八年级数学奥术三级第三跳解题方法第三讲平行四边形二试题

第三讲：平行四边形〔二〕
【知识梳理】
由平行四边形的构造知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。

【例题精讲】
【例1】四边形四条边的长分别为q p n m 、、、，且满足pq mn q p n m 222
2
2
2
+=+++，那么这个四边形是〔 〕
A .平行四边形
B .对角线互相垂直的四边形
C .平行四边形或者对角线互相垂直的四边形
D .对角线相等的四边形
【例2】如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .
(1) 求证：DE －BF ＝ EF ．
(2) 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由． (3) 假设点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、
BF 、EF 之间的数量关系〔不需要证明〕．
【稳固】如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. 〔1〕求EC ∶CF 的值；
〔2〕延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点〔如图13－2〕，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；
〔3〕在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？假设存在，请给予证明；假设不存在，请说明理由．
【例3】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的值。

图1
A
D
C
B
E
图2
B
C
E D
A
F P F
【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，BE 、AF 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，
BE 和AD 交于G ，求证：GF ∥AC 。

【例5】如下图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F 。

求证：AE ＝CF 。

【稳固】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ，∠D 的平分线分别交对边于点E 、F ，交四边形的对角线AC 于点G 、H 。

求证：AH ＝CG 。

E G
F
C
D B
A
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