江苏省2019年高考数学压轴卷含解析

江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

参考公式：

球体的体积公式：V＝3

3

4

R

π，其中为球体的半径．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．全集12

{}

345

U＝，，，，，集合134

{}}

35

{

A B

＝，，，＝，，则

U

A B

⋂

（）

ð═．2．已知i是虚数单位，若12

i a i a R

+∈

（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．

4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．

5．已知函数

2

2

353

log(1)3

x x

f x

x x

-

⎧-<

⎨

-+≥

⎩

（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．

6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2

π

）的部分图象如图所示，则f （76π）

的值为 ．

8．已知A ，B 分别是双曲线22

12

x y C m ：-＝

的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．

9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2

﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．

10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x

，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．

11．设A ，B 在圆x 2

+y 2

＝4

上运动，且AB ＝P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则

|PA PB |+的最小值是 ．

12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝

23

π

，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．

13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满

足：11

414n n n n n E A E D E a B a +=

+（﹣）﹣5

，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则

111a -+211a -+311a -+…+1

1

n a -＝ ．

14．已知函数2910(1)e ,02

3x

x x f x x x ⎧++<⎪

⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0

，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x

（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）

15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，

C 的一点．

（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．

16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,

cos(),.2

273

π

π

π

απβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．

17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝

2

π

，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝

T

S

，试求f （θ）的最大值P ；

18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b

：+＝0a b （＞＞）

的离心率为2，短轴长为

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点

E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂

直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为

3

，求k 的值．

19．(本小题满分16分) 已知函数()2

12ln 2

f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；

（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；

（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)

，求证：(1)

()2

n n l A -=

； （Ⅲ）l A （）

是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）