线代作业完整版

作业成绩
班级 姓名 序号
第1次作业 行列式的性质
本次作业目的
熟悉行列式的性质；会用化三角法计算简单行列式。

1. 用行列式性质证明下列等式：
(1) 1111111
1
2222222
3333333a kb b c c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++23
； 证 (2) 2y z z x x y x y
z x y
y z z x z x y z x
x y
y z y
z
x ++++++=+++； 证
(3)
()()()()()()()()()()()()222222222222
222
2
1231230123123a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++。

证
作业
成绩班级姓名序号
第2次作业行列式展开克莱姆法则
本次作业目的
熟悉行列式展开法则和克莱姆法则；会熟练应
用展开法则计算行列式；会用克莱姆法则解低阶方
程组，讨论方程组的解。

1.
1121
2341
3412
4206
D
−
−
=
−
，求
313234
2
A A A
++。

解
2. 计算下列行列式：
(1) 1111 1111 1111 1111
x
x
y
y
+
−
+
−
；
解(2)
222
b c c a a b
a b c
a b c
+++
；解
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第3次作业 矩阵及其运算
本次作业目的
掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置和方阵的行列式及其运算规律。

1. 计算：
(1) ；
()123223−⎛⎞⎜⎟
−⎜⎟⎜⎟⎝⎠解
(2) 111213112
312
2223213
32
333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⎞⎟
⎟⎟⎠。

解
2. 设，求3
111123111,124111051⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−=−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A B AB 解
3. 已知11(1,2,3),1,,23⎛⎞
==⎜⎝⎠
αβ⎟，矩阵=A T αβ，
其中T α是α的转置，求(为正整数)。

n A n 解
4.设α为3维列向量，且
111111111T −⎛⎞
⎜⎟
=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠αα，
求T αα。

解
5. 设,A B 都是阶对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是。

n =AB BA 证
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第4次作业 逆矩阵 分块矩阵
本次作业目的
理解逆矩阵的概念和运算性质；掌握用伴随矩阵计算逆矩阵的方法；熟知用分块矩阵计算行列式和逆矩阵的相关结论。

1. 求下列矩阵的逆矩阵：
(1) ；
1225⎛⎞⎜⎟⎝⎠解
(2) ；
121342541−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
解
(3) 。

()12120n
a a a a a ⎛⎞⎜⎟
⎜⎟≠⎜⎟"%解
2. 设方阵满足A 22−−=A A E O ，证明：及A 2+A E 都可逆。

证
3. 若三阶矩阵的伴随矩阵为，已知A ∗A 1
2
=A ，求1(3)2−∗−A A 。

解
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成绩
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第5次作业 矩阵的初等变换 矩阵的秩
本次作业目的
熟悉初等变换和初等矩阵的概念；熟悉初等矩阵的几个重要结论及初等变换和初等矩阵的对应关系；会用初等变换化矩阵为行阶梯和行最简形；理解、掌握用初等变换求逆矩阵、解矩阵方程的方法；理解矩阵秩的概念；会用初等变换法求矩阵的秩。

1. 设⎜⎟⎜⎟，求。

010101123100010456001001789⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟
=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
A A 解
2. 把下列矩阵化为行最简形矩阵：
11343335412232033421−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟
−−−⎝⎠。

解
3. 设110011,2101−⎛⎞⎜⎟
=−=+⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
A AX X A ，求。

X 解
4.
20002001
100123001010234010021345100⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
= 。

解
5. 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得到，再把的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为 A A B B C AQ =C Q 。

(A) (B)
010100101⎛⎞⎜⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟010101001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⎟⎟(C) (D)
010100011⎛⎞⎜⎜⎜⎟⎝⎠011100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
解
6. 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
310211211344⎛⎞⎜⎟
−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠。

解
7. 设矩阵3216230
1111331
2λ
µ−−⎛⎞
⎜
⎟−⎜
⎟
=⎜⎟−−⎜
⎟−⎝⎠
A ,，其中λµ为参数，求矩阵的秩的最大值和最小值。

A 解
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第6次作业 线性方程组的解 线性相关性
本次作业目的
理解线性方程组解的判定定理；熟练掌握应用解的判定定理讨论线性方程组解的方法；理解向量组线性相关或线性无关的概念；熟知线性相关性的几个重要结论；掌握判定向量组线性相关性的方法。

1. 确定的值，使非齐次线性方程组
,a b 12323123 21, (1) 0,
(1)32ax bx x b x x ax bx b x b ++=⎧⎪
−+=⎨⎪++−=−⎩ 有解，并求其解。

解
2. 已知向量组
1201:1,10⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
A αα1321；
12311:0,2,11−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠
B βββ，
证明向量组与向量组等价。

A B 证
3. 设有向量
012321111,1,1,111λλλλλ⎛⎞+⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
==+==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠αααβ， 试问当λ取何值时，
(1) β可由123,,ααα唯一线性表示；
(2) β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； (3) β不能由123,,ααα线性表示。

解
4. 判断下列向量组的线性相关性：
(1)； 123(1,0,1),(2,2,0),(3,5,2)T T =−=−=−αααT T (2)123(1,1,3,1),(3,1,2,4),(2,2,7,1)T T ==−=−ααα. 解
5. 设1121212,,,r ==+=++"βαβααβααr +"α,且向量组12,,,r "ααα线性无关，证明向量组12,,ββ ,r "β线性无关。

证
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第7次作业 向量组的秩 向量空间
本次作业目的
理解最大无关组和向量组的秩的概念；会求最大无关组和向量组的秩；了解向量空间、基、维数和坐标等概念。

1. 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示：
(1) 1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,T T T
====αααα3)T
−；
(2) 123=α(3,1,1,(2,1,1,1),(1,1,7,10),T T
==−αα− 42),(8,5,9,11)T
T
−=α。

解
2. 设维向量组n 1234,,,αααα的秩为4，求向量组
111=k +2βαα，222=k +3βαα，333=k +4βαα的
秩。

解
T −3. 是否为的一个基？若是，请将
用这个基线性表示。

123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)T T =−==ααα3\12(5,0,7),(9,8,T ==−νν13)T −解
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第8次作业 线性方程组解的结构
本次作业目的
理解齐次线性方程组的解空间和基础解系的概念；熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系和通解的方法；熟知非齐次线性方程组的通解结构；熟悉求解、讨论非齐次线性方程组的方法。

1. 求非齐次线性方程组
12
12341
234 5,225322x x x x x x x x x x +=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩1,3
的用基础解系表示的通解。

解
2. 设四元非齐次线性方程的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且
123,45⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠η231234⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
ηη， 求该方程组的通解。

解
⎟
⎟3. 设矩阵，齐次线性方程组121201101t t t ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠A Ax
=0的基础解系含有2个线性无关的解向量，试求
方程组的全部解。

=0Ax 解
4. ，如果121
120101
3
1,1,11101λµ
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎜⎟
−⎜
⎟⎜⎟
⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠⎝⎠
−⎝⎠
A b η=η是
方程组=Ax b 的一个解，试求方程组=Ax b 的全部解。

解
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第9次作业 特征值与特征向量 相似矩阵与对角化
本次作业目的
理解、掌握求特征值和特征向量的方法；熟悉特征值和特征向量的常用性质；了解相似矩阵的概念；熟知相似矩阵的几个重要结论；熟悉、掌握矩阵可相似对角化的各种条件。

1. 求矩阵的特征值及特征向量。

123213336⎛⎞⎜⎟
⎜⎜⎟⎝⎠⎟解
2. 已知0λ=是矩阵的特征值，
求的特征值和特征向量。

10102010a ⎛⎞
⎜=⎜⎜⎟⎝⎠
A ⎟
⎟A 解
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第10次作业 正交矩阵 实对称矩阵的相似对角化
本次作业目的
了解正交矩阵的概念、性质及正交变换的特点；了解正交规范化的施密特方法；熟练掌握实对称矩阵的对角化方法。

1. 将向量组正交规范
化。

123101,1,011⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
ααα01解
2. 下列矩阵是否为正交矩阵：
(1) 11123112211132⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠1；(2) 184999
814999
447999⎛⎞
−
−⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠。

解
3. 证明：正交矩阵的特征值的绝对值等于1。

A 证
4. 将矩阵用下列两种方法对角化：
102012220−⎛⎞
⎜=⎜⎜⎟⎝⎠
A ⎟
⎟(1) 求可逆阵P ，使1−=P AP Λ； (2) 求正交阵，使。

Q 1−=Q AQ Λ解
⎞⎟
=⎟⎟⎠
5. 已知，且方程组11111,1112a a a ⎛⎞⎛⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A β=Ax
β有解但不唯一，试求：
(1) 的值；
a (2) 正交矩阵Q ，使为对角形。

T Q AQ 解
8. 设三阶对称矩阵的特征值为
A 121,1,λλ==−30λ=，对应12,λλ的特征向量依次为
12122,122⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠
p p ，
求。

A 解
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第11次作业 二次型及标准形 正定二次型
本次作业目的
了解二次型及其标准形概念；熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法；了解二次型的规范形及惯性定理；理解二次型的正定性概念；掌握正定性的判别法。

1. 用矩阵记号表示二次型
2224424f x y z xy xz y =+++++z 。

解
2. 写出二次型123()456789T f x x x ⎛⎞
⎜=⎜⎜⎟⎝⎠
⎟
⎟3的矩阵。

解
3. 求正交变换将二次型 22
1231
2(,,)553f x x x x x =++2
312132266x x x x x x x −+−化为标准形，并指出1(,f x
表示何种曲面。

23,)1x x =解
4. 已知二次型2221
2312135526f x x cx x x x x =++−+− 236x x 的秩为2，求，并用正交变换化二次型为标
准形。

c 解
5. 将二次型123122334
(,,)2222
f x x x x x x x x x
=+++ 41
x x化为规范形，并指出其正惯性指数及秩。

解6. 判别二次型222
12312312
(,,)2642
f x x x x x x x x
=−−−+ 13
2x x
+的正定性。

解
7. 求的值，使二次型
a222
123123
(,,)5
f x x x x x x
=+++
为正定。

121323
224
ax x x x x x
−+
解。