北师大九年级上《第1章特殊平行四边形》单元测试含答案解析

《第1章 特殊平行四边形》
一、选择题
1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）
A ．AB=BC
B ．AC=BD
C ．AC ⊥B
D D ．AB ⊥BD
2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）
A ．（）2014
B ．（）2015
C ．（
）2015 D ．（）2014
二、填空题 3．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．
4．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 ．
5．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 ．
6．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．
7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．
8．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．
9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 ．
10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度．
11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （只填一个）．
12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，
在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．
13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．
三、解答题
14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．
求证：四边形BECD 是矩形．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，
D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．
21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．
25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．
29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
《第1章 特殊平行四边形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）
A ．AB=BC
B ．AC=BD
C ．AC ⊥B
D D ．AB ⊥BD
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：A 、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；
B 、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；
C 、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABC
D 是菱形，故不正确；
D 、无法判断．
故选B ．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）
A ．（）2014
B ．（）2015
C ．（）2015
D ．（）2014
【考点】正方形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【解答】方法一：
解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…
∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，
∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（
）1，
同理可得：B 3C 3==（）2，
故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．
则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（
）2014． 故选：D ．
方法二：
∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，
∠B 1C 1O=60°，
∴D 1E 1=B 2E 2=，
∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…
∴∠E 2B 2C 2=60°，
∴B 2C 2=
， 同理：
B 3
C 3=×=…
∴a 1=1，q=
，
∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
二、填空题
3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
【解答】解：添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．
【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．
5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三
个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．
【考点】正方形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+12，AC=；
同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，
=（）n﹣1．
∴第n个正方形的边长a
n
故答案为（）n﹣1．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．
6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．
7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．
【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图
∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，
∴四边形DBEC是矩形，
∴CE=DB=，
∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．
【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE===5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．
9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、
B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 （，0） ．
【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=
﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则
A 3（，0）．
【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；
设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；
设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），
所以A 3（，0）．
故答案为（，0）．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．
【解答】解：如图，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠FAD=22.5°．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．
11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．
【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，
在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律
继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．
【考点】正方形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=
，然后再在Rt △A 2B 1B 2
中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=
，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．
【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知； ==，
即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；
在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：
==
；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积= …
∴正方形A n B n C n D n 的面积=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．
13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= 5 cm ，AB= 13 cm ．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN 是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm ，EF=4cm 可求出EM ．易证△ADF ≌△CBN ，从而得到DF=BN ；易证△AFD ∽△AEB ，从而得到4DF=3AF ．设DF=3k ，则AF=4k ．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k ，AB=5（k+1）．由▱ABCD 的周长为42cm 可求出k ，从而求出AB 长．
【解答】解：∵AE 为∠DAB 的平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠DAB ，
同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC ，
∠BCM=∠DCM=∠BCD ，
∠CDM=∠ADM=∠ADC ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，AD=BC ．
∴∠DAF=∠BCN ，∠ADF=∠CBN ．
在△ADF 和△CBN 中，
．
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF=BN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∴∠AEB=90°．
同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．
∴∠EFM=90°．
∵FM=3，EF=4，
∴ME==5（cm）．
∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．
∴四边形EFMN是矩形．
∴EN=FM=3．
∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，
∴△AFD∽△AEB．
∴=．
∴=．
∴4DF=3AF．
设DF=3k，则AF=4k．
∵∠AFD=90°，
∴AD=5k．
∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．
∵2（AB+AD）=42，
∴AB+AD=21．
∴5（k+1）+5k=21．
∴k=1.6．
∴AB=13（cm）．
故答案为：5；13．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．
三、解答题
14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【考点】矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴▱BECD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，
D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】证明题．
【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．
【解答】证明：作EF⊥AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE，
∴AE=CE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，
∴AB∥CD∥x轴，
∴m﹣2=4，m=6，
将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，
∴B（6，4），
∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，
∴EF=1，
∵D（p，q），
∴E（，），F（，4），
∴+1=4，
∴q=2，p=2，
∴DA⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）AAS或ASA证全等；
（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．【专题】压轴题．
【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；
（2）当α=180°时，DF=BF．
（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）解：图形（即反例）如图2，
（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．
【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．
18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中，
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．
19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．
【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，
于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．
【解答】解：分两种情况；
①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴OA=OB=3，
∴∠BAO=45°，
∵DE⊥OA，
∴DE=AE，
∵四边形COED是正方形，
∴OE=DE，
∴OE=AE，
∴OE=OA=，
∴E（，0）；
②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，
∴CF=OF，AF=EF，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF=CF，
∴AF=OF=2OF，
∴OA=OF+2OF=3，
∴OF=1，
∴F（1，0）．
【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．
【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=CB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；
（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6×=3，
在直角△ACD中，
AD===4，
∴S
=BD•AD=3×4=12．
矩形ADBE
【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．
23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．
【考点】矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
∵点E是BC的中点，
∴EC=BE=AD．
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AB=AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．
∴▱AECD是矩形．
【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．
25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．
【专题】证明题；开放型．
（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，【分析】
可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，。