[小学教育]平面图形的几何性质

O
z
z
y
C
b
yc
yC
a
dA
zC
<1>两平行轴中必须有一对轴为过形心的轴.y
zc
<2>截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯 性矩来换算.
<3>a、b的正负号由形心C在y、z坐标系中所在的的象限来决定
例6 求所示图形对过形心的z、y轴的惯性矩.
解：〔1)确定形心
h
由于y、 z为对称轴,故y、z的坐
所以 I z I z 1 I z 2 2 . 1 7 1 0 1 0 0 . 6 2 1 0 1 0 1 . 5 5 1 0 1 0 m m 4
例 8 求图示截面对于水平z轴的惯
性解：矩整. 个圆截面对z1轴的惯性矩为
d4 64
，则半圆对z1轴惯性矩为
1 d4 d4
Iz1
2
64
128
利用平行移轴公式,可得 外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：
Iy1.266109mm4
I z 1 1 1 2 3 5 0 5 0 0 3 3 5 0 5 0 0 ( 2 5 0 1 8 3 .3 ) 2 4 .4 2 1 0 9 m m 4
里面的小矩形对z轴的惯性矩为：
I z 2 1 1 2 2 5 0 4 0 0 3 2 5 0 4 0 0 ( 3 0 0 1 8 3 . 3 ) 2 2 . 6 9 1 0 9 m m 4
2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零,
即：轴过形心 <＝> S该轴=0
例 1 求所示图形对y、z轴的静矩以及形心位置
解法1：
O
z
SzAydA0 RyR 2y2dy
y
R
1 R R2y2dy2 20 y2
y+dy y
1 R2 R2d 20
1R2
R2dR (2)
20
12(R2)23 R2 1R3
A(yCb)(zCa)dA
A y C z C d A a A y C d A b A z C d A a b A d A
I yC zC
则有： 说明：
S zC 0
S y C 0
I y I yC a 2 A I z I zC b 2 A I yz I yC zC a b A
abA
目录
§Ⅰ.1 截面的静面矩和形心位置 §Ⅰ.2 惯性矩、惯性积和惯性半径 §Ⅰ.3 平行移轴公式 §Ⅰ.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
§Ⅰ.1 截面的静面矩和形心位置
一、静面矩
O
z
定义 面积对轴的一次矩
z
y
SzAydA , SyA zdA
dA
分别为图形对 z 轴和 y 轴的静矩.
y
说明：
1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关,还与所选坐标的 位置有关.同一平面图形对不同的坐标轴,其静矩不同.
4 h
标原点就是形心.
4
〔2)计算三部分对z、y轴的惯性矩.
h
d
② ①
z
4
bh3
hb3
Iz1 12 , Iy1 12
h 4
Iz2Iz36 d 4 4 h 4 2
d2d4h2d2 4 64 64
d
③
y
b
〔3)计算图形的惯性矩.
IzIz1Iz2Iz3b 1 h 2 33 d 2 4h 3 2 2 d2
D
d
O
z
d
y
Iz
b0h03 12
bh3 12
1 12
b0h03 bh3
§Ⅰ.3 平行移轴公式
一、惯性矩的平行移轴公式
z
O
z
C为形心,y、z为原坐标轴,yc、zc为过
形心C分别与y、 z平行的坐标轴
y
C
b
zc yC
IyC AzC2dA y yC b
a
zC dA
IzC AyC2dA z zC a
利用平行移轴公式,可得
外面的大矩形对Z轴的惯性矩为： I z 1 1 1 2 5 0 0 8 0 0 3 5 0 0 8 0 0 ( 4 0 0 3 6 9 . 4 ) 2 2 . 1 7 1 0 1 0 m m 4
里面的小矩形对z轴的惯性矩为： I z 2 1 1 2 4 0 0 5 5 0 3 4 0 0 5 5 0 ( 4 2 5 3 6 9 . 4 ) 2 0 . 6 2 1 0 1 0 m m 4
d4
Iy2 Iy3 64
IyIy1Iy2
Iy3
hb3d4
12 32
例 7 求图示截面对水平z<过形心>轴的惯 性解矩：.可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩
减去里面的小矩形对z轴的惯性矩.
形心坐标： zc 0
z y
y c 3 5 0 3 5 5 0 0 0 5 2 0 5 0 0 2 2 5 5 0 0 4 4 0 0 0 0 3 0 0 1 8 3 .3 m m
2、静矩的数值可正可负,也可以为零.
3、静面矩的单位：mm3 或 m3
二、形心
O
z zC
截面形心位置和均质薄板的重心
z
位置重和.设形心C的坐标为yC、zC,利 y
用合力矩定理得.
yC
dA
C
ydA
zdA
yC AA ,
zC
A
A
即:
yc
Sz , A
zC
Sy A
y
从而： SzyCA, SyzCA
推论
1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零, 则该坐标轴必通过图形的形心.
惯性积图定形义对一对相互垂直的轴的矩
O
z
IyzAyd zA
z y
dA
特点:
y <1>惯性积的量纲为长度的四次方,单位为m4 、 cm4 、 mm4. <2>其值可正、可负,可为零. <3>所选坐标轴有一个对称轴,则惯性积的值为零.
〔4)组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的 惯性矩之和:
y
〔1)具有惯性矩的特点
Ip A2 d A A x 2 y 2d A I z Iy
〔2)即平面图行对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之 和均相等, 并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩.
例4
求所示图形对过形心
的z、y轴的惯性矩
解： dAbdy
h
Iz
y2dAh/2by2dybh3
23
3
0
同理可得
Sy
1R3 3
yC
Sz A
1 R3 3
1 R2
4R
3
4
由对称性可得zC43R
解法2：
rd
O
Sz
ydA
A
Arsin rd dr
2
Rr2drsind
00
z
d r
r dr
1 R3 3
y O
试想想还有没有其它方法？
z
S z yC A
R y ydz
02
R R 2 z 2 dz 1 R 3
y1 150mm A 2201402800m m 2 y2 70mm
①
20
C
yC ②
140
yC
Aiyi A1y1A2y2
Ai
A1A2
20
z
y
2 0 0 0 1 5 0 2 8 0 0 7 0 1 0 3 .3 m m 2 0 0 0 2 8 0 0
由于y轴是对称轴
zC 0
§ຫໍສະໝຸດ Baidu.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩与惯性积
O
z
惯性矩定义 图形面积对某轴的二次矩 y
z
dA
IzAy2dA , IyA z2dA
则分别定义为该截面对z轴和y轴得惯性矩 y 特点：
〔1)惯性矩的量纲为长度的四次方,单位用m4 、 cm4 、 mm4.
〔2)惯性矩恒为正值
〔3)其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关,而且还与平面图 形面积相对于坐标轴的分布情况有关.平面图形的面积相对坐 标轴越远,其惯性矩越大;反之,其惯性矩越小.
02
3
y
例2 试求1、2部分对z轴的静面积矩.
解： 1、2两部分的面积和形心沿y轴
的坐标分别为
h 2
A 1 1 4 b h ,y C 1 8 3 h; A 2 3 4 b h ,y C 2 1 8 h
h
2
Sz1yC 1A 18 3h1 4bh3 3 2bh2
Sz2yC 2A 21 8h3 4bh3 3 2bh2 由 此 可 见Sz1 ＝ － Sz2 因为整个矩形截面对z轴的静面矩衡等于零,即
Oy
z
zC
2d z1 3
虽然z轴与z1轴平行,但是它不 是半圆截面的形心轴,则
d
Iz
Iz1
d
2
2
d2
8
因此必须先确定半圆对过
其形心轴的惯性矩
Iz1
IzC
32d2
d2
8
Iz IzC d232d28d2
Iz
I z1
2d 3
2
d 8
2
d 2
2d 3
2
d 8
2
d4 d2 2d2d2
Iz
128
附录Ⅰ 截面的几何性质
在计算拉压杆横截面上的应力为 F N ；
A
变形为 l F N l ； EA
圆杆扭转时横截面的切应力为
T IP
；
扭转角为
Tl G IP
。
其中面积A、极惯性矩IP均为和横截面的形状和尺 寸有关的几何量,称为截面的几何性质.
在计算梁的应力和位移时,还要用到另一些截面 的几何性质.这一章就将介绍这些几何性质和其计算 方法.
n
n
Iz Izi ,Iy Iyi
i1
i1
〔5)工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平
方的乘积, 即
Iz
Ai
2 z
或
Iy
Ai
2 y
iz
Iz A
iy
Iy A
其中iy、iz分别为平面图形对z轴和y轴的惯性半径.
二、极惯性矩
O
z
z
定义 图形面积对某点的二次矩：
y
dA
Ip
2dA
A
特点：
所以 I z I z 1 I z 2 4 . 4 2 1 0 9 2 . 6 9 1 0 9 1 . 7 3 1 0 9 m m 4
练习求图示截面对水平z<过形心>轴的惯性矩.
z
解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减 去里面的小矩形对z轴的惯性矩.
形心坐标： zc 0
y
5 0 0 8 0 0 4 0 0 4 0 0 5 5 0 4 2 5 y c 5 0 0 8 0 0 4 0 0 5 5 0 3 6 9 .4 m m
n为分割成的简单图形的个数.
2、组合图形的形心坐标
n
ycSA z i1A Aiyi ,
n
zcSA y i1A Aizi
其中：yc 、 zc为组合图形的形心坐标，
Sz、Sy为组合图形分别对z轴和y轴的静矩,
n
A为组合图形的总面积, AAi i1
例3 求所示图形的形心位置
100
解：
A 120 1002000m m 2
y
yc
Iy
z2dA
A
A(zC a)2dAA zC 2d A 2 aA zC d A a 2A d A
I yC
S yC0
a2A
Iz Ay2dA A(yCb)2dAA y C 2d A 2 bA y C d A b 2A d A
I zC
S
0
zC
b2A
Iyz
yzdA
A
1.3354108m m 4
Iz2 1 2 d 8 4 3 2 d 28 d 28 d 2 3 2 d 1 0 2 .3 1 0 0 2
100mm 100mm
100mm 100mm
d100mm
z
yC
z y
2.857106m m 4 Izc Iz1 Iz2 1 .3 0 7 1 0 8m m 4
IyC
1 2004 1004
12
128
yc 20020012000018200100 2 100102023100
1.309108mm4
8
102.3mm
§Ⅰ.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
一、惯性矩和惯性积的转轴公式 任意轴y、z的惯性矩和惯性积已
z1
知,且规定a逆时针转向为正
y1 ycoszsin
4
3
8
例 8 求图示截面对于水平z轴的惯性矩.
40 a＝100 a＝100 40
解： <1> 计算半圆对z轴的惯性矩
2d
b 17
C
3
zC
I z1
d4 128
O
d 80
z1
y
而
Iz半IzCab2A
Iz1 IzC b2A
Iz半 Iz1b2A ab2A
Iz1a2A2abA
8 0 4 1 0 0 2 8 0 2 2 1 0 0 1 7 8 0 2
A
h/2
12
dAhdz
IyAz2dA bb22hz2dyh 1b 23
z dz
O
yz
dy b
y
例5
求所示图形对过形心的z、y
轴的惯性矩
解：
IP Iy Iz
IP 2dA
dA2d
A
d2
IP0
2
2dd4
32
Iy
Iz
IP 2
d4
64
D
同理,对于空心圆：
d
Iy
Iz
D4 (14)
64
其中 d
O
y1
z
y
z
z1 zcosysin
则截面对y1轴的惯性矩为
Sz Sz1Sz20
故 得Sz1＝ － Sz2
b
b
2
2
2
C2
C
C1 1
y
h 8
3h z
8
三、组合图形的静矩和形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和,即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai, yi, zi 分别代表第i个图形的面积和形心坐标,
1 2 8
8
8
3.468107m m 4
b 2d 3
z
Iz 2Iz半Iz矩
23.4681071802003 12
1.227108m m 4
40 a＝100 a＝100 40
b 2d 3
O
z
y
练习求图示截面对水平轴zC的惯性矩.
Iz1 Izc1b2A
1 2002003 12
102.31002 200200