高等数学§9.3.1-2三重积分的计算

例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz
z2dxdydczcz2dzdxd, y
D(z)
其 中 D ( z ) 为 平 面 z z 上 椭 圆 盘 ： 的 a x 2 2 b y 2 2 1 c z 2 2 ，
D(zd ) xdya1c z2 2b1c z2 2a(b 1c z2 2)
椭圆的长半轴 椭圆的短半轴
故 z 2 d x a c c d z 2 b ( 1 c z y 2 2 ) d d 1 4 z a z 5 3 。 b
所 得 的 平 面 闭 区 域 ，
z D(z)
c1
固定 z[c1,c2],在截面D(区 z)上 域 o

作二重 , 积分
x
(z) f(x,y,z)dxd, y
D(z)
z
c2
再 将 (z)在[c1,c2]上 作 定 积 z 分 D( z )
c2(z)d z c2( f(x,y,z)dx)d,yzc1
解 ： 两 曲 面 的 交 线 为
D2(z)
z x 2 a 2 y 2 x 2 a y 2 z x 2 z y 2 a a 2 ， D1(za)
o
y
x
V d x 0 a d d d z y x a 2 d a d d z d z y ， xdy
D 1 ( z )
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
（ 2 ） 为 由 曲 面 x 2 y 2 a 与 z 2 a x 2 y 2 ( a 0 )
所 围 成 的 封 闭 区 域 ， 求 的 体 积 V 。
课堂练习题：
2 ． 若 平 行 于 坐 标 轴 的 直 线 与 S 的 交 点 多 于 两 个 ， 则 可 把 分 成 几 块 处 理 。
例 1 ． 把 三 重 积 分 I f(x ,y ,z)d
x化 d 为 各 y种 d 次 序 z
z
的 三 次 积 分 ， 其 中 是 由 平 面 z 1 z1
及 锥 面 zx 2 y 2所 围 成 的 立 体 。
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
上 式 是 先 对 z ， 次 对 y ， 最 后 对 x 的 三 次 积 分 。
注 ： 1 ． 若 平 行 于 x轴 (或 y轴 )的 直 线 与 S 的 交 点 不 多 于
两 个 ， 则 同 样 可 把 投 影 到 yo 面 （ z或 xo 面 ） z 上 ， 得 到 先 对 x （ 或 y ） 的 积 分 。
o
y
所 围 成 的 空 间 闭 区 域 。
x
分 解 析 ： ： 被 { 积 x , 函 y , 数 z ( ) 中 a x 2 2 缺 变 b y 2 2 量 x 1 和 c z y 2 2 , ， c 用 z 平 c 行 } 于 ， x平 o 面 y
去 截 ， 其 截 面 是 椭 圆 。 故 用 “ 先 二 后 一 法 ” 。
0 a 6
三 、 利 用 对 称 性 简 化 三 重 积 分 的 计 算
1．设f(x,y,z)在 有 界 闭 上区连域 。 续 若关 于 yo面 z (或xo面 y,或xo面 z)对称，被积函数f(x,y,z) 关于变量
x（或z，或y）是奇函数，则f(x,y,z)dxdyd0z；
若f(x,y,z)关于变量x（或z，或y）是偶函数，则 三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。
注 : 1 ． f ( x , y , z ) d f v ( x , y , z ) d ， xd
直角坐标系下的体积元素
2 ． d x 的 d （ f ( x y , y 体 , z ) d 1 时 ） 。 z积
(3) 如果 f ( x, y, z)表示某物体在点( x, y, z)处的密度， 是该物体所占有的空间闭区域， f ( x, y, z)在上连续，
平 面 及 平 面 x 2 y z 1 所 围 成 的 闭 区 域 。 z
1
解 ： 在 x面 o 上 的 y 投 影 区 域 为
D x： y0 x 1 ,0 y 1 2 x .
o
1
y
1 1x 1x2y
1
2
xdx d0yddx0z2dy0 xdzx
1 x 1 2 x ( 1 d x 2 y ) d x 1 1 ( x y 2 x 2 x 3 ) d 1 。 x
c1
c1 D(z)
o
y
当 函 f(x,y数 ,z)在 上 连,则 续得 时 x
f(x,y,z)dv cc12dD z(z)f(x,y,z)dx.dy
〔先二后一法)
例 3 ． 计 算 三 重 积 分 z 2 dx ， dydzz
Dz
其 中 是 由 椭 球 面 a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1
n
和 式 f(i,i,i)vi， 记 dm{aV xi的 直 }， 若 径 极
i1
1in
n
限 lim f ( i , i , i ) v i存 在 ， 且 极 限 值 与 的 、 d 0 i 1
(i,i,i)的取法无关，则称f(x,y,z)在上可积，
并称此极限值为f(x,y,z)在上的三重积分，记作
② 先 对 x 积 分 z
D y ： 0 z z 1 ， z y z 。 z1
由 z x 2 y 2 解 得 x z 2 y 2 ， z x2y2
I 1 d z d z 2 z y 2 f y ( x , y , z ) d ， ox y 0 z z 2 y 2
y
将积分区 Ω向域 xO平 y 面
投影 ,得投影区 Dx域 y. x
(x, y) D xy
Ω {x ,( y ,z )z 1 (x ,y ) z z 2 (x ,y ) ,(x ,y ) D x}y
z1(x,y)z,2(x,y) C (D x)y.
过 D x 内 任 y 一 点 ( x ， y )作 平 行 于 z 轴 的 直 线 ， 此 直 线 与 S 1 和 S 2 的 交 点 的 立 坐 标 为 z 1 ( x ， y ) 和 z 2 ( x ， y )。
区域上重积分的两倍。
3 ． 若 将 x 换 为 y ， y 换 为 z ， z换 为 x ， 积 分 区 域 不 变 ，
x
或 I0dy1dzz2y2 f(x,y,z)dx 1 y z2y2 yz
z
1
D yz yz
1 1 z2y2
0dyydz
f(x,y,z)dx
z2y2
o
y
z
③ 先 对 y 积 分
z1
D x ： 0 z z 1 ， z x z 。
由 z x 2 y 2 解 得 y z 2 x 2 ， o z x2yy2
三重积分的计算
．1直角坐标系中三重积分的计算 一、三重积分的定义
设 f(x,y,z)是 空 间 有 界 闭 区 域 上的 有 界 函 数 ， 将
任 意 分 成 n个 小 闭 区 域 v1,v2, vn， 其 中 vi 表 示 第 i个 小 闭 区 域 ， 也 表 示 它 的 体 积 。 (i,i,i) vi， 作
0 0
4 0
48
〔二〕坐标轴投影法 (截面法)
将 空 向 间 z轴 区 ,投 得 域 影 到[投 c1,c2]影 . 区
设 ( x , y , z ) ( x , y ) D ( z ) c 1 z , c 2 ， z
其 中 D ( z )是 用 平 面 z = z 截 闭 区 域 c 2
Dxy
2dR si n (R 22)2si n d 00
2(R5si3n R5si5n )si n d
03
5
R 5(131 1531 )R 5. 342256422 32
（ 2 ） 为 由 曲 面 x 2 y 2 a 与 z 2 a x 2 y 2 ( a 0 )
z
所 围 成 的 封 闭 区 域 ， 求 的 体 积 V 。 2a
D 2 ( z )
当 0 z a ， 区 域 D 1 ( z ) 为 x 2 y 2 a ， z 面 积 为 a ； z
当 a z 2 a ， 区 域 D 2 ( z )为 x 2 y 2 ( 2 a z ) 2 ， 面 积 为 ( 2 a z ) 2 ，
故 V a a 2 a ( 2 a z ) 2 d 5 a 3 d 。 z
I 1 d z d z 2 z x 2 f x ( x , y , z ) d ， x y 0 z z 2 x 2 z
或 I0dx1dzz2x2 f(x,y,z)dy
1
1 x z2x2
xz D yzxz
1 1 z2x2
dxdz
f(x,y,z)dy
0 x z2x2
o
x
例 2 ． 计 算 三 重 积 分 x d ， x 其 中 d 为 三 y 个 d 坐 标 z
则，物体m 的 i n 1f质 (i, i,量 i) vi
n
m f(x ,y ,z)d lv d 0 i i 1 m f( i, i, i) v i。
二、三重积分的计算 z
〔一〕坐标面投影法〔细棒法〕
zz2(x,y)
S 2 P2
设 平 行 于 z 轴 且 穿 过 闭 区
域 S 的 交 的 点 直 不 线 多 与 于 两 的 个 边 ， 界 曲 面 o S 1 zP1 z1(x,y)
z x2y2
解 ： ① 先 对 z 积 o 分 1 y
或 I I D x 1 1 1 1 d ： d x 2 1 1 1 1 x y y x 2 y y 2 2 2 2 d d 1 x y 。 1 1 x x 2 2 x y y 2 2 f f y ( ( x x , , y y , z , z ) ) d d x， ； 11 z oy Dyz xyy 111xxx22
f(x,y,z)dv，
n
即 f(x ,y ,z ） d d l v i 0 i m 1 f （ i, i, i） v i，
其 中 d称 v 为 体 积 元 素 。
在直角坐标用 系平 中行 ，于 如坐 果划 标分 面 ,
则 vi x j yk zl,
其中dxdyd叫z 做直角坐标系积中元的.素体
先固(x定 ,y)Dxy,作定积分
F(x, y) z2(x,y)f(x,y,z)d,z z1(x,y)
然 后 将 F ( x ,y )在 D x上 y 作 二 重 积 分
F ( x ,y ) d [z 2 (x ,y )f( x ,y ,z ) d ] d z ，
D x y
D xz 1 y (x ,y )