天津市河北区2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)

答案第 1页，共 7页
【详解】由函数 f (x) 的图象，知当 x 0 时， f (x) 是单调递减的，所以 f (x) 0 ； 当 x 0 时， f (x) 先减少，后增加，最后减少，所以 f (x) 先负后正，最后为负． 故选：B． 【点睛】本题考查原函数的单调性与导函数的正负的关系.属于基础题. 7．A
若此物体的瞬时速度为 0m/s ，则此时 t 的值为
.
14．若函数 f x x3 x 2 mx 1为 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是
.
试卷第 2页，共 3页
15．已知函数
f
x
2ex1, x 1
x3
x,
x
，则 1
f
f
x
2 的解集为
．
三、解答题 16．现有 10 本不同的数学书，9 本不同的语文书，8 本不同的英语书，从中任取 2 本不
3
答案第 3页，共 7页
【分析】根据 f ' x 0 求解. 【详解】 f ' x 3x2 2x m ，显然 f ' x 0 ，即 4 12m 0, m 1 ；
3 故答案为： m 1 .
3
15． ,1 ln 2
【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式 2ex1 1 ，即得答案.
故选：D. 5．C 【分析】直接根据排列的定义即可求出． 【详解】解：从 5 名志愿者中选出 3 人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方 案共 A53 60 种． 故选： C ． 【点睛】本题考查了排列的意义及其计算公式，属于基础题． 6．B 【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.
【分析】求处在点 1, f 1 处的导数值，根据点斜式直线方程求解.
【详解】 f 1 1, f ' x x 1 ex1, f ' 1 2 ， 在点 1,1 处的切线方程为： y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1 ；
故选：A. 8．D 【分析】求出函数 f (x) 的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出 a 值作答. 【详解】函数 f (x) 1 x3 ax2 (a2 4)x 8 ，求导得 f (x) x2 2ax a2 4 (x a)2 4 ，
C．6
D． 6
A． f x 2xcos2x x2sin2x
B． f x 2xcos2x 2x2sin2x
C． f x 2xcos2x x2sin2x
D． f x 2xcos2x 2x2sin2x
3．已知函数 f x 2x 1 ，设 f x 是函数 f x 的导函数，则 f 1 的值为（ ）
故答案为： ,1 ln 2
16． 242 【分析】根据取的两本书的学科种类进行分类，然后相加即可. 【详解】任取 2 本不同学科的书： 当取的是一本数学，一本语文，有109 90 种不同的取法； 当取的是一本数学，一本英语，有108 80 种不同的取法； 当取的是一本语文，一本英语，有 9 8 72 种不同的取法； 综上，一共有 90 80 72 242 种不同的取法. 故答案为： 242 . 17．(1) n 5 (2) 80
同学科的书，求共有多少种不同的取法?
17．已知二项式
2
x
1 x
n
的展开式中各项的二项式系数之和为
32.
(1)求 n 的值； (2)求展开式中含 x2 项的系数.
18．已知 f x x3 ax2 a2 x 2 .
（1）若 a 1 ，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
故选：B
3．A
【分析】利用导数的运算法则求出导数，再代值计算作答.
【详解】函数
f
x
2x
1 x
，求导得：
f
x
2
1 x2
，
所以 f 1 1.
故选：A 4．D 【分析】求导，根据导函数的符号求解.
【详解】 f ' x 3x2 12 ，依题意， f ' x 3x2 12 0, x2 4, x 2 或 x 2 ；
∴所求切线方程为 y 3 4 x 1，即 4x y 1 0 .
（2） f x 3x2 2ax a2 x a3x a
由 f x 0得 x a 或 x a
3
①当 a 0 时，由 f x 0 ，得 a x a .
3
由 f x 0得 x a 或 x a
3
此时
f
x 的单调递减区间为
A．
B．
试卷第 1页，共 3页
C．
D．
7．曲线 y xex1 在点 1, f 1 处的切线方程为（ ）
A． y 2x 1
B． y 2x 1
C． y x 2
D． y x 2
8．下列四个图象中，有一个图象是函数 f x 1 x3 ax2 a2 4 x 8a 0 的导数的 3
,
a
和
a 3
,
；
当
a
0
时，
f
x
的单调递减区间为
a 3
,
a
，单调递增区间为
,
a 3
和
a,
.
19．(1)在
(,1)
上递增，在
(1,
)
上递减，极大值
1 e
；
(2)函数图象见解析；
(3)答案见解析.答案第 源自页，共 7页【分析】（1）利用导数求出函数 f x 的单调区间，求出极值作答.
（2）由（1）分析函数的性质，作出图象作答.
（3）结合（2）中函数图象，探讨方程 f x aa R 的解的个数作答.
【详解】（1）函数
f
x
x ex
综上：共有 6+6+24=36 种结果， 故选：B．
答案第 2页，共 7页
10．D
【分析】利用导函数讨论函数的单调性，并根据零点的存在性定理判断即可.
【详解】函数 f x 1 x lnx 的定义域为 (0, ) ，
3
f x 1 1 x 3，
3 x 3x
令 f ¢(x) > 0 ，解得 x 3 ，
图象，则 f 2 的值为（ ）
A． 17 3
B． 17 3
C．
8 3
D． 8 3
9．用数字 1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有
A．48 个
B．36 个
C．24 个
10．设函数 f x 1 x lnx，则 f x （ ）
3
A．在区间 0,1 内有零点，在 1, 内无零点
根据点斜式即可得出切线方程；（2）根据 f (x) ，对 a 分类讨论，再根据 f (x) 0 与 f (x) 0 ，
可得函数的单调区间.
试题解析：（1）∵ a 1，∴ f x x3 x2 x 2 ，∴ f x 3x2 2x 1
∴ k f 1 4 ，又 f 1 3 ，所以切点坐标为 1,3
天津市河北区 2022-2023 学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二项式
x
1 x
4
的展开式中，第
2
项的系数为（
）
A．4
B． 4
2．函数 f x x2cos2x 的导数为（ ）
5
项，所以常数项为 C64
15
13．2
【分析】根据给定条件，求出 y t 的导数，再利用瞬时速度的意义求出 t 值作答.
【详解】由 y t t2 4t 5 求导得： yt 2t 4 ，依题意，由 yt 0 解得 t 2 ，
所以 t 的值为 2. 故答案为：2 14． m 1
3 于是函数 y f (x) 的图象是开口向上，对称轴为 x a 的抛物线，①②不满足，
又 a 0 ，即函数 y f (x) 的图象对称轴不是 y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，
函数 y f (x) 的图象过原点，且 a 0 ，显然 f (0) 0 ，从而 a 2 ，
f (x) 1 x3 2x2 8 ，所以 f (2) 1 (2)3 2 (2)2 8 8 .
D．18 个
B．在区间 0,1 ， 1, 内均有零点
C．在区间 0,3 ， 3, 内均无零点
D．在区间 0,3 ， 3, 内均有零点
二、填空题
11．曲线
y
1 2
x2
2
在点
1,
3 2
处的切线的斜率为
.
12．二项式 (x2 1)6 的展开式中，常数项为 x
13．某物体的运动规律是位移 y（单位：m ）与时间 （t 单位：s ）之间的关系 y t t2 4t 5 ，
x
A．1
B．2
C．3
D．4
4．函数 f x x3 12x 16 的单调递增区间为（ ）
A． , 2
B． 2,
C． 2, 2
D． , 2 和
2,
5．从 5 名志愿者中选出 3 人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共
有（ ）
A．10 种
B．20 种
C．60 种
D．120 种
6．设函数 f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f′（x）的图象可能是（ ）
a,
a 3
，单调递增区间为
, a
和
a 3
,
.
②当 a 0 时，由 f x 0 ，得 a x a .
3
由 f x 0得 x a 或 x a
3
此时
f
x 的单调递减区间为
a 3
,
a
，单调递增区间为
,
a 3
和
a,
.
综上：当
a
0
时，
f
x
的单调递减区间为
a,
a 3
，单调递增区间为
【分析】（1）通过 2n 32 即可求出 n 的值；
（2）写出二项展开式的通项 Tr1 并整理，然后令 x 的次数为 2 即可求出 r ，进而可得 x2 项的
系数. 【详解】（1）由二项式系数之和为 32 得 2n 32 ， 所以 n 5 ；
（2）由（1）可得二项式为
2x
1 x
5
，
答案第 4页，共 7页
（2）若 a 0 ，求函数的单调区间.
19．已知函数
f
x
x ex
.
(1)判断函数 f x 的单调性，并求出函数 f x 的极值； (2)画出函数 f x 的大致图象； (3)讨论方程 f x aa R 的解的个数.
试卷第 3页，共 3页
1．B
参考答案：
【分析】根据二项式定理求解.
【详解】根据二项式定理：Tr 1
其展开式的通项为 Tr1 C5r
2x
5r
1 x
r
2
5r
C5r x
5 3r 2
，
令 5 3 r 2 ，得 r 2 ， 2
所以展开式中含 x2 项的系数为 23C52 80 .
18．(1) 4x y 1 0 .(2)答案见解析.
【详解】试题分析：（1）由 a 1，求出 f (x) ，即可求出 f x 在点 1, f 1 处的切线的斜率，
3
故选:D.
11． x y 5 0 2
【分析】先求出曲线在
1,
3 2
处的导数，再根据直线的点斜式方程求解.
【详解】
y'
x,
y' |x1
1
，在
1,
3 2
处的切线方向为：
y
3 2
1
x
1
，即
xy5 0 ； 2
故答案为： x y 5 0 2
.
12．１５
【详解】 (x2
1)6 x
常数项为第
令 f x 0 ，解得 0 x 3 ，
所以函数 f (x) 在 0,3 单调递减， 3, 单调递增，
且 f 3 1 ln3 0, f ( 1)
1
1 0,
f
(e
2)
e
2
2
0
，
e 3e
3
所以函数在区间 0,3 ， 3, 内均有零点，
f 1 1 0 ,则 f x 在区间 0,1 无零点，
C4r x
r
1 x
4r
，第二项即 r 1
，T2
C14
x
1 x
3
4 x 2
，
第二项的系数为： 4 ； 故选：B. 2．B 【分析】利用积的导数和复合函数的求导法则，求出函数 f (x) 的导数作答.
【详解】函数 f x x 2 cos 2x ，求导得 f (x) (x2 ) cos 2x x2 (cos 2x) 2x cos 2x 2x2 sin 2x .
3
3
3
故选：D
9．B
【分析】利用分步计数原理，对首位和末尾进行分类讨论，即可求解.
【详解】大于 20000 决定了第一位，只能是 2，3，4，5 共 4 种可能，
偶数决定了末位是 2，4 共 2 种可能
当首位是
2
时，末位只能是
4，有
A
3 3
3
21
6
种结果，
当首位是 4 时，同样有 6 种结果，
当首位是 3，5 时，共有 2×2× A33 =24 种结果，
【详解】因为当 x 1时， f x x3 x 2 ，当 x 1时， f x 2ex1 2 ，
所以 f f x 2 等价于 f ( x) 1，此时 f (x) 2ex1 ，即 2ex1 1 ，解得 x 1 ln 2 ， 所以 f f x 2 的解集为 ,1 ln 2 ,