新教材人教B版必修第二册 4.5 增长速度的比较 课件(29张)
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Δy (3)理解：自变量每增加 1 个单位，函数值将增加__Δ_x___个单位． (4)应用：比较函数值变化的快慢．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
思 考 ： 对 于 函 数 f(x) ＝ x ＋ 1 ， g(x) ＝ 4x － 3 ， 当 Δx 足 够 大 时 ， 对 于 x∈R，f(x0＋Δx)，g(x0＋Δx)的大小关系能确定吗？
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
题型 三 函数增长速度的应用
典例剖析
数学（必修·第二册 RJB）
角度1 增长曲线的选择
典例 3 高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰 了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函
数V＝f(h)的大致图像是
( B)
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[辨析] 四类增长函数模型是有前提的：一次函数模型中要求k＞0， 指数、对数函数模型要求底数a＞1，幂函数模型要求指数n＞0.当一次函 数模型中k＜0，指数、对数函数模型中底数0＜a＜1，幂函数模型中n＜0 时，四类函数模型都是衰减的．
[正解] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次 项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．
[3,4]
上
的
平
均
变
Fra Baidu bibliotek
化
率
为
43444－－3－3 1＝192，所以当自变量每增加 1 个单位时，区间的左端点越大，
函数值增加越快．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用 (1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比 较函数值增加的快慢． (2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率 的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．
学法解读
1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增 通过本节课的学习，使学 长速度．
生体会常见函数的增长速 2．比较对数函数、一元一次函数、指数函
度，提升学生数学抽象、 数增长速度的差异，理解“对数增长”“直
逻辑推理等素养． 线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．
(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时， g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
log31＋1a＜log31＋11＝log32＜log33＝1＜6， 因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最
小．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：不同函数平均变化率大小的比较 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函 数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率 的大小．
数学（必修·第二册 RJB）
典例剖析
易错警示
典例 5 下列四种说法中，正确的是 A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．∀x＞0，xn＞logax C．∀x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
( D)
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
(2)直线 AB 的斜率为 1，直线 CD 的斜率为 5，直线 AB 的斜率小于直 线 CD 的斜率．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
题型 二 典例剖析
比较函数的平均变化率大小
典例 2 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数 在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示： (1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数； (2)比较函数增长差异(以两图像 交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
[分析] 计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较 大小．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] 因为ΔΔxf＝a3＋a＋11－－3aa＝2×3a，
ΔΔgx＝2aa＋ ＋11－－2aa＝2，
ΔΔhx＝log3aa＋ ＋11－ －laog3a＝log31＋1a， 又因为 a＞1，所以 2×3a＞2×31＝6，
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.5 增长速度的比较
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
素养目标·定方向
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
课程标准
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
2．已知函数f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上 的平均变化率，并比较它们的大小．
[解析] ΔΔxf＝433－ －422＝48，ΔΔgx＝533－－522＝100， 所以在区间[2,3]上 f(x)的平均变化率比 g(x)的小．
提示：当Δx足够大时，f(x0＋Δx)＜g(x0＋Δx)．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
知识点 二 三种常见函数模型的增长差异
数学（必修·第二册 RJB）
性质
函数 y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性
___增__函__数___
增函数
___增__函__数___
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x． (2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)， f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， 所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2 020＞x2， 从图像上可以看出，
对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立． 对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn ＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， 所以f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2 020)＞g(2 020)； 又因为g(2 020)＞g(6)， 所以f(2 020)＞g(2 020)＞g(6)＞f(6)．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
1．已知函数y＝x2－2x－3． (1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量 每增加1个单位时，函数值变化的规律； (2) 设 f(x) ＝ x2 － 2x － 3. 记 A(1 ， f(1)) ， B(2 ， f(2)) ， C(3 ， f(3)) ， D(4 ， f(4))，比较直线AB的斜率与直线CD的斜率的大小关系．
图像的变化
随x的增大
随x的增大
逐渐变“陡” 逐渐趋于稳定
随x的增大 匀速上升
增长速度 增长后果
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝ logax的增长 会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞kx＞logax
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
思考：指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？ 提示：指数增长．
角度 2 函数变化率大小的应用 典例 4 函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3 的图像如图所
示．设两函数的图像交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1 ＜x2．
(1)请指出示意图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函 数；
(2)结合函数图像示意图，判断 f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小． [分析] (1)根据两类函数图形的特征判断． (2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小．
[分析] 按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] 因为ΔΔyx＝4xx22－ －4x1x1＝4x14xx22－－xx11－1，所以 y＝4x 在区间[1,2]
上
的
平
均
变
化
率
为
4142－1－1 2－1
＝
12
，
在
区
间
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数学（必修·第二册 RJB）
关键能力·攻重难
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
题型 一 典例剖析
题型探究 比较函数值增加的快慢
典例 1 已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均 变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] 当h＝H时，体积是V，排除A，C，h由0变到H的变化过程 中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来 增长速度越来越慢，类似于对数型函数模型，综合分析知选B．
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数学（必修·第二册 RJB）
数学（必修·第二册 RJB）
必备知识·探新知
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
知识点 一
函数的平均变化率 (1)定义：函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为ΔΔxf＝_f_x_x2_2_－－__fx1_x.1 (2)实质：___函__数__值_____的改变量与自变量的改变量之比．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)ΔΔyx＝x22－2x2－3x－2－xx121－2x1－3＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2] 上的平均变化率为 1，在区间[3,4]上的平均变化率为 5，所以自变量每增 加 1 个单位，区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值增加越快．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
思 考 ： 对 于 函 数 f(x) ＝ x ＋ 1 ， g(x) ＝ 4x － 3 ， 当 Δx 足 够 大 时 ， 对 于 x∈R，f(x0＋Δx)，g(x0＋Δx)的大小关系能确定吗？
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
题型 三 函数增长速度的应用
典例剖析
数学（必修·第二册 RJB）
角度1 增长曲线的选择
典例 3 高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰 了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函
数V＝f(h)的大致图像是
( B)
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[辨析] 四类增长函数模型是有前提的：一次函数模型中要求k＞0， 指数、对数函数模型要求底数a＞1，幂函数模型要求指数n＞0.当一次函 数模型中k＜0，指数、对数函数模型中底数0＜a＜1，幂函数模型中n＜0 时，四类函数模型都是衰减的．
[正解] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次 项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．
[3,4]
上
的
平
均
变
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化
率
为
43444－－3－3 1＝192，所以当自变量每增加 1 个单位时，区间的左端点越大，
函数值增加越快．
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数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用 (1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比 较函数值增加的快慢． (2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率 的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．
学法解读
1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增 通过本节课的学习，使学 长速度．
生体会常见函数的增长速 2．比较对数函数、一元一次函数、指数函
度，提升学生数学抽象、 数增长速度的差异，理解“对数增长”“直
逻辑推理等素养． 线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．
(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时， g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
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log31＋1a＜log31＋11＝log32＜log33＝1＜6， 因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最
小．
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数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：不同函数平均变化率大小的比较 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函 数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率 的大小．
数学（必修·第二册 RJB）
典例剖析
易错警示
典例 5 下列四种说法中，正确的是 A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．∀x＞0，xn＞logax C．∀x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
( D)
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(2)直线 AB 的斜率为 1，直线 CD 的斜率为 5，直线 AB 的斜率小于直 线 CD 的斜率．
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题型 二 典例剖析
比较函数的平均变化率大小
典例 2 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数 在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．
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对点训练
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3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示： (1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数； (2)比较函数增长差异(以两图像 交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
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[分析] 计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较 大小．
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[解析] 因为ΔΔxf＝a3＋a＋11－－3aa＝2×3a，
ΔΔgx＝2aa＋ ＋11－－2aa＝2，
ΔΔhx＝log3aa＋ ＋11－ －laog3a＝log31＋1a， 又因为 a＞1，所以 2×3a＞2×31＝6，
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.5 增长速度的比较
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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素养目标·定方向
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课程标准
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对点训练
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2．已知函数f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上 的平均变化率，并比较它们的大小．
[解析] ΔΔxf＝433－ －422＝48，ΔΔgx＝533－－522＝100， 所以在区间[2,3]上 f(x)的平均变化率比 g(x)的小．
提示：当Δx足够大时，f(x0＋Δx)＜g(x0＋Δx)．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
知识点 二 三种常见函数模型的增长差异
数学（必修·第二册 RJB）
性质
函数 y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝kx(k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性
___增__函__数___
增函数
___增__函__数___
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[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x． (2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)， f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， 所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2 020＞x2， 从图像上可以看出，
对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立． 对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn ＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
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当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， 所以f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2 020)＞g(2 020)； 又因为g(2 020)＞g(6)， 所以f(2 020)＞g(2 020)＞g(6)＞f(6)．
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对点训练
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1．已知函数y＝x2－2x－3． (1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量 每增加1个单位时，函数值变化的规律； (2) 设 f(x) ＝ x2 － 2x － 3. 记 A(1 ， f(1)) ， B(2 ， f(2)) ， C(3 ， f(3)) ， D(4 ， f(4))，比较直线AB的斜率与直线CD的斜率的大小关系．
图像的变化
随x的增大
随x的增大
逐渐变“陡” 逐渐趋于稳定
随x的增大 匀速上升
增长速度 增长后果
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝ logax的增长 会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞kx＞logax
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思考：指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？ 提示：指数增长．
角度 2 函数变化率大小的应用 典例 4 函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3 的图像如图所
示．设两函数的图像交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1 ＜x2．
(1)请指出示意图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函 数；
(2)结合函数图像示意图，判断 f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小． [分析] (1)根据两类函数图形的特征判断． (2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小．
[分析] 按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律．
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[解析] 因为ΔΔyx＝4xx22－ －4x1x1＝4x14xx22－－xx11－1，所以 y＝4x 在区间[1,2]
上
的
平
均
变
化
率
为
4142－1－1 2－1
＝
12
，
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题型 一 典例剖析
题型探究 比较函数值增加的快慢
典例 1 已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均 变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律．
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[解析] 当h＝H时，体积是V，排除A，C，h由0变到H的变化过程 中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来 增长速度越来越慢，类似于对数型函数模型，综合分析知选B．
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知识点 一
函数的平均变化率 (1)定义：函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为ΔΔxf＝_f_x_x2_2_－－__fx1_x.1 (2)实质：___函__数__值_____的改变量与自变量的改变量之比．
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[解析] (1)ΔΔyx＝x22－2x2－3x－2－xx121－2x1－3＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2] 上的平均变化率为 1，在区间[3,4]上的平均变化率为 5，所以自变量每增 加 1 个单位，区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值增加越快．