第三讲带电粒子带电体在混合场中的运动

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第三讲 带电粒子

带电体在复合场中的运动

一、带电粒子在复合场中的运动分析及研究方法 1．粒子只受场力的作用在空间中运动

（1）匀速直线运动：洛伦兹力f 与电场力F 、重力G 或电场力和重力的合力平衡，F 合=0。

（2）匀速圆周运动：电场力与重力平衡，洛伦兹力f 充当向心力，R

v m qvB F 2

==磁

。

（3）复杂曲线运动：粒子受场力的合力不等于0，且电场力和重力的合力不平衡（或电场力、重力不同时存在），则粒子做一般的曲线运动（非类平抛），此类运动分解为直线运动难以找到规律，一般应依据功能关系进行研究，即：w 合=ΔE K 。

2．带电体在绝缘面或绝缘杆上的运动

带电体除受到场力的作用外，还受到弹力、摩擦力等，往往带电体受的洛伦兹力、弹力、摩擦力等是变力，带电体可以是匀速直线运动、匀变速直线运动、非匀变速直线运动、匀速圆周运动、变速圆周运动等，问题的分析、求解完全根据物体的力学规律进行，具体的几个方面是

（1）力学观点：分方向的平衡条件F X =0

牛顿定律和运动学规律

（2）能量观点：动能定理和能量守恒定律 （3）动量观点：动量定理和动量守恒定律 另外还需要特别注意：

（1）洛伦兹力、弹力、摩擦力的变化。 （2）洛仑兹力永远不做功。

（3）如出现临界状态、稳定状态，要分析临界条件，以“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”、“最终”等词语为突破口，列出必要的辅助方程。

二、质谱仪

1．质谱仪的构造、原理：

它的构造原理如图16.3-1所示，离子源S 产生带电量为q 的某种正离子，离子产生出米时的速度很小，可以看作是静止的，离子经过电压U 加速后形成离子束流，然后垂直于磁场方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，沿着半圆周运动而到达记录它的照相底片P 上。

实验测得：它在P 上的位置到入口处S 1的距离为a ，离子束流的电流为I ，则：

（1）在时间t 内射到照相底片P 上的离子的数目为N=It/q （2）单位时间穿过入口处S 1离子束流的能量为E=qUI （3）离子的荷质比为q/m ：

qU=mv 2/2 ① R=a/2=m v/Qb ②

由①、②得： q/m=8U/B 2a 2

2．质谱仪的主要特征：质量数不等，电荷数相等的带电粒子经同一电场加速后进入同一偏转磁场，在磁场中的运动半径不同，从而分析元素所含的同位素的种类。

三、回旋加速器

回旋加速器示意如图16.3-2，其中置于高真空中的金属D 形盒的半径为R ，两盒间距为d ，在左侧D 形盒圆心处放有粒子源S ，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向如图所示，质子质量为m ，电荷量为q 。

1．回旋加速器的性能：

（1）带电粒子在两盒狭缝之间的运动，首尾相联起来是一个初速度为零的匀加速直线运动。

（2）带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，

qU=mv 12/2 ，R 1= mv 1/qB=√2mqU/qB

n qU=mv n 2

/2，Rn=√2nqU/qB

∴每次加速后的回旋半径之比R 1

：R 2

：R 3

：┉=√1：√2：√

3：┉

（3）粒子最后的速度 由qvB=mv 2/R

得v=qBR/m

例1．如图所示，在宽l 的范围内有方向如图的匀强电场，场强为E ，一带电粒子以速度v 垂直于电场方向、也垂直于场区边界射入电场，不计重力，射出场区时，粒子速度方向偏转了θ角，去掉电场，改换成方向垂直纸面向外的匀强磁场，此粒子若原样射入磁场，它从场区的另一侧射出时，也偏转了θ角，求此磁场的磁感强度B ．

解析：粒子在电场中运行的时间t

＝ l ／v ；

加速度 a ＝qE ／m ；

它作类平抛的运动．有tg θ=at/v=qEl/mv 2 ① 粒子在磁场中作匀速圆周运动由牛顿第二定律得： qvB=mv 2/r ，

所以r=mv/qB ，

又：sin θ=l/r=lqB/mv ②

由①②两式得：B=Ecos θ/v

变式1．如图所示K 与虚线MN 之间是加速电场。虚线MN 与PQ 之间是匀强电场，虚线PQ 与荧光屏之间是匀强磁场，且

MN 、PQ 与荧光屏三者互相平行。电场和磁场的方向如图所示。

图中A 点与O 点的连线垂直于荧光屏。一带正电的粒子从A 点离开加速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转

图16.3-2 图

16.3-1

2

电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在图中的荧光屏上。已知电场和磁场区域在竖直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为U =Ed /2，式中的d 是偏转电场的宽度且为已知量，磁场的磁感应强度B 与偏转电场的电场强度E 和带电粒子离开加速电场的速度v 0关系符合表达式

v 0=E /B ，如图所示，试求：

（1）磁场的宽度L 为多少？

（2）带电粒子最后在电场和磁场中总的偏转距离是多少？

答案：⑴ L=R sin θ=d ；⑵d y 414.02=∆

例3．在竖直平面内有一圆形绝缘轨道，半径R =1m ，匀强磁场垂直于轨道平面向里，一质量为m =1×10－3

kg ，带电量为q = -3×10－2

C 的小球，可在内壁滑动．现在最低点处给小球一个水平初速度v 0，使小球在竖直平面内逆时针做圆周运动，图甲是小球在竖直平面内做圆周运动的速率v 随时间变化的情况，图乙是小球所受轨道的弹力F

结合图象所给数据，g 取10m/s 2

（1）磁感应强度的大小．

（2）小球从开始运动至图甲中速度为2m/s 的过程中，摩擦力对小球做的功．

解析：（1）从甲图可知，小球第二次过最高点时，速度大小为2m/s ，而由乙图可知，此时轨道与球间弹力为零，

R mv qvB mg /2=-∴

代入数据，得B =0.1T

（2）从乙图可知，小球第一次过最低点时，轨道与球面之间的弹力为F =8.0×10－2

N ，

根据牛顿第二定律，R mv B qv mg F /200=-- 代入数据，得v 0=7m/s.

以上过程，由于洛仑兹力不做功,由动能定理可得: -mg 2R +W f = mv 2

/2 - mv 02/ 2

代入数据得: W f =-2.5×10-3

J

变式3．如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在光滑水平面上，圆环中心安放一带电量为Q 的正电荷，另有磁感应强度为B 的匀强磁场垂直圆环平面．已知一质量为m 、带电量为+q 的小球贴着圆环内壁做圆周运动，若小球的运动速率从零开始逐渐增大，请探究圆环对小球的水平弹力F N 将如何变化？

解析：如图所示，带电小球在做圆周运动的过程中受到电场力F E 、洛伦兹力F B 和弹力F N 的作用，其合力即为小球做圆周运动的向心力，由图可知：

R mv F F F E B N /2=-+

∴R mv F F F E B N /2

++-=

其中F B =qvB ，F E =kQq/R 2，代入上式可得，

2

2R kQq

Bqv R v m F N +==

上式中m 、R 、B 、q 、k 、Q 均为常数，所以F N 为v 的二次函数．

对照y=ax 2+bx+c ，有a=m/R ，b=－Bq ，c=kQq /R 2。 因a >0，故F N 有最小值，且当m

BqR

a b v 22=-=时，F N 最小（临界条件），最小值为

m R

q B R kQq

F 4222

min -=．

可见，随着小球运动速度的增大，圆环对小球的弹力F N

先减小、后增大，且临界状态（最小值）出现在v=BqR /2m 时．

例4．设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/m ，磁感应强度的大小B=0.15T ．今有一个带负电的质点以v=20m/s 的速度在的区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m 以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）．

解析：带电质点受3个力（重力、电场力、洛仑兹力）作用．根据题意

及平衡条件可得质点受力图，如图所示（质点的速度垂直纸面向外）

()

()()2

2

2

mg Eq qvB =+

所以 1.96/q c kg m

= 由质点受力图可得tan θ=qvB/qE,

/s

8.0×100