18概率论与数理统计

ˆ (x1,x2,…,xn) ,称为参数 的极大似然估计值. ˆ 统计量 (X1,X2,…,Xn)称为参数 的极大似然估计量.
7
8
具体作法:
1. 根据离散分布律或连续密度写出似然函数 L(x1,x2,…,xn ; ) ; 2.求出使似然函数L(x1,x2,…,xn ; )
ˆ 达到最大的参数值 ,作为参数 的估计值.
这一估计量与矩法估计量是相同的.
11
例6、 例18-03. X在 (a, b)上均匀分布.
记
x(1) min(x1,...,xn ), x( n) max(x1 ,...,xn ).
则,极大似然估计量为
ˆ a X (1) min ( X i ),
1in
ˆ b X ( n ) max( X i ),
固定样本的观察值x1,x2,…,xn ,在 取值的
可能范围 内挑选,使似然函数L(x1,x2,…,xn ; )
ˆ 达到最大的参数值 ,作为参数 估计值.
ˆ 使 即取
ˆ L( x1 , x2 ,, xn ; ) maxL( x1 , x2 ,, xn ; ).

ˆ 同样得到的 与样本值x1,x2,…,xn有关,也记为
X1,X2,…,Xn来自X的一个样本.求 的置信度 为1- 的置信区间。 解:已知 X 是 的无偏估计,且有 u
X n
21
~ N ( 0,1).
n 1 2 n 1 2 我们得到了的一个置信度为1- 的置信区间.常写作 (X
X P{| | u } 1 , 1 / n 2 P{ X u X u
ˆ ˆ ( X1, X 2 ,, X n )
则称 ˆ 为 的一致估计量.
1.矩法估计量是 一致估计量. 2.极大似然法估计量,
在一定条件下,也是 一致估计量. 17
** 3.区间估计 设 总体X的分布函数F(x ; )含有一个未知参数, 对于给定的值 (0<<1),若由样本 X1,X2,…,Xn 确定的两个统计量
** 7.4. 正态总体均值与方差的区间估计
(7.4.1 )单个总体 N (, 2) 设已给定置信度为1- ,
并设X1,X2,…,Xn为总体 N (, 2)的样本.
X与S
2
是样本均值和样本方差.
1. 单一正态总体均值的区间估计（均值 的置 信区间）
(1) 2为已知,前面已得到 的置信度为1- 的置
3.若能从 {a<Z(X1,X2,…,Xn ; )<b}得到等价的
不等式 < < .其中统计量 ( X1,...,X n ), ( X1,...,X n ) 那麽 ( , )为 的置信度为1- 的置信区间.
总体 X~ N (, 2), 2 为已知, 为未知, 例18-06.

} 1,

n
u
1

2
,X

n
u
1

2
), ( X

n
u
1

2
).
现取 =0.05, 1- = 0.95,又若2 =1, n=16,
22
查表得u1-/2 = u0.975 =1.96 .我们得到了的一个置 信度为0.95 的置信区间 1 (X 1.96), 16
(X1,X2,…,Xn) 和
(X1,X2,…,Xn),满足
P{ ( X1,...,X n ) ( X1,...,X n )}1
我们称随机区间 (
, )为 的置信度为1-
的置信区间,分别称 和 为置信度为1- 的双侧 置信区间的置信下限和置信上限, 1- 称为置信度. 18
注意,置信度为1- 的置信区间不是唯一的.
在密度函数对称时,如 正态 分布等,取对称的 分位点来确定置信区间.这样确定的置信区间的 长度最短。 在密度函数不对称时,如 2 分布和 F 分布,习惯 上仍取对称的分位点来确定置信区间.但这样确定 的置信区间的长度并不最短,因为求最短置信区间
的计算过于麻繁,一般是不去求的.
n ( z0.04 z0.01 ) 4.08 n
,
而 (X

n
z / 2 , X

n

24
z / 2 ),
z0.025 3.92
L 2

n
n
,
因此常用( X

n
z / 2 ).
例1中,一般，我们以L记置信区间的长度,即有
2 2 2 L z / 2 .解出 n, 得n ( z / 2 ) L n
设 总体X为离散型随机变量,其分布律为P{X=x} =p(x ;), 其中 的形式为已知, 是待估参数,
是的可能取值范围. X1,X2,…,Xn是来自X的一个
样本. x1,x2,…,xn为相应的样本值.
则 X1,X2,…,Xn的联合分布律为
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) p( xi ; ),
信区间为
(X

n
u1 / 2 ).
25
一批保险丝中随机抽取16根，测得其熔化 例18-07. 时间为(单位:秒)：65 75 78 87 48 68 72 80 81 54 51 77 65 57 60 78 这批保险丝的熔化时间服从正态分布 N ( ,2 2 ) ，试求 的95％置信区间。 解: 查附表2得
例4、参数为1,p的二项分布之参数p的 例18-01.
极大似然估计量为
1 n ˆ p Xi X n i1
这一估计量与矩法估计量是相同的.
9
10
例18-02. 正态分布 X~ N (, 2) 之 , 2的 例5、 极大似然估计量为
1 n ˆ X i X A1 , n i 1 1 n ˆ 2 ( X i X )2 B2 . n i 1
具体作法:
1. 确定离散分布律或连续密度含有的未知参数之 个数m,即未知参数为1,…, m ; 2.求出(m个)k阶矩 k=E(Xk)= k(1,…, m) ;
4
3.从中列出m个联立方程
4. 求解得出m个
^ ^
k(1,…, m) = Ak ;
.
i i ({Ak })
二、极大似然估计法
都是 的无偏估计量,若有
ˆ ˆ D(1 ) D( 2 )
ˆ ˆ 则称 较 有效.
1 2
例如:上述例之总体 X 的参数 的无偏估计量中， 样本均值 比 nZ 较 有效。
16
3.一致性
设
ˆ ˆ ( X1, X 2 ,, X n )
依概率收敛于 ,
是 的估计量,若对于任意 ,当 n
x
u
1
a 2
u 0.975 1.96
这里 1- =0.95, /2=0.025, n=16, 由给出的数据
1 (65 75 78 87 48 68 72 80 81 54 51 16 77 65 57 60 78) 68.5
S S P{ X t1 / 2 (n 1) X t1 / 2 (n 1)} 1 , n n
则极大似然估计量
为有偏的.
1 n ˆ 2 ( xi x ) 2 n i1
因为
n 1 2 2 ˆ E ( ) n
2
而 2 的估计量 S2 (样本方差) 为无偏的.
15
例18-05. 例、设总体 X 服从参数为的指数分布,其概率密度 为
e f ( x) 0,
在不致混肴的情况下统称为估计,并都记为 下面介绍两种构造估计量的方法.
ˆ (X1,X2,…,Xn) ˆ
. 2
一、矩估计法 设 总体X为连续型随机变量，其密度函数为 f(x ;1 , 2 ,…, m),或X为离散型随机变量,其分布律 为P{X=x}=p(x ;1 , 2 ,…, m), 其中1 , 2 ,…, m 是待估参数. X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本. 又设 总体X的前m阶矩存在.一般来说,它们是1 , 2 ,…, m的函数.基于样本(原点)矩依概率收敛于相应的 总体(原点)矩; 样本(原点)矩的连续函数依概率收敛于相 应的总体(原点)矩的连续函数,我们就用样本(原点)矩作 为总体(原点)矩的估计量;样本(原点)矩的连续函数作为 相应总体(原点)矩连续函数(包括了中心矩)的估计量.这 种估计方法称为矩估计法. 3
i 1
n
L( )是 的函数, 称为样本的似然函数. 5
设 总体X为连续型随机变量,其密度函数为
f(x ;).则 X1,X2,…,Xn 的联合密度为
n
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
i1
被称为样本似然函数.
6
极大似然估计法,
0

计算得 x u1 a
=67.52
x u
1

2
0
n
=69.48
2
于是总体 的置信度为0.95的置信区间为(67.52,69.48)。
(2) 2为未知,
X ~ t (n 1) S/ n 右边的分布不依赖于任何未知参数.可得
前面已得到
X P{t1 / 2 (n 1) t1 / 2 (n 1)} 1 , S/ n
如前例中：
X P{ z0.04 z0.01 } 0.95, / n P{ X z0.01 X z0.04 } 0.95, n n
23
(X

n
z0.01 , X

n
z0.04 ),
L
( z0.01 2.33, z0.04 1.75),
( X 0.49).
又若由一个样本值算得样本均值的观察值=5.20,则 得到一个区间 (5.20 0.49),即(4.71, 5.69).
解释:“此区间属于包含真值的区间” 之可信程度为95%, 或“此区间包含真值”这一事实的可信程度为95%.
然而,置信度为1- 的置信区间不是唯一的.
1
(十八)开始 王柱
2013.05.13
第七章 参数估计
** 1.点估计 设 总体X的分布函数F(x ; )的形式为已知,
是待估参数.
X1,X2,…,Xn为X的一个样本, x1,x2,…,xn为相应的样本值. 定义: 我们用适当的统计量
ˆ 作为 的估计量, (x1,x2,…,xn)为 的估计值.
1 x /
参数为未知,
, x 0, x 0. x / 1 e , x 0, F ( x) 0, x 0.
Z min(X1 ,...,X n ),
则, nZ、样本均值、Xk都是的无偏估计量.
2.有效性
ˆ ˆ ˆ ˆ 设 1 1 ( X1 , X 2 ,, X n ) 与 2 2 ( X1 , X 2 ,, X n )
ˆ 则称 是 的无偏估计量.
12
13
若总体 X 的 k 阶矩 k=E(Xk)存在, 则Ak为k的无偏估计(不论总体是什麽分布)。
1 n E ( Ak ) E ( X ik ) k . n i1
但是请注意, 矩法估计量不一定具有无偏性.
14
例、正态分布 X~ N (, 2). , 2 均未知 . 例18-04.
演示33！
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具体作法:1. 寻求一个样本 X1,X2,…,Xn函数
Z=Z(X1,X2,…,Xn ; ),它含有未知参数,而不含其 它未知参数;并且Z的分布已知且不依赖于任何未知 参数(当然不依赖于待估参数 ); 2.对于给定的值 (0<<1),定出两个常数a,b,
20
使P{a<Z(X1,X2,…,Xn ; )<b}=1- .
1in
这一估计量与矩法估计量是不相同的.
§2. 估计量的评价标准 1.无偏性 X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本, 是包含在
总体X的分布中的待估参数, 这里是 的取值范围.
ˆ ˆ 若估计量 ( X1 , X 2 ,, X n )
ˆ 的数学期望 E ( ) 存在, ˆ 且对于任意 有 E( )