特殊三角形讲义

特殊三角形

一、知识归纳

1. 等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

2. 等腰三角形的“三线合一”性——顶角平分线；底边中线；底边高

【注意】等腰三角线的对称轴是“三线”所在的直线，也是底边的中垂线

3. 等腰三角形的画法

（1）任作一线段为等腰三角形的底；

（2）分别以此线段的两端点为圆心，以腰长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的顶点。

4. 三角形的分类

（1）

（2）

5. 等腰三角形的性质

（1）两腰相等；

（2）两底角相等（等边对等角，等角对等边）；

（3）“三线合一”；

（4）轴对称；

（5）两腰上的中线相等；

（6）两底角的平分线相等；

（7）两腰上的高相等；

（8）底边的一半＜腰长＜周长的一半；

6. 等腰三角形的判定

（1）两角相等；

（2）两边相等；

（3）两边上中线相等；

（4）一边的中线垂直这条边（平分这条边的对角）；

（5）一个角的角平分线垂直于这个角的对边（平分对边）；

（6）两个角的角平分线相等；

（7）一边上的高平分这条边（平分这条边的对角）；

（8）两条高相等；

7. 等边三角形：三边相等的三角形叫等边三角形（正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性质。

8. 等边三角形的性质

（1）三边相等，三个角都相等（都为60°）；

（2）轴对称性；

9. 等边三角形的判定

（1）三边相等；

（2）三个角相等；

（3）有一个角是60°的等腰三角形；

10. 等边三角形的作法

（1）作线段等于等边三角形的边长；

（2）分别以此线段的两端点为圆心，以边长为半径画弧，两弧交于一点；（3）分别连此交点与已画线段的两端点。

11. 直角三角形：有一个角是直角的三角形。用“R t△”表示。

等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形。

12. 直角三角形的性质

（1）两锐角互余；

（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半（及其逆定理）；

（3）斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）勾股定理：

13. 直角三角形的判定

（1）有一个角为直角；

（2）两角互余；

（3）勾股定理的逆定理；

（4）一边上的中线等于这边的一半；

14. 勾股定理的变形

15. 直角三角形全等的判定方法

（1）SAS

（2）SSS

（3）ASA

（4）AAS

（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

16. 作已知角的角平分线

（1）以已知角的顶点为圆心，以任意长为半径画弧与角两边相交；

（2）分别以两个交点为圆心，以大于两交点间距离的一半为半径画弧，使两弧相交；

（3）过角顶点与弧交点作射线即可。

【回顾】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。