864÷8=108人，所以x+y=108
假设两队一个不够50人，一个超过50人但小于100人的话：12x+10y=1142 解得x=31，y=77人符合假设的情况
假设两队均超过了50人,那么价格应该都是10元，而总费用1142不能被10整除，所以不可能。

还有一种情况就是有可能其中一对超过100人，也就是8x+12y=1142 解方程的x.y不是整数。

不正确
解法二：直接判断出一队小于50人，一队大于50且小于100人。

（未卜先知？）
864÷8＝108（人）
（1142－108×10）÷（12－10）＝31（人）（又是鸡兔同笼的应用）
108－31＝77（人）
16、思路点拨：不管怎样剪，两条纸带相差的长度是一个定值，最终转化成“差倍问题”两条纸带相差长度：21-13=8厘米
长的是短的2倍，也就是多1倍，所以长的还剩8×2=16厘米，短的还剩8厘米，最后得出减去了13-8=5厘米。

17、思路点拨：这是一道“和倍问题”，先求出小星或小强最后有多少块巧克力。

小强最后的块数(48+36) ÷(2+1) ×2=56块；
小强和原来相差的块数56-36=20块；
小强每次交换增加的块数8-4=4块；
需要交换的次数20÷4=5次。

18、思路点拨：采用倒推法
第3次操作后：6
第2次操作后：6-1=5；5×2=10
第1次操作后：10-1=9；9×2=18
原来的个数：18-1=17；17×2=34
19、思路点拨：这道题似乎与植树问题无关，但仔细分析辨认，它可以转化为不封闭线路中两端都不植树的问题，这种情况下树的棵数比间隔数少1。

题目中的“记号”相当于棵数，“每3厘米、每4厘米”相当于间隔的长度。

绳子总长是180厘米，每3厘米一段可作记号180÷3－1＝59（个），每4厘米一段可作记号180÷4－1＝44（个）。

每隔（3×4）厘米处的记号是重复的，重复记号有180÷（3×4）－1＝14（个）。

需要剪断的记号有59＋44－14＝89（个）。

因为这个问题中的间隔数＝记号数＋1，所以绳子共被剪成了89＋1＝90（段）
20、思路点拨：请查看“韩信点兵”即“剩余定理”的相关资料
综合算式：70×1+21×3+15×2－3×5×7=58
21、思路点拨：采用列方程的方法。

解法一：设原来男生4a，女生3a
91÷(8+5) ×8=56人，91-56=35人。

列方程得：（4a-56）÷(3a-35）=3/4，a=17，所以总人数=7a=119人。

解法二：十字相乘法
由于录取人数男生占的比例﹥未录取人数男生占的比例
把录取人数看作溶液（浓），91人；男生占的比例看作浓度（浓），占录取人数的8/13。

未录取人数看作溶液（稀），X人；男生占的比例看作浓度（稀），占未录取人数的3/7。

把原来的人数看做混合后的溶液（混），91+X人，男生占的比例看作浓度（混），占4/7。

十字相乘法公式:
溶液（浓）×[浓度（浓）－浓度（混）]= 溶液（稀）×[浓度（混）－浓度（稀）]
列方程：91×（8/13－4/7）=X(4/7－3/7)，解出X=28人，原来的人数是91+28=119人。

综合算式：91×（8/13－4/7）÷(4/7－3/7)+91=119人。

22、思路点拨：同上
设雨天a，晴天b
b/12+a/20=b/15+3a/50，整理后得a/b=5/3，也就是每5天雨天就有3天晴天，把5雨天3晴天看成一个周期。

1÷（5/20+3/12）=2个周期，所以是10天雨天。

23、思路点拨：采用推理法。

90千米 12分钟乙每行驶90千米的路，就比甲少用12分钟
180千米 24分钟乙继续到b地要180千米，就比甲少用24分钟
180千米 29分钟由于甲休息5分钟，必须比乙少用29分钟才能赶上
90千米 14.5分钟甲行驶90千米比乙少用（29÷2）分钟
24、思路点拨：计算对讲机的联络时间，应该把10千米的距离乘2。

（130－10）÷（28＋32）=2小时
10×2÷(28＋32)=1/3小时
25、思路点拨：采用列方程的方法或者假设法。

假设乙用水量是4吨。

（4＋4）×1.8＋(4÷3×5－4)×3=22.4（元） 22.4＜26.4 乙用水量超过4吨。

［26.4－（4＋4）×1.8］÷3=4（吨）
（8＋4）÷8×3=4.5（吨）
4×1.8＋3×0.5=8.7（元）
26.4－8.7=17.7(元)
答：甲户应缴水费17.7元，乙户应缴水费8.7元
26、思路点拨：用列方程得方法解答容易些。

解法（一）
每件获利：（510－400）×（1＋5%）÷（1＋10%）=105（元）
售价：510×（1－4%）=489.6（元）
成本：489.6－115=384.6（元）
解法（二）
设第一季度降销售量为X
第二季度成本为Y
第一季度单件利润=510-400=110
第一季度总利润=110*X
第二季度销售量为（1+10%）*X
第二季度单件利润=510*（1-4%）-Y
第二季度总利润=（1+10%）*X*[510*（1-4%）-Y]
第二季度获得的总利润比第一季度提高了5%。

列方程，得
110*X*（1+5%）=（1+10%）*X*[510*（1-4%）-Y]
销去X ，得到Y=384.6
解法（三）这个方法我在网上查到的，如果可行的话，上面的两种解法可就……
(510-400)*(1+5%)=115.5 为第二季度单件利润值
510*(1-4%)=489.6 为第二季度单件售价
489.6-115.5=374.1 为第二季度单件成本
题中的售量是个干扰因素，因为一二季度同比情况下，利润与售量无关
27、思路点拨：这是一道“牛吃草问题”，请查看后面第30题相关解答公式。

分析：每分钟的生长量已经知道是每分钟10人。

关键是先求出原有的草量。

解：原有的人数是：（25－10）×8＝15×8＝120（人）
两个检票口时：120÷（25×2－10）＝120÷40＝3（分）
28、思路点拨：快车先行驶了6小时，又行驶了2小时后还差20%，从而可以求出快车从A 到B 一共行驶了10小时。

400×＝300（千米）
（6＋2）÷（1－20%）＝10（小时）
300÷＝750（千米） 答：AB 两地路程共750千米。

29、思路点拨：采用列方程的方法可以更好地理解。

解法一：(81.5-1.5+81.5*10+12.5*12)/(12-1)=95 采用画图可以帮助理解
解法二: (81.5*11-1.5+12.5)/(12-1)+12.5=95 从移多补少的角度去理解
解法三：（12.5－1.5）÷（12－1）+81.5+12.5=95 先确定基准数，采用基准数法 解法四：设张红的得分为X 分，列式为：
（81.5×10+80+X ）/12+12.5=X
11/12X= 895/12+12.5
X=95
30、思路点拨：这是一道“牛吃草问题”
牛吃草问题基本公式：
（1）生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
（2）总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

假设：每个检票口每分钟检票人数为 1
开一个检票口20分钟检票人数为 20
开两个检票口8分钟检票人数为 16
所以：12分钟内来的人数为 4
那么：每分钟来的人数为1/3(即草的生长速度) 2
66
+10
6
10-。