分数的意义和性质知识点+例题+习题
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4-1 分数的意义 典型例题
例1．三个人平均分一包糖．每人吃了6块以后，三人剩下的总数与每人开始分得的一样多．这 包糖原来有多少块？ 分析：由于每人吃了6块以后，三人剩下的总数与每人分得的一样多，所以三人一共吃掉的恰好 等于开始两人分得的．这样就可以先算开始每人分得几块，再算出这包糖原来有几块． 解：6×3÷2×3＝27（块） 答：这包糖原来有27块．
等于11或大于11时，它
（3）当分子是分母的整数倍的分数，可以化成整数，所以当 能化成整数， ＝11、22、33、44，…… 解：（1）当 等于1到10中的一个数时，它是真分数． （2）当 等于11或大于11时，它是假分数． （3）当 等于11或11的整倍数时，它能化成整数．
等于11或11的整倍数时，
（2）一个分数约简后等于 ，原来分子与分母的和是60．原来的这个分数是多少？
分析：（1）一个分数约简后得
，分母比分子大5，但约简前的分母比分子大25，因为
5×5＝25，所以把 的分子和分母同时扩大5倍，就可以求出原分数．
（2）一个分数约简后得 ，分子与分母的和是15，但约简前分子与分母的和是60， 因为15×4＝60，所以，把约简的分数的分子、分母同时扩大4倍，就可以求出原来的分数． 解：（1）
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”） 1．× 2．√ 3．× 4．√ 三、选择题． 1．③ 2．② 3．③ 4．①
二 一、填空． 1．分母相同的两个分数，（ ）的分数比较大． 2．分子相同的两个分数，（ ）的分数比较大． 3．用分数表示下列除法的商 6÷7＝（ ） 15÷17＝（ ）
（2）
答：（1）原分数为 ，（2）原分数为 ． 习题精选 一
3．3÷4＝ （个） 3÷5＝ （个）
＞
答：师傅每小时做 个，徒弟每小时做 个，师傅快些． 4．5＋41＝46（克）
5÷46＝
41÷46＝
答：盐占盐水的 ， 水占盐水的 ．
4-2 真分数和假分数
典型例题
例1．要使 是假分数，而 是真分数，x 应等于多少？
分析：要使 是假分数，x 必须大于或等于9，要使 足上面条件的 x 只能是9．
4． 的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位． ）个这样的分数单位．
的分数单位是（ ），它有（
5．把4米的绳子平均分成5段，每段占全长的（ ），每段的长是（ ）米．
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”）
1．把单位“1”分成3份，其中的2份就是 ． （ ）
2．3米的 和1米的 一样长． （ ） 3．分母越大的分数，分数单位越大． （ ）
①
②
③
④
4．要使 是真分数，同时使 是假分数，x 应该是（ ）
①3 ②4
③5 ④6
四、在（ ）里填上“＞”、“＜”或“＝”．
1．
2．
3． 参考答案 一、填空．
1．
、29、3
2．4个 3． 、 、
4．
、小、真分数
5． 、大、假分数
6． 、 、
2．整数都可以看成分母是 l 的假分数．（ ） 3．分数单位是 的最大真分数是 ．（ ）
4．小于 的真分数只有6个，大于 的假分数只有2个．（ ） 5．凡是分子能被分母整除的假分数，都能化成整数．（ ） 三、选择题． 1．分子是5的假分数有（ ）个． ①3 ②4 ③5 ④6 2．当一个分数的分子是分母的倍数，这个分数实际上是（ ）． ①假分数 ②带分数 ③真分数 ④整数 3．5里有20个（ ）．
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”） 1．× 2．√ 3．× 4．× 5．√ 三、选择题． 1．③ 2．④ 3．② 4．②或③ 四、在（ ）里填上“＞”、“＜”或“＝”． 1．＜ ＝ ＞ 2．＞ ＞ ＜ 3．＞ ＞ ＞ 4-3 分数的基本性质
典型例题 例1．一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小有什么变化吗？如果分子不变，分母除 以5呢？ 分析：一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小也扩大3倍，如果分子不变，分母除以 5，分数的大小反而扩大5倍． 例2．（1）一个分数的分子扩大2倍，分母不变，分数的大小发生什么变化？ （2）一个分数的分母除以3，分子不变，分数的大小发生什么变化？ 分析： 一个分数的分子扩大2倍，若分母也扩大2倍，则分数的大小不变．但分母保持不变， 所以分数扩大了2倍． 一个分数的分母除以3，即缩小了3倍，若分子也缩小3倍，则分数的大小不变，但分子没有变化， 所以分数扩大了3倍． 答：（1）分数扩大了2倍．
2．工程队13天完成一项工程，平均每天完成这项工程的几分之几？5天可以完成这项工程的几 分之几？
3．师傅4小时做3个零件，徒弟5小时做3个零件，他们每小时做几个零件？谁做的快些？
4．把5克盐溶解在41克水中化成盐水，盐占盐水的几分之几？水占盐水的几分之几？
参考答案
一、填空．
1．分子大 2．分母小
原分数：
例4．在 数；
中， 是自然数，当 （
）时，它是真分数；当 （
）时，它是假分
当 （ ）时，它能化成整数．
分析：（1）分子比分母小的分数叫做真分数．这样 比分母11小的自然数是真分数．
（2）分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数．这样当 是假分数，这样 的取值有无限多个．
例2．在 ＜
＜ 中，括号里可以填哪些整数？
分析：根据“同分子的分数，分母小的分数较大”，括号应填小于8大于3的整数，即应填 7、6、5、4这四个数．
例3．快车从甲站到乙站要行10小时，慢车从乙站到甲站要行15小时．两车同时从两站相向开出， 6小时相遇．相遇时两车各行了全程的几分之几？
分析：根据分数的意义可知，快车每小时行全程的
是真分数，x 必须小于10．因此，满
解：因为： 是假分数，所以 x≥9，
又因为： 是真分数，所以：x＜10． 因此：x＝9 例2．分子和分母乘积是42的最简真分数有哪些？把它们一一写出来． 分析：解决这道问题，应考虑三点： 1、分子和分母的乘积是42； 2、分子和分母是互质数； 3、分子要比分母小． 解决这题的关键是先要把42分解质因数，再从它的质因数中选定出分数的分子和分母． 解：42＝2×3×7 满足题目要求的分数有：
解：31＋29＝60（人） 31÷60＝
29÷60＝
答：男生占全班人数的 ，女生占全班人数的 ．
习题精选 一
一、填空． 1．把单位“1”（ ）若干份，表示这样的（ ）或者（ ）的数叫做分数，表示其中一份的数叫 做（ ）．
2． 表示的意义是（ ）． 表示的意义是（ ）． 3．把单位“1”平均分成10份，其中的7份就是（ ），它的分数单位是（ ）．
（2）分数扩大了3倍． 例3．在下面的括号里填上适当的数．
9÷15＝
＝6÷（ ）＝（ ）÷6
分析：这道题要根据分数和除法的关系，利用分数的基本性质或商不变的性质来思考．
解：9÷15＝
＝6÷（ 9 ）＝（ 4 ）÷6
例4．把 的分子、分母加上一个相同的数后就得到 ，加上的数是几？
① ② ③
4．男生人数占全班的 ，则女生人数占全班的（ ）．
① ② ③
参考答案 一、填空． 1．平均分成 一份 几份
分数单位
2． 表示：把单位“1”平均分成12份，表示这样的7份的数．
表示：把单位“1”平均分成8份，表示这样的5份的数．
3．
4． 4
15
5．
11÷9＝（ ）
÷ ＝（ ）（ ≠0）
4．8个 是（ ） 1里面有7个（ ）
里面有（ ）个
个 是（ ）
5．在括号里填入“＞”或“＜”．
（ ）
（）
（ ） 二、应用题．
（）
1．五（1）班在一次数学测验中，得优秀成绩的有17人，得良好成绩的有23人，其余的是中等 成绩，中等成绩有9人，问三种成绩的人数各占全班人数的几分之几？
，6小时共行6个
，即全程的
；慢车每小时行全程的 ，6小时共行6个 ，即全程的
．
答：快车行了全程的 ，慢车行了全程的 ．
例4．如图，三角形 ABC 中，E 是 BC 中点，F 是 AC 中点，D 是 BE 中点．阴影面积占三角形面积 的几分之几？
分析：因为 E 是 BC 中点，D 是 BE 中点，所以 BD 是 BC 的 ，DC 是 BC 的 ．三角形 ADC 的
面积是三角形 ABC 面积的 ，而 F 是 AC 中点，所以三角形 ADF 的面积是三角形 ADC 的 ，即三
角形 ADF 的面积是三角形 ABC 面积的 ． 例5．五（1）班有男生31人，有女生29人．男女学生各占全班人数的几分之几？ 分析：根据题意，用除法计算或直接写成分数的形式．这题是把全班人数（31＋29＝60）看作 单位“1”，按1人1份，就把全班人数平均分成60份，男生31人就是31份，女生29人就是29份．
3．
4．
5
5． ＞
＜
＜
＜
二、应用题．
1．17＋23＋9＝49
17÷49＝
23÷49＝
9÷49＝
答：得优秀成绩的人数占全班人数的
，得良好成绩的人数占全班人数的
，中等成绩
的人数占全班人数的 ．
2．1÷13＝
×5＝
答：平均每天完成这项工程的 ，5天完成这项工程的 ．
4．五（2）班有男生25人，女生23人，男生人数占全班人数的 ． （ ）
三、选择题． 1．分子相同的分数（ ） ①分数单位相同 ②分数的大小相同
③所含的分数单位的个数相同
2．在 、 、 三个分数中，最大的分数是（ ）
① ② ③ 3．把3吨化肥平均分成5份，每份重（ ）吨．
，
，
，
例3．一个分数，分子与分母之和是30，且分子增加8后，这个分数就等于1．这个分数是几？ 分析：原分数的分子与分母的和是30，且分子增加8后，这个分数就等于1，也就是分子与分母 相等．若用30加上8后，就是原分数分母的2倍，从而可以求出原分母；从原分母中减去8就可以求出 原分子． 解：（30＋8）÷（1＋1）＝38÷2＝19……原分母 19－8＝11……原分子
余的两个数组成真分数 ； 而要组成一个最小的带分数，须从四个数字中找出1组成最小的整数，由2、7、5组成一个真分 数，应尽量使分母大、分子小．
解：最大的带分数的 一、填空．
，最小的带分数是
．
习题精选
1． 果是4．
的分数单位是（ ），它有（ ）这样的单位，再添上（ ）个这样的单位，结
2．分数单位是 的真分数有（ ）．
例5．在一串分数：
中，从 数起，
是第几个分数？ 分析：认真观察这一串分数，分母是1的分数1个，分母是2的分数2个，分母是3的分数3个，依 次类推，分母是11的分数有11个，分母从1到11的分数共有1＋2＋3＋……＋11＝（1＋11）
×11÷2＝66（个）， 是第66＋5＝71个．
解：从 数起 是第71个分数． 例6．用数字1、2、7、5组成一个最大的带分数和一个最小的带分数． 分析：用数字1、2、7、5组成一个最大的带分数，须从中找出两个数字组成最大的整数75，剩
3．分数单位是 的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）．
4．9个 组成的分数是（ ）它比1（ ），是（ ）分数．
5．8个 组成的分数是（ ），它比1（ ），是（ ）分数． 6．把下面直线上的点用分数表示出来．
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”） 1．真分数小于1，假分数大于1．（ ）
分析：因为分母、分子的差是16不变，所以新分数为 31．
，这时32－1或48－1均为
解法一：把
的分子、分母加上一个相同的数后得
32－1＝31，48－17＝31，所以加上的数是31．
解法二：设加上的数为 ．
，即得到
，因为
答：加上的数是31．
例5．（1）一个分数，分母比分子大25，约简后是得 ，原分数是多少？
例1．三个人平均分一包糖．每人吃了6块以后，三人剩下的总数与每人开始分得的一样多．这 包糖原来有多少块？ 分析：由于每人吃了6块以后，三人剩下的总数与每人分得的一样多，所以三人一共吃掉的恰好 等于开始两人分得的．这样就可以先算开始每人分得几块，再算出这包糖原来有几块． 解：6×3÷2×3＝27（块） 答：这包糖原来有27块．
等于11或大于11时，它
（3）当分子是分母的整数倍的分数，可以化成整数，所以当 能化成整数， ＝11、22、33、44，…… 解：（1）当 等于1到10中的一个数时，它是真分数． （2）当 等于11或大于11时，它是假分数． （3）当 等于11或11的整倍数时，它能化成整数．
等于11或11的整倍数时，
（2）一个分数约简后等于 ，原来分子与分母的和是60．原来的这个分数是多少？
分析：（1）一个分数约简后得
，分母比分子大5，但约简前的分母比分子大25，因为
5×5＝25，所以把 的分子和分母同时扩大5倍，就可以求出原分数．
（2）一个分数约简后得 ，分子与分母的和是15，但约简前分子与分母的和是60， 因为15×4＝60，所以，把约简的分数的分子、分母同时扩大4倍，就可以求出原来的分数． 解：（1）
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”） 1．× 2．√ 3．× 4．√ 三、选择题． 1．③ 2．② 3．③ 4．①
二 一、填空． 1．分母相同的两个分数，（ ）的分数比较大． 2．分子相同的两个分数，（ ）的分数比较大． 3．用分数表示下列除法的商 6÷7＝（ ） 15÷17＝（ ）
（2）
答：（1）原分数为 ，（2）原分数为 ． 习题精选 一
3．3÷4＝ （个） 3÷5＝ （个）
＞
答：师傅每小时做 个，徒弟每小时做 个，师傅快些． 4．5＋41＝46（克）
5÷46＝
41÷46＝
答：盐占盐水的 ， 水占盐水的 ．
4-2 真分数和假分数
典型例题
例1．要使 是假分数，而 是真分数，x 应等于多少？
分析：要使 是假分数，x 必须大于或等于9，要使 足上面条件的 x 只能是9．
4． 的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位． ）个这样的分数单位．
的分数单位是（ ），它有（
5．把4米的绳子平均分成5段，每段占全长的（ ），每段的长是（ ）米．
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”）
1．把单位“1”分成3份，其中的2份就是 ． （ ）
2．3米的 和1米的 一样长． （ ） 3．分母越大的分数，分数单位越大． （ ）
①
②
③
④
4．要使 是真分数，同时使 是假分数，x 应该是（ ）
①3 ②4
③5 ④6
四、在（ ）里填上“＞”、“＜”或“＝”．
1．
2．
3． 参考答案 一、填空．
1．
、29、3
2．4个 3． 、 、
4．
、小、真分数
5． 、大、假分数
6． 、 、
2．整数都可以看成分母是 l 的假分数．（ ） 3．分数单位是 的最大真分数是 ．（ ）
4．小于 的真分数只有6个，大于 的假分数只有2个．（ ） 5．凡是分子能被分母整除的假分数，都能化成整数．（ ） 三、选择题． 1．分子是5的假分数有（ ）个． ①3 ②4 ③5 ④6 2．当一个分数的分子是分母的倍数，这个分数实际上是（ ）． ①假分数 ②带分数 ③真分数 ④整数 3．5里有20个（ ）．
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”） 1．× 2．√ 3．× 4．× 5．√ 三、选择题． 1．③ 2．④ 3．② 4．②或③ 四、在（ ）里填上“＞”、“＜”或“＝”． 1．＜ ＝ ＞ 2．＞ ＞ ＜ 3．＞ ＞ ＞ 4-3 分数的基本性质
典型例题 例1．一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小有什么变化吗？如果分子不变，分母除 以5呢？ 分析：一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小也扩大3倍，如果分子不变，分母除以 5，分数的大小反而扩大5倍． 例2．（1）一个分数的分子扩大2倍，分母不变，分数的大小发生什么变化？ （2）一个分数的分母除以3，分子不变，分数的大小发生什么变化？ 分析： 一个分数的分子扩大2倍，若分母也扩大2倍，则分数的大小不变．但分母保持不变， 所以分数扩大了2倍． 一个分数的分母除以3，即缩小了3倍，若分子也缩小3倍，则分数的大小不变，但分子没有变化， 所以分数扩大了3倍． 答：（1）分数扩大了2倍．
2．工程队13天完成一项工程，平均每天完成这项工程的几分之几？5天可以完成这项工程的几 分之几？
3．师傅4小时做3个零件，徒弟5小时做3个零件，他们每小时做几个零件？谁做的快些？
4．把5克盐溶解在41克水中化成盐水，盐占盐水的几分之几？水占盐水的几分之几？
参考答案
一、填空．
1．分子大 2．分母小
原分数：
例4．在 数；
中， 是自然数，当 （
）时，它是真分数；当 （
）时，它是假分
当 （ ）时，它能化成整数．
分析：（1）分子比分母小的分数叫做真分数．这样 比分母11小的自然数是真分数．
（2）分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数．这样当 是假分数，这样 的取值有无限多个．
例2．在 ＜
＜ 中，括号里可以填哪些整数？
分析：根据“同分子的分数，分母小的分数较大”，括号应填小于8大于3的整数，即应填 7、6、5、4这四个数．
例3．快车从甲站到乙站要行10小时，慢车从乙站到甲站要行15小时．两车同时从两站相向开出， 6小时相遇．相遇时两车各行了全程的几分之几？
分析：根据分数的意义可知，快车每小时行全程的
是真分数，x 必须小于10．因此，满
解：因为： 是假分数，所以 x≥9，
又因为： 是真分数，所以：x＜10． 因此：x＝9 例2．分子和分母乘积是42的最简真分数有哪些？把它们一一写出来． 分析：解决这道问题，应考虑三点： 1、分子和分母的乘积是42； 2、分子和分母是互质数； 3、分子要比分母小． 解决这题的关键是先要把42分解质因数，再从它的质因数中选定出分数的分子和分母． 解：42＝2×3×7 满足题目要求的分数有：
解：31＋29＝60（人） 31÷60＝
29÷60＝
答：男生占全班人数的 ，女生占全班人数的 ．
习题精选 一
一、填空． 1．把单位“1”（ ）若干份，表示这样的（ ）或者（ ）的数叫做分数，表示其中一份的数叫 做（ ）．
2． 表示的意义是（ ）． 表示的意义是（ ）． 3．把单位“1”平均分成10份，其中的7份就是（ ），它的分数单位是（ ）．
（2）分数扩大了3倍． 例3．在下面的括号里填上适当的数．
9÷15＝
＝6÷（ ）＝（ ）÷6
分析：这道题要根据分数和除法的关系，利用分数的基本性质或商不变的性质来思考．
解：9÷15＝
＝6÷（ 9 ）＝（ 4 ）÷6
例4．把 的分子、分母加上一个相同的数后就得到 ，加上的数是几？
① ② ③
4．男生人数占全班的 ，则女生人数占全班的（ ）．
① ② ③
参考答案 一、填空． 1．平均分成 一份 几份
分数单位
2． 表示：把单位“1”平均分成12份，表示这样的7份的数．
表示：把单位“1”平均分成8份，表示这样的5份的数．
3．
4． 4
15
5．
11÷9＝（ ）
÷ ＝（ ）（ ≠0）
4．8个 是（ ） 1里面有7个（ ）
里面有（ ）个
个 是（ ）
5．在括号里填入“＞”或“＜”．
（ ）
（）
（ ） 二、应用题．
（）
1．五（1）班在一次数学测验中，得优秀成绩的有17人，得良好成绩的有23人，其余的是中等 成绩，中等成绩有9人，问三种成绩的人数各占全班人数的几分之几？
，6小时共行6个
，即全程的
；慢车每小时行全程的 ，6小时共行6个 ，即全程的
．
答：快车行了全程的 ，慢车行了全程的 ．
例4．如图，三角形 ABC 中，E 是 BC 中点，F 是 AC 中点，D 是 BE 中点．阴影面积占三角形面积 的几分之几？
分析：因为 E 是 BC 中点，D 是 BE 中点，所以 BD 是 BC 的 ，DC 是 BC 的 ．三角形 ADC 的
面积是三角形 ABC 面积的 ，而 F 是 AC 中点，所以三角形 ADF 的面积是三角形 ADC 的 ，即三
角形 ADF 的面积是三角形 ABC 面积的 ． 例5．五（1）班有男生31人，有女生29人．男女学生各占全班人数的几分之几？ 分析：根据题意，用除法计算或直接写成分数的形式．这题是把全班人数（31＋29＝60）看作 单位“1”，按1人1份，就把全班人数平均分成60份，男生31人就是31份，女生29人就是29份．
3．
4．
5
5． ＞
＜
＜
＜
二、应用题．
1．17＋23＋9＝49
17÷49＝
23÷49＝
9÷49＝
答：得优秀成绩的人数占全班人数的
，得良好成绩的人数占全班人数的
，中等成绩
的人数占全班人数的 ．
2．1÷13＝
×5＝
答：平均每天完成这项工程的 ，5天完成这项工程的 ．
4．五（2）班有男生25人，女生23人，男生人数占全班人数的 ． （ ）
三、选择题． 1．分子相同的分数（ ） ①分数单位相同 ②分数的大小相同
③所含的分数单位的个数相同
2．在 、 、 三个分数中，最大的分数是（ ）
① ② ③ 3．把3吨化肥平均分成5份，每份重（ ）吨．
，
，
，
例3．一个分数，分子与分母之和是30，且分子增加8后，这个分数就等于1．这个分数是几？ 分析：原分数的分子与分母的和是30，且分子增加8后，这个分数就等于1，也就是分子与分母 相等．若用30加上8后，就是原分数分母的2倍，从而可以求出原分母；从原分母中减去8就可以求出 原分子． 解：（30＋8）÷（1＋1）＝38÷2＝19……原分母 19－8＝11……原分子
余的两个数组成真分数 ； 而要组成一个最小的带分数，须从四个数字中找出1组成最小的整数，由2、7、5组成一个真分 数，应尽量使分母大、分子小．
解：最大的带分数的 一、填空．
，最小的带分数是
．
习题精选
1． 果是4．
的分数单位是（ ），它有（ ）这样的单位，再添上（ ）个这样的单位，结
2．分数单位是 的真分数有（ ）．
例5．在一串分数：
中，从 数起，
是第几个分数？ 分析：认真观察这一串分数，分母是1的分数1个，分母是2的分数2个，分母是3的分数3个，依 次类推，分母是11的分数有11个，分母从1到11的分数共有1＋2＋3＋……＋11＝（1＋11）
×11÷2＝66（个）， 是第66＋5＝71个．
解：从 数起 是第71个分数． 例6．用数字1、2、7、5组成一个最大的带分数和一个最小的带分数． 分析：用数字1、2、7、5组成一个最大的带分数，须从中找出两个数字组成最大的整数75，剩
3．分数单位是 的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）．
4．9个 组成的分数是（ ）它比1（ ），是（ ）分数．
5．8个 组成的分数是（ ），它比1（ ），是（ ）分数． 6．把下面直线上的点用分数表示出来．
二、判断．（对的打“√”，错的打“×”） 1．真分数小于1，假分数大于1．（ ）
分析：因为分母、分子的差是16不变，所以新分数为 31．
，这时32－1或48－1均为
解法一：把
的分子、分母加上一个相同的数后得
32－1＝31，48－17＝31，所以加上的数是31．
解法二：设加上的数为 ．
，即得到
，因为
答：加上的数是31．
例5．（1）一个分数，分母比分子大25，约简后是得 ，原分数是多少？