反三角函数(反正弦函数)教案
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6.4反三角函数(反正弦函数)(1)教案
教学目的:
1.理解函数y=sinx (x ∈R )没有反函数;理解函数y=sinx , x ∈[-
2π,2π
]有反函数;理解反正弦函数y=arcsinx 的概念,掌握反正弦函数的定义域是[-1,1],值域是[-2π,2
π
].
2.知道反正弦函数y=arcsinx ,x ∈[-1,1]的图像.
3.掌握等式sin (arcsinx )=x ,x ∈[-1,1]和arcsin (-x )=-arcsinx ,x ∈[-1,1]. 4.能够熟练计算特殊值的反正弦函数值,并能用反正弦函数值表示角. 5.会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 教学重点:
教学重点:理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.
教学难点:反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.
教学过程: (一)、引入
一、(设置情境) 1.复习
我们学习过反函数,知道,对于函数y=f (x ),x ∈D ,如果对它的值域中的任意一个值y ,在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应,使y=f (x ),这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f (x )的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。
2.思考
那么正弦函数是否存在反函数呢?
[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的。
故而不存在反函数。
3.讨论
正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确
定自变量,正弦值可以表示相应的角值,并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间,使得x y sin =存在反函数呢?
这个区间的选择依据两个原则:
(1)x y sin =在所取区间上存在反函数;(2)能取到x y sin =的一切函数值[]1,1- 可以选取闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,2ππ,使得x y sin =在该区间上存在反函数,而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。
二、(双基回顾)
1.根据下列给出的条件,求对应的角x
1)1sin 0,22x x π⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦, 则x =______ 2)sin ,222x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦
,则x =______
2.下列函数图像中哪些图像所表示的函数具有反函数? ( )
(A) (B) (C) (D) (二)、新课 一、(新课教学,注意情境设置)
函数y=sinx , x ∈[-
2π,2
π
]存在反函数吗? 二、概念或定理或公式教学(推导) 概念辨析
(1)反正弦函数的定义: 函数y=sinx , x ∈[-
2π,2
π
]的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx ,x ∈[-1,1]. (2)反正弦函数的性质: ①图像 ②定义域[-1,1]
③值域[-2π,2
π
]
④奇偶性:奇函数,即arcsin (-x )=-arcsinx ,x ∈[-1,1] ⑤单调性:增函数
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称,函数
y=sinx ,x ∈[-
2π,2
π
]与函数y=arcsinx ,x ∈[-1,1]的图像关于直线
x y =对称.
三、(概念辨析或变式问题,目的是加强概念、公式的理解或应用)
判断下列各式是否成立?简述理由.
(1)arcsin
23=3π;(2)arcsin 3π=23;(3)arcsin1=2k л+2π,k ∈Z ;(4)arcsin (-3π)=- arcsin 3
π;(5)sin (arcsin 2)=2;(6)arcsin 6π=2
1
.
解:(1)式成立;(2)、(4)、(5)各式都不成立,理由是反正弦函数的定义域为[-1,1];(3)式仅当k=0
时成立,k 取其他整数时,不成立,理由是反正弦函数的值域为[-2π,2
π
]; (6)式不成立,因为与反正弦函数的定义不符. 四、典型例题(3个,基础的或中等难度)
例1.求下列反正弦函数的值:
(1)arcsin
2
1
; (2)arcsin0; (3)arcsin (-23) 解:(1)因为sin
6π=21,且6π∈[-2π,2π],所以arcsin 21=6
π
. (2)因为sin0=0,且0∈[-
2π,2
π
],所以arcsin0=0. (3)因为sin (-
3π)=-23,且-3π∈[-2π,2π],所以arcsin (-23)=-3
π.
例2.用反正弦函数值的形式表示下列各式的x :
(1)sinx=
32,x ∈[-2π,2π];(2)sinx=-51
,x ∈[-2π,2
π];(3)sinx=-33 ,x ∈[-π,0] 解:(1)因为x ∈[-
2π,2
π
],由定义,可知x=arcsin 32;
(2)因为x ∈[-
2π,2
π],由定义,可知x=arcsin (-51)=- arcsin 51
;
(3)在区间[-
2
π
,0] 上,由定义,可知x=arcsin (-33)=- arcsin 33; 在区间[-π,-
2
π
]上,由诱导公式,可知x=-π+arcsin 33,满足 sinx=-33
因此x= arcsin
33或x=-π+arcsin 3
3
. 例3.化简下列各式: (1)arcsin (sin
7π);(2)arcsin (sin 5
4π);*(3)arcsin (sin20070) 解:(1)因为
7π∈[-2π,2π],设sin 7π=α,所以arcsin α=7π,即arcsin (sin 7π)=7
π. (2)因为
54π∉[-2π,2π],而5π∈[-2π,2π],且sin 5π=sin 54π,设sin 5π=sin 54π=α,所以arcsin (sin 54π)= arcsin (sin 5π)=arcsin α=5
π.
(3)因为sin20070=sin (5×3600+2070)=sin2070=sin (1800+270)=-sin270
所以arcsin (sin20070
)= arcsin (-sin270
)=- arcsin(sin270
)=- 270
.
例4.求函数f (x )=2arcsin2x 的反函数f -1
(x ),并指出反函数的定义域和值域. 解:设y=2arcsin2x ,则
2
y
= arcsin2x , 因为2x ∈[-1,1],arcsin2x ∈[-
2π,2π],所以x ∈[-21,2
1
],y ∈[-л,л], 根据反正弦函数的定义,得2x=sin
2y ,x=21 sin 2y ,将x ,y 互换,得反函数f -1
(x )=21 sin 2
x , 定义域是[-л,л],值域是[-
21,2
1]. 五、课堂练习(2个,基础的或中等难度) 1、求下列反三角函数的值:
(1)sin = arc ⎝⎭
_________ ; (2) sin1= arc ______;
(1)()sin sin1arc ; (2) 2sin sin 10arc π⎛⎫
⎪⎝⎭
;
六、拓展探究(2个)
例1.证明等式:arcsin (-x )=-arcsinx ,x ∈[-1,1] 证明:∵x ∈[-1,1],∴ -x ∈[-1,1]
∴sin[arcsin (-x )]= -x ,sin (-arcsinx )=-sin (arcsinx )=-x 又因为arcsin (-x )∈[-
2π,2π],-arcsinx ∈[-2π,2π],且正弦函数在[-2π,2
π
]上单调递增,所以arcsin (-x )=-arcsinx ,x ∈[-1,1]
[说明]这是证明角相等的问题,两个角仅有同名三角比相等,不能证明这两个角相等,教师应启发学生
知道这个数学事实,并举例说明. 例2.设x ∈[
2
π,23π
],sinx=31,用反正弦函数值表示x.
解:因为x ∈[
2π,23π],所以(π-x )∈[-2π,2
π],又sin (π-x )=sinx ,得sin (π-x )=31,
于是π-x=arcsin
31,x=π- arcsin 3
1.
[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-
2π,2
π
]外的角,教材不作要求,但考虑到在解实际问题中常要表示钝角,因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学. (三)、小结
(1)反正弦函数的定义; (2)反正弦函数的性质.
(四)、作业
(1)书上练习6.4(1)中的1、2、3、4
(2)思考题:求函数f (x )=2π-arcsin2x 的反函数f -1
(x ),并指出反函数的定义域和值域.
课外作业:(6+2填空,3+1选择,3+1解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明) 一、填空题
1、求下列反三角函数的值:
(1)sin = arc ⎛ ⎝⎭
_______ ; (2) ()sin 1= arc -_____. (3) 4sin sin
5
arc π⎛⎫
⎪⎝
⎭
=___________; (4) ()sin sin10arc =______________. 2、函数)2arcsin(2
x x y -=的单调递减区间是 .
3、若)arcsin()arcsin(a x a x +>- 有解,则a 的取值范围是____________.
4、函数2arcsin 2-=x y 的值域是__________________.
5*、若)(x f 是奇函数,且当0>x 时,)(,0),arccos(sin )(x f x x x f 时则当<-=π的解析式是
)(x f = . 6*、函数
, 当x =_________时, 函数取得最小值, 最小值是_______
当x=__________时, 函数取得最大值, 最大值是__________. 二、选择题
1、下列函数中, 存在反函数的是 ( ) A 、 y=sin x , ( x [0,
] B 、 y=sin x , (x
)
C 、 y=sin x , ( x )
D 、 y=sin x , (x
)
2、若)arcsin(sin ,2
x x 则π
π-
<<-的值 ( )
A 、x
B 、x -π
C 、π-x
D 、)(x +-π
3、函数)arccos(sin 2
)(x x f -=π是 ( )
A 、偶函数
B 、既是奇函数又是偶函数
C 、奇函数
D 、非奇非偶函数
4*、若
, 且
, 则ϕ为 ( )
A 、m arcsin
B 、 m arcsin +π
C 、 m arcsin -π-
D 、)arcsin(m - 三、解答题
1、求满足arc sin (1-a) + arc sin (1-)<0 的a 的取值范围.
2、求)17
8
arcsin 53sin(arcsin +的值.
3、求函数3
3arcsin 2π
+=x y 的定义域和值域。
4*、函数)23,
2(,sin )(π
π∈=x x x f ,)(1
x f
-求反函数。
四、双基铺垫
1、已知1
cos 2
x =-,试根据下列条件求x : (1)x 是区间[,]ππ-的角 (2)所有的满足条件的x
2、求下列各式的值:(1)23arccos (2))2
3
arccos(-
6.4反三角函数(1)——反正弦函数课外作业答案
一、填空题 1、(1)4π-
; (2) 2π- (3)5
π
(4) 103-π 2、]21,1[+ 3、)0,1[- 4、 [0,π]
5*、)arccos(sin )(x x f -= 6*、
y 有最小值-2, 当, 即时,
y 有最大值
二、选择题
1、 D
2、 D
3、 C 4*、 C 此题, 并不是反正弦函数定义域的取值范围, 故(A)错误.
,
故(B)错误.
满足条件。
而
, 故(D)错误.
应选(C)
三、解答题
1、解:
2、原式=8577;
3、定义域]3,3[-;值域]3
4,32[π
π-
4*、[)⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈+=-)
0,1(.arcsin 1,0,arccos 2)(1
x x x x x f ππ
四、双基铺垫
1、已知1
cos 2
x =-,试根据下列条件求x : (1)x 是区间[,]ππ-的角 (2)所有的满足条件的x
2、求下列各式的值:(1)23arccos
(2))2
3
arccos(-。