等比数列练习题(含答案)

等比数列练习题（含答案）之勘阻及广创作
一、选择题 1.(2009
年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5
a ，
2a =1，则1a = A. 2
1 B.
2
2 C. 2 D.2
【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()2
2
8
41112a q a q a q
⋅=,即2
2q
=,又因为等
比数列}{n a
的公比为正数，所以q =
故
21a a q =
==,选B
2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）
A 、3,9b ac ==
B 、3,9b ac =-=
C 、3,9b ac ==-
D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n
a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a
n n
则
（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 1011S S =，则1a =（ ）
A.18
B.20
C.22
D.24 答案：B 解析： 20,100
,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是()
A.(],1-∞-
B.()(),01,-∞+∞
C.[)3,+∞
D.(][),13,-∞-+∞ 答案 D
6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( )
答案 C
7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A
8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n
，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
答案：B
9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=
（A ）3 × 44
（B ）3 × 44
+1
（C ）44
（D ）44+1
答案：A
解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －
S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，
选A ．
10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，41
8a =
，则该数列的
前10项和为（ ） A ．
4
122- B ．
2
122-
C ．
10
122-
D ．
11122-
答案 B
11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a =
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4 答案 D
解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由
,,a b c
,,c a b
310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝
6，所以a ＝－4，选D
12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，
41
252=
=a a ，，则
13221++++n n a a a a a a =（ ）
A.16（n --41）
B.6（n
--21）
C.332（n --41）
D.332
（n
--21）
答案 C
二、填空题：
三、13.（2009
浙江理）设等比数列{}n a 的公比
1
2q =
，前n 项和为n S ，则
4
4S a =
．
答案：15解析 对于443
1444134(1)1,,15
1(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--
14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。

若3614,1s s a ==，则4a = 答案：3
解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由3614,1s s a ==得q 3
=3故
a 4=a 1q 3
=3
15.(2007全国I) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为
．答案 1
3
16.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则10
429
31a a a a a a ++++的值
为 ．
答案 13
16
三、解答题
17.（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值. 18：①已知等比数列{}n a ，1231237,8a a a a a a ++==，则n a = ②已知数列{}n a 是等比数列，且210,30m m S S ==，则3m S = ③在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则
36999a a a a +++⋅⋅⋅+=
④在等比数列{}n a 中，若394,1a a ==，则6a = ；若
3114,1a a ==，则7a =
⑤在等比数列{}n a 中，()5615160,a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +=
解：①2
12328a a a a == ∴22a = ∴13113351
44a a a a a a +==⎧⎧⇒⎨⎨⋅==⎩⎩ 或 1341a a =⎧⎨=⎩
当1231,2,4a a a ===时，1
2,2n n q a -==
当1234,2,1a a a ===时，1
11,42
2n n q a -⎛⎫
==⋅ ⎪
⎝⎭
②()
()2
232370
m m m m m m S S
S S S S -=⋅-⇒=
③设114797225898
336999b a a a a b a a a a b a a a a =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 则1223,b q b b q b ==，且12356b b b ++= ∴
()2
1156b q q
=++= 即
156
8124b =
=++ ∴
2
3132b b q ==
④2639a a a =⋅ 62a =± 2
7311a a a =⋅ 72a =（-2舍去） ∵当72a =-时，
44
7340a a q q ==> ⑤10
15162526561516a a a a q
a a a a ++==++ ∴
()2
21516252656a a b a a a a a ++==+ 19．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，
113a =
，公比1
3q =
．
（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．
20、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （II ）设
12,
n
n a a a A n
++
+=
若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n
年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．
解析：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列．
当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为3
4
为等比数列，又670a =，所以
因此，第n 年初，M
的价值n a 的表达式为6
12010(1)13010,6370(),74n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪=⎨=⨯≥⎪⎩
(II)设n S 暗示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-
当7n ≥时，
66
6786
333
()570704[1()]780210()444
3
780210()4.
n n n n n n S S a a a A n ---=+++
+=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯=
因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又
8696
8933
780210()780210()4779448280,7680,
864996A A ---⨯-⨯==>==<
21：①已知{}n a 等比数列，
32420
2,3a a a =+=
，求{}n a 的通项公式。

②设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，它的前n 项和为40，前2n 项和
为3280，且前n 项和中最大项为27，求数列的第2n 项。

③设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ，已知3422,5a S S ==，求
{}n a 的通项公式。

解：①
1
3q =
或3q = 323n n a -=⨯ 或 3
23n n a -=⨯
②当1q =时 1214023280n n S na S na ==⎧⎨
==⎩ 无解
当1q ≠时 ()
()1212140
1132801n n n n a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪
⎨
-⎪==⎪-⎩ 2182n n
n S q S =+= ∴81n q =
∴11
12a q
=-
- ∵0q > 即81n q =1> ∴1q > ∴10a > ∴数列{}n a 为递增数列
∴1112781n n a a a q q -===⋅ 解方程组111
3112a q a q ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪-⎩ 得113a q =⎧⎨
=⎩ ∴
2121213n n n a a q --==
③由已知
()1110,1n
n a q a S q -≠=- 时 ()()214211211511a q a q a q q q ⎧=⎪--⎨=⨯⎪
--⎩ 得
()
42151q q -=- ∵1q < ∴1q =- 或 2q =-
当1q =-时，
()
1
12,21n n a a -==-
当2q =-时，()()11
2
111,21222n n n n a a ---==-=-
22.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n
a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.
（1）求,n n a b ；（2）求证12
1113
4n S S S ++
+
<
.
解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64
n n
nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-⎧====⎪
⎨⎪=+=⎩
①
由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==
故1
32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+
∴12
1111111132435
(2)n S S S n n +++
=++++
⨯⨯⨯+。