北师大版初二数学下册第五章小结与复习课件

b2
41.
(4 b)2 b2
9
5
归纳总结
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含 有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个 关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是 主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主 元，其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代 数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几 个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母 视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字 视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
3.分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:清题意，并设未知数； (2)找:相等关系； (3)列:出方程； (4)解:这个分式方程； (5)验:根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）； (6)写:答案.
考点讲练
考点一 分式的有关概念
例1
如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
分式再代入求值.
解：原式=
2x
(x y)2 x y ,
(x y)(x y) 2x x y
把x= 1 2 ,y= 1 2 代入得
原式= 1 2 (1 2) 2 2 2.
1 2 1 2 2
归纳总结
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可 以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求 出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有 直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件， 这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的 方法.
针对训练
4.有一道题：“先化简，再求值:
(
x x
2 2
4x x2
4
)
1 x2
4
,
其中x 3 ”.小玲做题时把x 3 错抄成 x 3 ,
但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回
事?
解:
(x2 x2
4x ) x2 4
1 x2 4
(x 2)2 4x (x2 x2 4
4)
A B
的值为零.
4.分式的基本性质：
b b m , b b m（m 0）. a am a am
分式的符号法则:
f f ，f f .
g
g g g
5.分式的约分： 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一 次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一
4
次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
解得 x=4.
600 x
600 5x
30.
4
经检验，故x=4原分式方程的解.
1
.
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，
列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分
式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解
得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案】1
归纳总结
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条 件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子 为0而分母不为0.
针对训练
9.已知
x y
2 3
，求
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
的值.
解：由
x y
2 ，得
3
x
2 3
y
，
x2 y2
xy y2
x2 2xy y2 2x2 2xy
(x y)(x y) 2x(x y) (x y)2 y(x y)
本题还可以由已 知条件设 x=2m,y=3m.
2x.
y
把 x 2 y 代入可得原式=
4 3
y
4
.
3
y3
课堂小结
分式的定义及有意义的条件等 分式
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分
式 分 式 方 程 分式方程的解法
分式方程 的应用
步骤 类型
一审二设三列四解 五检六写，尤其不 要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
Biblioteka Baidu分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整 式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分 母相同的分式，这种变形叫分式的通分. 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
针对训练
1.若分式 1 无意义，则x 的值 -3 .
x3 2.如果分式 a 2 的值为零，则a的值为 2 .
a2
考点二 分式的性质及有关计算
x 例2 如果把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来 的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：2a b 3 ，求
a 2b 14
a2 b2 的值.
a2 b2
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可
得 a 4 b ，代入约分即可求值.
5
解：∵
2a b 3 ，
a 2b 14
∴a 4b
5
.
∴
(4 b)2 5
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天
比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计
划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依
题意列出正确的方程为（ C ）
A 90 90 3 . x x 1
C. 90 90 3 x x 1
B. 90 90 3 x 1 x
D. 90 90 3
二、分式的运算 1.分式的乘除法则：
b c bc a d ad
b c b d bd a d a c ac
2.分式的乘方法则：
(a)n an . b bn
3.分式的加减法则： (1)同分母分式的加减法则：
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则： a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
x 1 x 1
x 1
x 1
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的
解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
归纳总结
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分 式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定 注意要验根．
4.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号
的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. (2)解这个整式方程. (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解，否则须舍去.
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根 据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则 高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解， 则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)． 答：高铁的平均速度是300千米/时．
针对训练
6.解方程：x x
2 2
1
16 x2
. 4
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2）， 去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2， 经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已 知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的1.3倍．
x2
4x x2
4 4
4x
(x2
4)
x2
4
( 3)2 ( 3)2 3, ∴结果与x的符号无关
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，如果将
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与 所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值 问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列 车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相 乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速 度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普 通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
1 6
针对训练
3.下列变形正确的是( C )
A. a b
a2 b2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
B. a b a2 b
a
a2
D.
6x2y 9 xy 2
2x 9y
例3 已知x= 1
2 ,y= 1
2，求
(
x
1
y
x
1
y
)
x2
2x 2xy
y2
值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简
要点梳理
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 A 为分式.其中A叫做分式的分子，
B
B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式
A B
：当__B_≠_0___时分式有意义；
当__B_=__0__时无意义.
3.分式值为零的条件：
当_A__=_0_且__B__≠_0_时，分式
针对训练
5.已知x2-5x+1=0,求出 x4 1 的值.
x4
解：∵x2-5x+1=0, 得 x 5 1 0即,
x
x 1 5. x
∴
x4
1 x4
(x2
1 x2
)2
2
[(x 1 )2 2]2 2 x
(25 2)2 2
527.
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
(1) 1 1 0;(2) x 4 2 3 .