高二数学复数的乘法与乘方

由此我们可以看出两个复数的商 仍然是一个复数，其运算的结果就是 分母实数化的结果，请同学们类比实 数集中分数分母有理化的方法，给出 两复数的商的另外一种计算方法.
同学们讨论，得出如下算法:
a bi (a bi)(c di) (c di)(c di) c di
(ac bd ) (bc ad )i 2 2 c d
z1 z1 ( 2) z2 z2
(3) z z
n n
( 3 i) (3 4i) 例4：已知z ，求 z 4 (1 i)
3 2
( 3 i ) (3 4i ) 解： z 4 (1 i )
3
2

( 3 Biblioteka Baidu) (3 4i)
3
2
(1 i)
4

3 i 3 4i 1 i
是尖锐的凿子.你们瞧瞧我们的反坦克炮,他们零星分散很容易就能各个击破.至于我们的炮兵,因为距离第一线太远,他们也并非机动火力,很难在危机时刻做出合理的炮火支援." 对于那个东方面孔军官的说辞,新来的部队表示极大的抵触.普加乔夫派遣的军官也无法掌控新部队的意志,更何 况政委们拿出了相关条例,要求一切按照上级的规定办. "那是集团军制定的布防方案,我们不能做出什么更改.如果擅自变换布防,到时候出了差池我们都要上军事法庭." 李小克希望反坦克炮能击中起来使用,那样更多的炮弹射击少数几辆坦克,基本一次齐射一定能击毁敌人.但是老毛子固 执的高层军官,他们职务升的太快,没什么战争知识只好把国内战争的战例当圣经.更是觉得新的战争,步兵部队还是得按照一战时的模式办事. 李小克的话也就少数人听到耳朵里罢了,他的见解固然有道理,普加乔夫也没有做出什么调整.只是指出："如果防线它个方向遭遇敌人装甲部队猛攻, 你和你的部队一定要及时赶到." 李小克领命,他也开始加紧训练自己的部下.一共有四百九十名士兵隶属于特别反坦克营,其中有一百人是RPG榴弹的制造者,他们非常清楚营长发明的那种武器,也率先知晓那种武器的可怕之处. 猴版的简陋RPG1,李小克如此评价自己的武器.它毕竟出生褴褛, 无法做到极高的精度.到生产的后期因为大量的材料匮乏,以至于那种武器可以认为是"可瞄式的平飞火箭炮".即使那样就足够了,起码在二百米的距离有极高的命中率. 与此同时,战士们加紧训练,整个巴季金斯卡亚成为巨大的练兵场. 苏军普通步兵主要装备是安装了三棱军刺的莫辛纳甘, 重武器是DP轻机枪和马克沁M1810式重机枪.至于李小克的特种反坦克营,他们和其他部队区别很大,毕竟李小克穿越前曾在PLA服役,他力求按照自己的记忆,以PLA为原型复刻出自己满意的苏军. ------------ 第九章 战前最后的和平 有时,长久的安逸会令士兵们觉得战争甚至不能爆发.在 巴季金斯卡亚周围,固然已经变成巨大的军营,士兵们砍伐树木,挖掘堑壕,建立交通壕等等.时间已经进入六月,战争的影子都没有出现. 李小克每天的工作就是教授士兵使用新式武器,为了实战需求,他更是当众演示了一下.两次操作,作为靶子的土堆被彻底炸平,显然那种武器先不说反坦克 能力怎么样,它们的性能和师里的重型火炮有些相似. 更可喜的,那种武器只需要一个人操作就行,唯一要注意的就是射手背后不准站人. 因为特种反坦克营没有固定的阵地,普加乔夫给予李小克的命令是随时"救火".李小克可实在看不下去苏军的一字长蛇阵,那种模式后来在库尔斯克战役被 取消,取而代之的是"反坦克据点",正是他一开始向师部里的众人说的,反坦克炮必须集中使用. 也罢,做好自己的事就行了.反正战争开始后明斯克还有更多的时间组织布防. 开战后,负责守卫明斯克的部队将划归为西北方面军,由库兹涅佐夫上将指挥,后来指挥官将变成铁木辛哥元帅. 但是 战争的结果李小克也非常清楚,战败其实不可避免,183步兵师或许能因为自己的RPG武器在战争初期血虐德军装甲兵,但是弹丸耗尽就歇菜了.之后要么顽抗到死,要么跟着大部队向首都撤退. 死当然是不行的,但是李小克不怀疑那帮老毛子的战斗意志. 见到妻子李桃还在给自己洗衣服,打理 床铺,以后她也要承受和苏力人一样的苦难,一想到那儿,李小克心里五味杂陈. "小桃,你先别打扫了,做到我身边来." 李小克搂着年少的妻子,"真是可怜你了,因为我的一意孤行,把你带到那个地方." "没关系,只要跟着你就好了.那里是苏力,和咱们抗联都是同志." "是同志,但是未来的战 争将是你从未见过的.它不是咱们经历过的敌人扫荡,也不是上百人的敌人搜山抓我们.咱们来的时候你已经见到了,很多装甲坦克,我告诉你,敌人将有五千辆那样的铁王八碾压过来.我们可能无力招架,甚至为了共产主义事业,为了打击国际上的法西斯,就在苏力牺牲掉." 李小克一开始就把 最坏的情况说出来,只见女孩只是依偎在丈夫怀里. "丈夫,只要你还记得承诺就行.我们不会死,你也会率领部队回到咱们的国家,把小敌人都打死." 她有那样的想到就放心了,李小克很欣慰.不管怎样那个姑娘和抗联在一起,和敌人战斗了近一年,她虽从未持枪抗争,却也是不错的战士,起码 知道如何在战争中保护自己. [天火大道] 在军营里,一些没有离开的村民向战士们兜售他们的牛奶,那个李小克一定要买的.因为距离明斯克比较远,营养品不好买到,新鲜牛奶和酸奶已经很奢侈. 在战士们眼中,他们的营长在挥霍自己的津贴.牛奶自己喝一些,妻子喝的更多,甚至还买了一些 鸡蛋煮熟了喂给她吃.总而言之那种行为足够特立独行,就像他给战士们的交待一样. 中国军队在几十年艰苦卓绝的战争中总结出了三三制步兵战术,三人组成战斗小组,一个步兵队以倒三角形布防,以此类推. 而此刻的苏军还是老一套,战斗队组正面三支,后面两支,正面火力是加强了,结果 侧翼非常糟糕,作用于大集团太容易被敌人迂回包抄一口吃掉. 李小克的先知先觉只好用在自己少量的部队上,他不会谩骂苏军高层一大堆只会效忠斯大林不会打仗的猪,因此战争会让他们率先去见马克思. 时间进入六月份,苏力已经完成扩军,东欧的总兵力突破五百万.但是苏军没有冒险把 大量的军队直接开赴边境,因为那样有可能提早引爆战争.因为即使在那一时刻,仿佛德军下一秒就要进攻,斯大林和高层们依旧报以和平的希望. 到了六月上旬,普加乔夫看到了军部发下来的最新情报,德军的装甲师和摩托化师已经开赴边境,那和之前的情报完全不符.对此斯大林决定孤注一 掷,就在战争开始前八天,塔斯社一条消息刊登在苏力《消息报》上. "根据外国媒体发表的苏德战争即将爆发的传言,苏力官方认为那些是一派胡言……"言外之意就是希望德国人回到谈判桌上,但是德国完全没有回应,装甲部队持续向东部集结. 因此,斯大林终于下定决心,战争已经无法避 免,所有军队做好战争准备,红色按钮按下. 新的命令下达,普加乔夫向部队下达命令,立刻整顿军备. "同志们,领袖命令我们,战争即将开始,我们必须不惜一切代价保卫伟大祖国."那是战士们长久以来期待听到的,那下子普加乔夫也下定决心彻底抛弃幻想,全面准备迎接战争. 此时此刻,李 小克也给自己的战士开了会,现在的士兵已经扩充到了五百五十人,那里也包括妻子李桃那样的辅助卫生员.那是他目前能统帅的全部士兵,他们装备了大部分的RPG火箭筒（少数分出去辅助防御）,也装备了反坦克枪、反坦克手雷、轻机枪、PPSH38冲锋枪等武器. 甚至因为李小克的恶趣味, 甚至组建了一支专业狙击队,专门射击敌人坦克的驾驶员视窗. 见大家已经集合完毕,李小克抱着纸张卷起的喇叭吼道："战士们,战争即将开始,你们要做好足够的心理准备.你们手中的武器,整个苏军六百万人里你们独一无二.你们每个人都有可能成为坦克杀手,只要我们消灭到德国人的坦 克,它么我们的阵地就一定万无一失." 乌拉！乌拉！士兵们高呼着,营长非常自信,战士们看过自己武器的实验也充满信心. 但是李小克的它所谓的自信也更多的是掩饰,所以他知道说出残酷的现实,政委们会第一个不高兴的跳出来,指责那是霍乱军心行为,好在特种反坦克营的政委除了废话 就是废话,喊口号刺激士兵热血沸腾外没有他用.但是他知道普加乔夫能把自己的话听进去. 战争即将开始,到了现在普加乔夫太需要别列科夫对于未来的预测,为此他支开政委,师部只有两个人,他要求自己的别列科夫说一些残酷的话题. 他倒了一杯格瓦斯送到李小克面前."喝吧,别列科夫 同志,那是从明斯克买过来了,以后战争了就很难在喝到." 老毛子的民族饮料伏特加和格瓦斯,让李小克觉得还是格瓦斯更好喝.一饮而尽后,他顺着普加乔夫的意思唉声叹气. 忽然,那老毛子忽然认真起来："别列科夫告诉我,未来是什么样的,德军将怎样进攻?" 李小克也被那家伙的表情巨 变吓一跳,但是问道未来了,他只好语言一番."师长同志,你相信我是来自未来,但是或许很多人知道了我的存在,就会联想到沙皇的巫师拉斯****.现在我告诉你真实的历史,德军会在6月11日凌晨三时进攻,五百万军队,五千多辆装甲车突破边境,我们根本无力招架." 说着,李小克指着明斯克 的方向."它里会是德军重点进攻目标之一,我们是整个苏军防线的第二环,开战后不久我们就要面对德军装甲集群.如果你问我,咱们守住了没有.我可以告诉你,没有！" "难道我们没有抵御敌人的进攻?" 李小克点点头,他走到挂着的地图下,手指着."看那里,那是德军中央集团军群的进攻方 向,我们现在隶属于的北方集团军群将被击溃,将超过五十万人被俘虏." "不！即使战死我也不做俘虏！"普加乔夫拍案而起. 李小克扭头笑笑："当然,我知道师长同志的气节.同时我也从未打算死掉或者被俘." 明斯克处在通向莫斯科的必经之路上,同时她也算一座较大的城市,也是一个交 通枢纽. "我们的敌人将是德军重点冯博克元帅,他的下属有古德里安、霍特和隆美尔,都是德军最优秀的将军."李小克扶在桌案上看着普加乔夫："师长同志,我们面临的实际是德军最精锐的部队,未来的战斗将非常艰难.所以我们注定损失惨重,等待师长你的,要么是选择战斗到最后一人,要 么战略撤退." 普加乔夫心情矛盾,未战先言败."做好最坏准备,所以遇到困难也能坦率应对,你是那个意思么?"他问着. 李小克确实没有多想,他渴望和古德里安打上一架,用RPG火箭筒让他尝尝共产主义的惩戒.但自己还有伟大的使命怎么可能白白送命,因此李小克的目光瞄到了明斯克周围 的地理. "师长同志,我们应该可以阻止敌人的第一轮进攻,但是之后随着我们的反坦克武器消耗严重,我们已经无力继续反击.留下了自然是螳臂当车,因此师长你必须做出两手准备,选择怎样的突围方式." 李小克给了两个选择,第一随着大部队向首都撤退,但是很容易引发成溃退.第二种则 是退入明斯克西部的森林里,对此李小克果断安利起第二种方案. "溃退和溃逃必然发生,整个前线都将崩溃,我们将损失数百万一线部队,但是我们保卫了首都,更歼灭了敌人三十万人.至于我们183师,在遭遇重大损失后,恐怕只有向森林撤退唯一一条路." 此刻的普加乔夫听着那个中国人的 说教,他仿佛是个军事家,仿佛撤退到森林已经没有办法,德军将攻破友邻部队,那样183步兵师就被包围了.李小克说起为何苏力的装甲兵不堪一击,因为苏力的坦克确实是不堪一击.特16坦克薄皮大馅,他们将被敌军坦克屠杀.唯一有效的特3376和KV1大脑袋,他们要么是部署暂时有限,要么就 是机械故障严重. 至于敌人,他们主要是装甲部队,根本无暇顾及森林,在屠杀了苏军坦克后继续向莫斯科前进. "只要我们撤到森林里就能安顿下来,之后我们将和同样遭遇的部队就以森林为根据地,我们将在敌占区攻击德国人.那个就是我的计划,起码那样我们都不会战死,也不会披着逃兵 的恶名,甚至我们还能有更大的战果.比如到处炸铁路,破坏敌人的补给线." 那就是所谓的游击战,普加乔夫听的很认真,或许那就是最理想的选择. "好吧好吧,你下去吧.希望情况还不会它样." 那个别列科夫真是把苏军好好侮辱了一番,伟大的苏力红军会可耻的溃败?那种事出自那个所谓的 未来人口吻里,但是看起来也非常合理. 战争已经不可避免,普加乔夫看着苏力地图陷入沉思.不管怎样,战争尚未开始,一切都还是未知数. ------------ 第十章 伟大的卫国战争爆发 战争将在苏力东欧时间的6月11日凌晨三点爆发,此时距离那个时间越来越近. [] 莫斯科方面已经确定德 军将要进攻,但是在战争爆发前几个小时还是无法彻底确定德军攻击时间. 对于183步兵师,官兵没有更多的幻想,大家要做的只有静静等待.军列在向明斯克开进,部队还在源源不断的开赴边境,步兵师又补充了一些重武器,甚至还有大量的地雷. "你们所有人,在挖掘战壕之余,必须在6月11日 之前将我们的各式地雷全部埋放在阵地前."师长普加乔夫的命令是绝对的,他非常相信李小克提供的先知先觉的情报. 但是大部分军队并没有向183师那般专心致志,很多部队并未做好战争准备. "那些新兵,甚至只是刚刚学会开枪射击.也是因为如此,苏力无差别动员适龄年轻人,愣是导致了 一代人男人死光光."李小克只能自己吐槽,不管怎样动员兵也是战友. 待到战争开始,他非常清楚大量的士兵将阵亡,整个步兵师恐怕减员严重. 不管它么多了,战争既然要来它就好好享受战前的宁静,直到6月11日晚,李小克赶到师部. 参谋们对于战争非常乐观,那种情绪对于师长无疑是一种 迷魂药.李小克怒拍桌子,高声说道："同志们,战争就在明天爆发.明斯克那样的大城市将是德军首轮袭击的目标,我们的阵地很可能也会遭遇空袭." 普加乔夫抬起头,那段日子驻防巴季金斯卡亚村,战争的可能性仿佛只有各类文书上所言的步步紧逼,但是在那里生活依旧祥和. "别列科夫同 志,上级都未曾报告敌人进攻日期,你又如何坚持是明天?"政委质疑道. 李小克说不出理由,总不能说未来四年的战争进城我都门儿清,目前也就师长一人对自己的话感兴趣,其他那些人会把自己当做疯子.因此他只说那是一种猜测,但结果不会差太多. 师部里的气氛非常微妙,有战前的紧张, 也有渴望战争的到来. 普加乔夫当即命令战士们都安心睡觉,不管明日情况如何,德国人要战,它就起床打仗. 当晚,李小克把妻子撅起来,执意要在户外搭帐篷. "哥你为什么要那样,住在屋子里多好啊." 李小克不听她抱怨,直接指着天上的月亮."亲爱的,战争几个小时后就要爆发了.那一带 将是敌人飞机重点袭击的地方,我可不希望咱们被炸死在房间里." 帐篷很快搭好,军营中也鼾声一片.李小克神经紧绷着,怀中的妻子已经睡去. 苏德战争即将爆发,眼瞧着可爱的妻子,不知多少家庭因为那场战争妻离子散家破人亡,想着想着他也进入梦乡. 6月11日,时间进入周日的清晨.苏 力各个学校学生回家度过周末,毕业生们开始新一天的学习,莫斯科的青年走上红场,白海沿岸的民众开始聚集海边,列宁格勒依旧处于白天,斯大林格勒的工厂继续吐着白烟. 凌晨三点四十五分,第一缕阳光照耀莫斯科,而就在四十分钟前,总人数多达四百三十万的轴心国军队入侵苏力,伟大 的卫国战争爆发了. 德军空军率先越过边境,他们袭击一切找到的飞机场,大部分飞机直接被摧毁于地面,以至于苏力空军只有少数飞机可以起飞作战.苏军飞行员奋力反击,终因燃料耗尽不得不紧急迫降,更有甚者干脆选择冲撞敌军坦克杀身成仁. 斯图卡俯冲轰炸机,亨舍尔轰炸机,它们在战 斗机的掩护下,按照战前计划轰炸苏力大城市.在明斯克、维尔纽斯、基辅、斯摩棱斯克上空,敌机出现在空中肆无忌惮的投放炸弹. 不远处剧烈的爆炸声冲散了清晨的宁静,集结号在军营里吹响. 李小克惊醒过来,战争已经开始. 普加乔夫命令所有下级军官赶到师部,很快上级的电报发过来, 那是西北方面军军长巴甫洛夫转发斯大林的命令."即日起,德国人撕毁了和平条约,战争已经开始,所有部队迎击敌人,打败敌人." 普加乔夫看看左右,"同志们都明白了吗?战争爆发了,所有人做好战斗准备." 别列科夫（李小克）的预言成真了,政委和之前为之嘲讽的人无话可说.他们顾不上 别的,一个个赶到自己的防区整顿军备. 李小克亦是到了自己部队身边,特种反坦克营集结完毕. 他手中拿着计划稿,那是为应对敌人突破第一道防线后,与183步兵师接触后阻击战中那个营的战术安排. "拉夫连季,你率领一连帮助第二步兵团.叶甫根尼,你率领
二、学习新课 1.复数的除法 我们知道在实数集内，除法是乘 法的逆运算.复数集是对实数集的一次 扩充，复数集上的运算法则当然应该 满足且适用于实数集.所以复数集上的 除法也应该是乘法的逆运算.
即复数 a bi (a ,b R)除以c di (c di 0)商是指满足 :
(c di)(x yi) a bi
a bi 的 复 数 x yi (x ,y R), 记作： , c di 根 据 复 数 相 等 的 定 义： 得
cx dy a dx cy b
解得
x y
所以
ac bd 2 2 c d bc ad 2 2 c d
a bi ac bd bc ad 2 2 2 2i c di c d c d
4
3
2
50
三、巩固练习 课本P87 T1，2，3，4
四、课堂小结 （1）复数除法的定义及运算方法. （2）复数的积与商的模运算方法.
五、作业布置 练习册：P52 A组 T4，5， P53 T6，7，8 P53 B组 T1， P54 T2，3，4
； http://www.shihuu.com/ 霍山石斛 ； ； 2019.1 ；
ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c d c d
例题选讲
例1：计算：
1 i (1) 1 i 13 9i (2) 2 (2 i )
例 2： 已 知 复 数 z满 足 z 1, 求证： 1 z 为实数 z
2.复数积与商的模 已知复数z1=1+i,z2=3+4i请同学们计 算下列各式，能发现什么规律？
13.4复数的除法
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习： （1）复数相等的定义 （2）复数乘法的运算法则 （3）复数模的定义及共轭复数性质
问题1： 在实数集R内我们定义了加、减、 乘、除四则运算.在复数集C中我们已 经学过加、减、乘。请同学们结合实 数的除法运算法则，利用类比的思想 给复数的除法下一个定义.
(1) z1 z2 _____
z1 (2) _____ ; z2 z1 z2
; z1 z2 _______
_______
例 3： 设 z b, c, d R) 1 a bi ,z2 c di (a, 求证： z1 z2 z1 z2
复数模的运算法则：
(1) z1 z2 z1 z2