北师大版八年级数学上册《5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数》 同步练习

5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数
一．选择题
1．今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，商品的价格为y，依题意可列方程组为（）
A．B．
C．D．
2．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）
A．B．
C．D．
3．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，其中A型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克．若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，且购进两种粽子共用了2560元．设购进A型粽子x千克，B型粽子y千克，则可列方程为（）
A．B．
C．D．
4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，若分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）
A．B．
C．D．
5．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：
捐款（元）35810人数2■■31表格中捐款5元和8元的人数不小心技墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（）
A．B．
C．D．
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？如果设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，可列出下方程组是（）
A．
B．
C．
D．
8．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（）A．B．
C．D．
9．一道来自课本的习题：甲乙两人相距27km．若两人同时出发相向而行，则出发1.5h相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发30min，则乙出发70min后两人相遇，求甲乙
两人的速度．嘉琪将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是（）
A．0.3x+0.7y＝27B．x+y＝27
C．x+y＝27D．x+y＝27
10．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，可列方程组为（）
A．
B．
C．
D．
11．A地至B地的航线长9360km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机无风时的平均速度是（）
A．720km B．750km C．765km D．780km 12．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为（）
A．10两B．11两C．12两D．13两
13．如图，有四个相同的小长方形和两个相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长与宽的差是（）
A．B．﹣C．D．2m﹣3n
14．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最
远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）
A．120km B．140km C．160km D．180km
15．小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．
A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm
二．填空题
16．街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有名环卫工人．
17．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知B（﹣8，5），则点A的坐标是．
18．某图书馆分两次购进一批图书．第一次购买了A、B两种经典名著若干本，用去5890元；第二次购买了C、D两种现代文学若干本，用去3770元，其中A、B两种图书的数量分别与C、D两种图书的数量相等，且A种图书与D种图书的进价相同，B种图书与C种图书的进价相同．若A、B两种图书的进价之和为105元，则该图书馆购进的这一批图书共有本．
19．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果甲乙同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果甲乙同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．则甲每分钟跑圈．
20．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AD＝12cm，BE＝4cm，则一个小长方形的面积为．
21．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？
设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为．
22．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是．23．甲、乙两种车辆运土，已知5辆甲车和四辆乙车一次可运土140立方米，3辆甲车和2辆乙车一次可运土76立方米，若每辆甲车每次运土x立方米，每辆乙车每次运土y立方米，则可列方程组．
24．一个两位数的十位数字与个位数字的和是13，把这个两位数减去27，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数为．
25．解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．则甲带了钱．
三．解答题
26．某景点的门票价格如下表：
购票人数（人）1～5051～99100以上（含100）门票单价（元）484542
（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？
（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？
27．哈美加在疫情期间决定往灾区捐赠物资，租用了甲和乙两种型号的货车，将已经装箱的药品、食品、日用品运往灾区，每辆车中均装有药品、食品、日用品，其中甲货车总共装箱400箱，药品的箱数占甲车总箱数的．
（1）甲货车中药品多少箱？
（2）若乙货车的总箱数比甲货车的总箱数多，且乙货车中食品箱数占乙货车总箱数的一半，求乙货车中食品有多少箱？
（3）在（1）、（2）的条件下，甲货车中日用品的箱数是乙货车中日用品的箱数的，到灾区两车救灾物资在一起，此时日用品的箱数占两车总箱数的，求甲货车中食品有多少箱？
28．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．
（1）分别求出甲乙两款积木的进价；
（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木
获取的总利润恰为5760元．
29．某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，需要205元．
（1）求A、B两种纪念品的购进单价；
（2）已知商店购进两种纪念品（A、B都要有）共花费750元，那么该商店购进这A、B 两种纪念品有几种可行的方案，并写出具体的购买方案．
30．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴的正半轴上，坐标为（0，a），点B在x轴的负半轴上，坐标为（b，0），同时a、b满足．连接AB，且AB＝10．点D是x轴正半轴上的一个动点，点E是线段AB上的一个动点，连接DE．（1）求A、B两点坐标；
（2）若∠BED＝90°，点D的横坐标为x，线段DE的长为d，请用含x的式子表示d；
（3）若∠BED＝100°，AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE相交于点F，求∠F的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：设有x人，商品的价格为y，
依题意，得．
故选：D．
2．解：由题意可得，
，
故选：A．
3．解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，
根据题意，得，
故选：D．
4．解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，所以可得方程组：．
故选：D．
5．解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：
，即．
故选：A．
6．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
依题意，得：．
故选：C．
7．解：甲种盐水的浓度为x，乙种盐水的浓度为y，
依题意有，
故选：A．
8．解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，
由“这个长方形的长比宽多10cm”得到方程：x﹣y＝10．
由长方形的周长是80cm得到方程：2x+2y＝80．
所以由题意可得方程组，，
故选：B．
9．解：设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是：
（+）x+y＝27，
整理得：x+y＝27．
故选：C．
10．解：设现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，
根据题意得：，
故选：B．
11．解：设飞机无风时的平均速度是akm/h，风速为bkm/h，
，
解得，，
即飞机无风时的速度为750km/h，
故选：B．
12．解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，
依题意，得：，
解得：，
∴＝＝11．
故选：B．
13．解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：m+y﹣x＝n+x﹣y，即2x﹣2y＝m﹣n，
整理得：x﹣y＝．
则小长方形的长与宽的差是．
故选：C．
14．解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得：．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车耗油量为ykm，也即甲车注入燃料量为ykm，注入后甲车剩余ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB（105+70）÷2＝140（km）．
故选：B．
15．解：设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，
依题意，得：，
解得：，
∴x+（50﹣1）y＝56．
故选：B．
二．填空题（
16．解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：8．
17．解：设长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意，得：，
解得：，
∴x﹣y＝3，x+2y＝6，
∴点A的坐标为（﹣3，6）．
故答案为：（﹣3，6）．
18．解：设购进A种图书x本，B种图书y本，A种图书的单价为a元，则购进C种图书x 本，D种图书y本，B种图书的单价为（105﹣a）元，C种图书的单价为（105﹣a）元，D种图书的单价为a元，
依题意，得：，
由①+②，得：105（x+y）＝5890+3770，
∴x+y＝92，
∴2（x+y）＝184．
故答案为：184．
19．解：设甲的速度为x圈/分钟，乙的速度为y圈/分钟，
依题意，得：或，
解得：或．
故答案为：或．
20．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：，
解得：，
∴小长方形的面积＝2×6＝12（cm2）．
故答案为：12cm2．
21．解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，
故答案为：．
22．解：根据题意，得
．
故答案为：．
23．解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，由题意得，，
故答案为：．
24．解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：，
解得：，
∴10x+y＝85．
故答案为85．
25．解：设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，
根据题意，得，
解得：
故答案为：36．
三．解答题
26．解：（1）设七年级1有x名学生，2班有y名学生，由题意得：，
解得：，
答：七年级1有49名学生，2班有53名学生；
（2）设八年级报名x人，九年级报名y人，
分两种情况：
①若x+y＜100，
由题意得：，
解得：，（不合题意舍去）；
②若x+y≥100，
由题意得：，，
解得：，符合题意；
答：八年级报名48人，九年级报名58人．
27．解：（1）400×＝100（箱），
答：甲货车中药品100箱；
（2）400×（1+）＝600（箱），600×＝300（箱），
答：乙货车中食品有300箱；
（3）甲货车和乙货车共有：400+600＝1000（箱），1000×＝280（箱），设甲货车中日用品为x箱，乙货车中日用品为y箱，
由题意得：，
解得：，
即甲货车中日用品为120箱，
则甲货车中食品的箱数为：400﹣100﹣120＝180（箱），
答：甲货车中食品有180箱．
28．解：（1）设甲款积木的进价为每盒x元，乙款积木的进价为每盒y元，则
，
解得：，
答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元；
（2）由题可得：（80﹣m）（40+2m）+24×40＝5760，
解得m1＝20，m2＝40．
因为顾客能获取更多的优惠，
所以m＝40．
29．解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，依题意，得：，
解得：．
答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，
依题意，得：15x+13y＝750，
∴x＝50﹣y．
∵x，y均为正整数，
∴y为15的倍数，
∴或或，
∴该商店共有3种进货方案，方案1：购进37件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进24件A种纪念品，30件B种纪念品；方案3：购进11件A种纪念品，45件B种纪念品．
30．解：（1）∵a、b满足，
∴解方程组得，，
∴点A坐标为（0，8），点B坐标为（﹣6，0）；
（2）如图1，连接AD，
∵A（0，8），B（﹣6，0），
∴OA＝8，OB＝6，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝10．
∵点D是x轴正半轴上的一个动点，点D的横坐标为x，
∴OD＝x，
∴BD＝6+x，
∵AB＝10，DE＝d，∠BED＝90°，
∴S△BAD＝AB•DE＝BD•OA，
∴10d＝8（6+x），
∴d＝x+（x＞0）；
（3）如图2，延长AF，交BD于点C，
∵AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE，
∴∠CAO＝∠BAO，∠CDF＝∠BDE，
∵∠BED＝100°，∠BOA＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE
＝80°﹣∠BDE，
又∵∠ABD＝90°﹣∠BAO，
∴80°﹣∠BDE＝90°﹣∠BAO，
∴∠BAO﹣∠BDE＝10°，
∵∠ACD＝90°﹣∠CAO＝90°﹣∠BAO，∴∠AFD＝180°﹣∠CFD
＝∠ACD+∠CDF
＝90°﹣∠BAO+∠BDE
＝90°﹣（∠BAO﹣∠BDE）
＝90°﹣×10°
＝85°．。