高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数素材新人教A版必修1

指数函数

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。

当a〉1时，指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升,对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识得：

作为实数变量x的函数，

的图像总是正的(在x轴之上）并递增（从左向右看）.它永不触及x轴,尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线.它的反函数是自然对数ln（x）,它定义在所有正数x上。

有时,尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如

(k属于R）的

指数函数

函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数.本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

指数函数的一般形式为

(a〉0且≠1）（x∈

R），从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a〉0且a≠1。

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到

：

（1）指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1.对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑.（2) 指数函数的值域为

(3）函数图形都是上凹的。

(4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a〈1,则为单调递减的.

(5）可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过

指数函数

程中（不等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置.

(6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，并且永不相交。

（7）函数总是通过（0，1)这点，（若

,则函数定过点(0，1+b))

（8) 指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数

（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数.公式推导

e的定义：

设a>0,a≠1

方法一:

指数函数

特殊地，当

时，

.

方法二：

设

，两边取对数ln y=xln a

两边对x求导:y'/y=ln a,y’=yln a=a^xln a

特殊地,当a=e时，y’=（a^x）’=(e^x）’=e^xln e=e^x。

eº=1

函数图像

指数函数

(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a）可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（—1，1/a)可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小.

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）。

(4）

与

的图像关于y轴对称.

幂的比较

比较大小常用方法：(1）做差(商)法：A—B大于0即A大于B A-B等于0即A=B A—B小于0即A小于B 步骤：做差—变形—定号—下结论；A\B大于1即A大于B A\B等于1即A等于B A/B小于1即A小于B （A，B大于0)(2)函数单调性法；（3）中间值法:要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小.

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=34 ,y2=35 因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4,所以y2 大于y1 。

(2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可

指数函数

以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：

,

,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升,在x等于4时，y2大于y1.

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如:

〈1〉对于三个(或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

〈2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1"来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a >1且x 〉0，或0< a〈 1且 x〈 0）时，

大于1，异向时

小于1.

〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.

⑴

因为4〉1，所以

在R上是增函数；

⑵

因为0〈1/4<1,所以

在R上是减函数。

定义域

R,即实数集。

值域

对于一切指数函数

来讲，当a满足a〉0且a≠1时，值域为（0，+∞）.

化简技巧

(1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分；

(2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式，化异分母为同分母；

（3）把其中适当的几个分式先化简,重点突破；

指数函数

（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化；

（5）参考图像来进行化简。

（6）1。当函数为奇函数时，指数a相反

2.当函数为偶函数时，指数b相反

根式的概念

一般地,如果

，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1，且

。

当n是奇数时,正数的实的n次方根是一个正数，负数的实的n次方根是一个负数.此时，x的n次方根用符号