获奖说课稿：导数的概念

导数的概念(说课稿)
人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ）
第三章第一节《导数的概念》
导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.
一、教材分析
1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.
1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.
1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：
表1. 知识主体结构比较
表2. 知识迁移类比（导数像速度）
通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.
1.4 重、难点剖析
重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解.
为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率
x
y
∆∆的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）
f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率
x
y
∆∆的极限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x )在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个．．关键词．．．
的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.
二、目的分析
2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.
2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:
知识目标：①理解导数的概念.
②掌握用定义求导数的方法.
③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.
能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.
②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.
情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观 点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.
三、过程分析
设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.
设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个 联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.
问题：割线的变化过程中， ①△x 与△y 有什么变化？②
x
y ∆∆有什么含义？③x y ∆∆在△x →0时是否存在极限？
3.2 概括抽象
设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f (x )在x 0处可导的定义．．，完成“导 数”概念的第一层次.
曲线的切线的斜率 抽象⇓舍去问题的具体含义
归结为一种形式相同的极限0lim
x y
x
∆→∆∆ 即
f ′(x 0)= 0lim x y
x ∆→∆∆=0000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆
（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表
示和数学语言表达能力.）
设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f (x )在开区间（a ，b ）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次.. ①研究：函数y =2x +5在下列各点的变化率：（1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 ②研究：函数y =x 2 在下列各点的变化率： （1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 定义：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．
. 3.4 类比拓展
设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：
物体在时刻t 0的速度： 00000()()lim
lim .t t s t t s t s
v t t
∆→∆→+∆-∆==∆∆
物体在时刻t 的速度．．
00()()
lim lim .t t s s t t s t v t t
∆→∆→∆+∆-==∆∆
新认知：
函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．
. ⇓点拨：映射→函数
对于（a ，b ）内每一个确定的值x 0，对应着一个确定的导数值)(0x f '，这样就在开区间（a ，b ）内构成一个新函数
⇓导函数（导数）
00()()
()lim
lim x x y f x x f x f x y x x
∆→∆→∆+∆-''===∆∆
3.5 概念导析
设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.
辨析：（1）f ′(x 0)与0(())f x '相等吗？
（2）000
(2)()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆与f ′(x 0) 相等吗？试讨论:f ′(x 0)与)(x f '区别与
联系.
反思：“f (x )在点x 0处的导数”，“f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数”和“导数”之间的区
别和联系.
板书：导数概念主体结构示意图
f (x )在点x 0处可导
↓
f (x )在开区间（a ，b ）内可导
↓
f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数
↓ 导数
3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值
设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.
想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？
（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？ k =00|)(x x y x f ='='或k =)(x f ' v 0＝00|)(t t s t s ='=' 或 v =)('t s
（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？
例题A 组：
①已知S =πr 2，求r
S ' ②已知V =
3
4π3
R ，求R
V ' ③已知y =x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x =2 例题B 组：
④已知y =
，求y '，并思考y '的定义域与函数在开区间可导的意义
3.7引导小结
设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等 方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.
知识结构：
（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f (x )在点x 0处的导数”，“导函数”和“导数” 之间的联系和区别.）；
（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；
（3）用定义求导的方法，步骤； （4）导数的作用.
3.8分层作业
设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.
必 做 题:
1.教材第114页，第2，3，4题. 2．若f ′(x 0)=a ， （1）求0000
()()
lim
x f x x f x x ∆→-∆-∆的值.
（2）求000
()()
lim x f x x f x x x
∆→+∆--∆∆的值.
思 考 题：
1.已知y =x 3 求 （1）y '；（2）y '︱x =0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.
2.讨论y =|x |在x =0处是否可导？ 选 做 题：
求证：如果函数y =f (x )在x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续.
四、教法分析
依据：循序渐进原则和可接受原则.
设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体.
教法：支架式过程法，即：a ×b =学习
a ：教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生.
b ：学生接受任务，探究问题，完成任务.
a ×
b ：以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织
和推动教学.
图3：a ×b =“导”×（“学”+“悟”）=“教”ד学”=学习 图4：
“
学”
接 受 | 探 究 |
完
成
4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x ，△y 和
x
y ∆∆, ——引导学生用函数的思想去认识f ′(x 0)向 f ′(x )拓展的过程. ——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系 “学”——通过具体的导数背景提出问题．．．．. ——通过类比、联想分析问题．．．．. ——通过交流，体验，反思解决问题．．．．
“悟”——通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出导数的本质.
4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为抽象出导数的概念作必要的准备.
4.3 板书设计
§3.1.3 导数的概念
（主线）
1. 定义：函数y=f(x)在x0处可导①研究
②研究
辨析
2. 定义：函数y=f(x)在（a，b）可导例题A组：
例题B组：3. 定义：函数y=f(x)在（a，b）内的导函数
（导数）
4. 区别与联系
5. 用导数的定义求f(x)在（a，b）内的导数的方法比较与鉴别
6. 小结（知识，方法，思想）区别与联系作业
五、评价分析
评价模式：围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨，又必须以科学的态度引导学生服从理性，追求真理.
主要手段：
1．通过“概念导析”，“回归与体验”，进行点评和互评，考察学生对“导数概念”及“导数运算”的掌握情况；考察学生归纳，抽象和概括的能力是否形成，并进行有争对性的及时调整和补充.
2．通过引导小结情况，考察学生是否突破了难点,及时调整“问题”导向.
3．通过分层作业的完成情况，考察的总体知识结构的同化过程是否完成；通过B组例题和思考题的完成情况，考察学生的数学符号表示和解决实际问题的能力是否形成.调整和补充下一课时的教程.对选做题的完成情况，主要评价优生的个体发展情形.
这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法，可能有不当之处，敬请各位专家批评与斧正，谢谢大家！
几点说明
.
本次说课有如下几个基本的特点.
1．“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.
对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”，“体会”，“感受”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.
2．在难点的突破上采取了有效的分解策略
．．．．．．．.
2.1．通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找准了“瞬时速度”与“导函数”，“速度”与“导数”的类比，为学生对导数的理解创设了
先机，打开学生从情感上认可和接受
．．．.
．．．．．．．．．．．．．“．导数
．．”．的通道
2.2．对导数概念中的几个“重要的关键词
．．．．．．”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析，搞清它们之间的区别和联系，才能使学生真正的理解“导数”，为学生同化“导数的概念”指明了方向.
2.3．在过程分析中设计了“回归体验”，强调注重学生对新知的体验，突出了导数的应用价值，有利于实现情感目标，加快了学生同化概念的进程.
2.4．在引导学生小结的过程中，考察学生是否突破了难点，以便进行及时的纠正和补充，分层作业中专门设计突破难点的习题，使突破难点得到了保证.
3．形式和内容得到统一，具有很强的操作性.
3.1．通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么？”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标；选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的，说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力，也不抹杀学生所具有创造性.
3.2．在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，
向学生渗透极限思想
．．．．．．，为抽象出导数的概念做了积极的准备，这是传统的黑板和粉笔难以做到的.二元一次不等式表示平面区域
一、教材分析
⒈教材的地位和作用
本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。

在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。

在这个基础上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。

这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。

通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

⒉教材的重点、难点和关键
教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。

为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法。

教学难点：准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域。

关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。

3．教学大纲对这部分内容的要求
了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。

4．教材的内容安排和处理
教参安排“简单的线性规划”这部分内容的授课时间为3课时,本课为第一课时。

根据学生的实际情况，在证明猜想时适当调整解题思路，多提供一种证明思路。

另外，适当加强应用部分的教学。

二、学生心理分析
高二学生在经过本章前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成。

他们厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行观察、思考的几何环境，给他们发表自己见解和表现才华的机会，希望教师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才华的机会。

三、教学目标分析
本着因材施教的原则，根据教学大纲和高考考试说明的要求，并结合我校学生的实际情况，我制定本
节课的教学目标如下：
知识目标：使学生掌握用二元一次不等式来表示平面区域。

能力目标：使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用代数方法（坐标、方程）讨论图形性质的能力，培养学生运用数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养学生综
合运用知识解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的
认知和元认知能力。

德育目标：（1）通过对推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生的辩证统一思想。

（2）培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。

创新素质目标：引导学生从已有知识中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力。

情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

以上五个目标的确定基于以下几点考虑：
(1)依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域的有关概念比较抽象，按高
二学生现有的知
识和认知水平难以透彻理解，故本节知识内容定为了解层次。

(2)本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材。

(3)与实际联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实
际问题的能力。

四、教学方法和教学手段
课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。

根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：
教学方法：我采用的主要是引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等。

（一）引导发现法
1.是符合辩证唯物主义观点；
2.是符合教学原则的；
3.能充分调动学生的主动性和积极性。

（二）探索讨论法
1.有利于学生对知识进行主动建构；
2.有利于突出重点、突破难点；
3.有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

（三）通过题组教学法，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养综合运用知识解决问题的意识。

教学手段：利用多媒体和教具等教学手段。

新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学。

五、学法指导
观察分析、联想转化、猜想证明。

通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳。

这样更有利于学生掌握知识；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。

六、教学过程
教
学
流
程
图
特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课
辅助知识产生、发展和突破重难点的优势。

七、教学评价的分析
1、这节课安排了导入新课、尝试探求、例题示范、变式训练、总结和作业等几个教学环节。

它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的的要求，完成教学任务的一种教学方法。

2、这节课是有一定的难度的概念作图课。

设计这堂课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕集合、化归、数形结合的数学思想方法这一主题来展开的。

这是因为用集合的观点和语言分析来描述几何图形问题，常能使问题更加清楚、准确。

本教案充分注意了运用这种观点和语言去分析直线和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

3、着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力是设计这堂课的出发点。

教学中注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所。

在整个教学过程的设计中，采用启导法，题组教学法等教学方法实施教学，注重引导学生，通过探索，有利于培养学生的创新能力，体现教育改革的时代精神。

4、教学中采用多媒体的手段，利用Flash、几何画板软件制作CAI课件，画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构。

5、时间大致安排：创设情境引入课题约3分钟，尝试探求证明约9分钟，例题示范约12分钟，题组练习约18分钟，小结作业3分钟。

当然，依据上课的具体情况可进行适当的调整。

谢谢指导
二元一次不等式表示平面区域。