数学_2014年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2014年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，设集合P＝{1, 2, 3, 4}，Q＝{3, 4, 5}，则P∩(∁U Q)＝
（）
A {1, 2, 3, 4, 6}
B {1, 2, 3, 4, 5}
C {1, 2, 5}
D {1, 2}
2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55．若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A 众数
B 平均数
C 中位数
D 标准差
3. 已知i是虚数单位，若3+i
z
=1−i，则z的共轭复数为（）
A 1−2i
B 2−4i
C √2−2√2i
D 1+2i
4. 设l是直线，α，β是两个不同的平面（）
A 若l // α，l // β，则α // β
B 若l // α，l⊥β，则α⊥β
C 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D 若α⊥β，l // α，则l⊥β
5. 函数y＝2sin(πx
6−π
3
)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为（）
A 2+√3
B 4
C 3
D 2−√3
6. “a≤0”是函数f(x)=|x(2−ax)|在区间(0, +∞)内单调递增”的（）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线C1:x2
a2−y2
b2
=1(a>0， b>0)的离心率为2，若抛物线C2:x2=2py(p>0)的
焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A x2=8√3
3y B x2=16√3
3
y C x2=8y D x2=16y
8. 已知f(x)=x3−6x2+9x−abc，a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)=0．现给出如下结论：
①f(0)f(1)>0；
②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；
④f(0)f(3)<0．
其中正确结论的序号是（）
A ①③
B ①④
C ②③
D ②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知变量x、y满足条件{
x≥1
x−y≤0
x+2y−9≤0
则z=x+y的最大值是________．
10. 经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是________．
11. 曲线y=xe x+2x+1在点(0, 1)处的切线方程为________．
12. 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln(1+1
n
)，则a5=________．
13. 已知平面向量a →=(2, 4)，b →=(1, −2)，若c →=a →−(a →⋅b →)b →，则|c →
|=________．
14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1:y ＝x 2+a 到直线l:y ＝x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y +4)2＝2到直线l:y ＝x 的距离，则实数a ＝________94 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ．
(1)求角B 的大小；
(2)若b =3，sinC =2sinA ，求△ABC 的面积． 16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90∘．
（1）证明：AC =BC ；
（2）证明：AB ⊥PC ；
（3）若PC =4，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P −ABC 体积．
17. 汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．
(1)求z 的值；
(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，
9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
18. 设函数f n (x)＝x n +bx +c(n ∈N ∗, b, c ∈R)
(Ⅰ)设n ≥2，b ＝1，c ＝−1，证明：f n (x)在区间(12,1)内存在唯一的零点；
(Ⅱ)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[−1, 1]，均有|f 2(x 1)−f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围．
19. 已知椭圆C 1:x 2
4+y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
（1）求椭圆C 2的方程；
（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →=2OA →
，求直线AB 的方程．
20. 对于项数为m 的有穷数列数集{a n }，记b k =max{a 1, a 2, ..., a k }(k =1, 2,…,m)，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．
（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}；（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m−k+1=C(C为常数，k=1，2，…，m)．求证：b k=a k(k=1, 2,…,m)．
2014年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）答案
1. D
2. D
3. A
4. B
5. A
6. C
7. D
8. C
9. 6
10. x−y+1=0
11. y=3x+1
12. ln5+2
13. 8√2
14. 9
4
15. 解：(1)在△ABC中，∵ bsinA=√3acosB，
∴ 由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB．
∵ sinA≠0，∴ sinB=√3cosB，∴ tanB=√3，∴ B=π
3
．
(2)∵ sinC=2sinA，∴ c=2a，
由余弦定理b2=a2+c2−2ac⋅cosB，即9=a2+4a2−2a⋅2a⋅cosπ
3
，
解得a=√3，c=2a=2√3．
故△ABC的面积为1
2ac⋅sinB=3√3
2
．
16. 解：（1）证明：∵ △PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90∘，
∴ Rt△PBC≅Rt△PAC，可得AC=BC；
（2）如图，取AB的中点D，连结PD，CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
∴ AB⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，
∴ AB⊥PC；
（3）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．
∵ △PAB是等边三角形，∴ AE⊥PC，
同理BE⊥PC，∠AEB为二面角B−PC−A的平面角，且AE=BE．
∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，∴ ∠AEB =90∘．
∴ △AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形．
又PC =4，得AE =BE =2，∴ △AEB 的面积S =2．
∵ PC ⊥平面AEB ，
∴ V P−ABC =13×2×4=83．
17. 解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，
由题意得50n =10100+300，
∴ n =2000，
∴ z =2000−(100+300)−150−450−600=400．
(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，
由题意，得a =2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，
用B 1，B 2，B 3表示3辆标准轿车，
用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：
(A 1, A 2)，(A 1B 1)，(A 1B 2)，
（A 1, B 3,），(A 2, B 1)，(A 2, B 2)(A 2, B 3)，
(B 1B 2)，（B 1, B 3,），(B 2, B 3)，共10个，
事件E 包含的基本事件有：
(A 1A 2)，（A 1, B 1,），(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，
(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 2, B 3)，共7个，
故 P(E)=710，
即所求概率为710
． (3)样本平均数x ¯=18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9．
设D 表示事件“从样本中任取一数，
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，
事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个， ∴ P(D)=68=34，即所求概率为34． 18. （1）n ≥2，b ＝1，c ＝−1时，f n (x)＝x n +x −1，
∵ f n (12)⋅f n (1)=(12n −12)×1<0，
∴ f n (x)在区间(12,1)内存在零点，
又f ′n (x)=nx n−1+1>0，
∴ f n (x)在区间(12, 1)上是单调递增函数，
故f n (x)在区间(12,1)内存在唯一的零点； （2）当n ＝2时，f 2(x)=x 2+bx +c ，
对任意的x 1，x 2∈[−1, 1]，均有|f 2(x 1)−f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x)在[−1, 1]上的最大值与最小值之差M ＝f(x)max −f(x)min ≤4，
据此分类讨论如下：
（1）当|b 2|>1，即|b|>2时，M ＝|f 2(1)−f 2(−1)|＝2|b|>4，与题设矛盾；
（2）当−1≤−b 2<0，即0<b ≤2时，M =f 2(1)−f 2(−b 2)=(b 2+1)2≤4恒成立； （3）当0<−b 2≤1，即−2≤b ≤0时，M =f 2(−1)−f 2(−b 2)=(b 2−1)2≤4恒成立； 综上知−2≤b ≤2．
19. 椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4，离心率为e =c a =√32
∵ 椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率
∴ 椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b ＝4，为e =c a =
√32 ∴ b ＝2，a ＝4
∴ 椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1；
设A ，B 的坐标分别为(x A , y A )，(x B , y B )，
∵ OB →=2OA →
∴ O ，A ，B 三点共线，
当斜率不存在时，OB →=2OA →不成立，∴ 点A ，B 不在y 轴上 当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx
将y ＝kx 代入x 24+y 2=1，消元可得(1+4k 2)x 2＝4，∴ x A 2=41+4k 2 将y ＝kx 代入y 216+
x 24=1，消元可得(4+k 2)x 2＝16，∴ x B 2=164+k 2 ∵ OB →=2OA →，∴ x B 2=4x A 2，
∴ 16
4+k 2=161+4k 2，解得k ＝±1，
∴ AB 的方程为y ＝±x
20. （1）解：数列{a n }为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．
（2）证明：因为b k =max{a 1, a 2, ..., a k }，b k+1=max{a 1, a 2, ..., a k , a k+1}，所以b k+1≥b k ．
因为a k +b m−k+1=C ，a k+1+b m−k =C ，
所以a k+1−a k =b m−k+1−b m−k ≥0，即a k+1≥a k ．
因此，b k =a k ．。