1.1.1 集合的含义与表示

1.1.1 集合的含义与表示

（一）集合的有关概念

2．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

3．一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

4．思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

5．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

6．元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）

7．常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；

一、选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；

④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有()

A．2组B．3组C．4组D．5组8．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于1050的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 3．下列命题中正确的是()

A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是A．第一象限内的点B．第三象限内的点

C．第一或第三象限内的点D．非第二、第四象限内的点

5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，

Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则()

A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y∉M

6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是()

A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}

B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}

∈

C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }

D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题

7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．

9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或∉填空：

①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②

2

1

______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝____，b ＝______．

13．方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+=+321

x z z y y x 的解集为______．

14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．

15．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③}7

5,64,53,42,31{______________________________________________________． 16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．

三、解答题

17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．

18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．

19．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a

∈-11

． (1)若2∈A ，求A ；

(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a

∈-1

1．