直线和方程（经典例题）

直线和⽅程（经典例题）

直线与⽅程

知识点复习：⼀、直线与⽅程

（1）直线的倾斜⾓

定义：x 轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。特别地，当直线与x 轴平⾏或重合时,我们规定它的倾斜⾓为0度。因此，倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜⾓不是90°的直线，它的倾斜⾓的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常⽤k 表⽰。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当[

)

90,0∈α时，0≥k ；当(

)

180,90∈α时，0

90=α时，k 不存

在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下⾯四点：(1)当21x x =时，公式右边⽆意义，直线的斜率不存在，倾斜⾓为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序⽆关；(3)以后求斜率可不通过倾斜⾓⽽由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜⾓可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线⽅程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的⽅程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的⽅程不能⽤点斜式表⽰．但因l 上每⼀点的横坐标都等于x 1，所以它的⽅程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：

1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤⼀般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适⽤范围○2特殊的⽅程如：平⾏于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平⾏于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系⽅程：即具有某⼀共同性质的直线（⼀）平⾏直线系

平⾏于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数）

（⼆）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:

1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系⽅程

为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。（6）两直线平⾏与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

注意：利⽤斜率判断直线的平⾏与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即⽅程组??

=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的⼀组解。⽅程组⽆解21//l l ? ；⽅程组有⽆数解?1l 与2l 重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平⾯直⾓坐标系中的两个点，

则||AB

（9）点到直线距离公式：⼀点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B

A C By Ax d +++=

（10）两平⾏直线距离公式

在任⼀直线上任取⼀点，再转化为点到直线的距离进⾏求解。

典型例题

例1. 已知直线过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成三⾓形⾯积为5，求直线l 的⽅程。

解：

设直线的截距式⽅程为：

x a y

b +=1

则有-+-==??

54

1125a b

ab ?==-a b 52，或，a b =-=524

∴-+=--=直线⽅程为或852*******x y x y

例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点．（1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜⾓的取值范围．

分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜⾓应介于直线PB 的倾斜⾓与直线PA 的倾斜⾓之间，所以，当l 的倾斜⾓⼩于90°

时，有PB k k ≥；当l 的倾斜⾓⼤于90°时，则有PA k k ≤．

解：如图1，有分析知

=PA

k 23)1(4----＝－1， =PB k 23)

1(2---＝3．

∴（1）1-≤k 或3≤k ．（2）arctan3≤α≤

43π

．

说明：容易错误地写成－1≤k ≤3，原因是或误以为正切函数在[)π,0上单调递增．

例3 若三点A )3,2(-，B )2,3(-，C ),2

1(m 共线，求m 的值．分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．解答：由A 、B 、C 三点共线，则AC AB k k =．∴

22

13

2332+-=+--m ，解得21=m ．说明：由三点共线求其中参数m 的⽅法很多，如两点间的距离公式，定⽐分点坐标公式，⾯积公式等，但⽤斜率公式求m 的⽅法最简便．

例4. 在直线上求⼀点，使点到两点（，），（，）的3101120x y P P -+=- 距离相等。

分析：（1）设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1，故点P 的坐标为（x ，3x ＋1），由距离公式

图1

x

得x 的⽅程，解得x ＝0。

（2）设P （x ，y ），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线⽅程为x ＋y －1＝0，再解⽅程组得P （0，1）。

解法1：设P （x ，y ），则有y ＝3x ＋1 故点P 的坐标为（x ，3x ＋1）

()()()()由距离公式得：

x x x x -++=

-++13223122

22

解之得：x ＝0

∴所求的点为P （0，1）

解法2：设P （x ，y ），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线⽅程为： x y +-=<>10

1 ⼜3102x y -+=<>

解由<1>、<2>组成的⽅程组得：P （0，1）

练习:

1. 直线ax by ab +=≠10()与两坐标轴围成的三⾓形的⾯积是（）

A. 1

2ab

B.

12

ab C. 1