初三数学二次函数基础知识及相关典型题目

初三数学二次函数基础知识及相关典型

题目

二次函数基础知识及相关典型题目

第一部分基础知识

1.定义：一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y 叫做x的二次函数.

2.二次函数y ax2的性质

（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y ax2的图像与a的符号关系.

①当a

0②当a 0（3.

3.二次函数y.

4.二次函数式，其中

bh ，k2a5.二次函数由ax k；③y a x 2

6. ①a

a ②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0. 7.所有抛物线均相似！

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac b2b 4ac b2

（）（1）公式法：y ax bx c a x ，∴顶点是，

2a4a2a 4a

2

2

对称轴是直线x

b

. 2a

2

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线x h.

初三数学二次函数

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线

x

，故：①b 0时，对称轴为y轴；② 0（即a、b同号）时，对称轴在

a2a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y a x h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

2

（可以看成y ax的图像向右平移h个单位，向上平移k个单位的图像所对应的函数。）

2

初三数学二次函数

（3）“交点式”：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

bcy a x x1 x x2 .（由此得根与系数的关系！x1 x2 ,x1x2 ）

aa

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0, c).

（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一

(h,ah bh c). （3）抛物线与x轴的交点

二次函数

次方程（4）平行于同（3 （5 的图像G的

2

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解l与G有两个交点; 时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c 与x轴两交点为

2

A x1，0 ，

B x2，0 ，由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的两个根，故

bc

x1 x2 ,x1 x2

aa

AB x1 x2

x1 x22

x1 x22

b2 4ac b 4c

4x1x2

aaa a

* 数学问题与研究的特点：

初三数学二次函数

“正”问题：给定一个抛物线（数字系数―字母系数），确定其性质；“反”问题：给定抛物线要满足的性质，确定该抛物线。

通常“正”问题来得简单，“反”问题会更复杂。这给了我们一个基本的衡量问题难度的标准。对学生而言，对“正”问题的学习是最基本的，“反”问题适可而止。__ 注意代数形式与几何图像之间的联系。不同语言之间的转换经常会涉及问题理解的实质！理解是数学的核心。

__ 转化（化归）是一个基本的数学思想方法，初中二次函数的问题根本上都可以转化为y x2的问题。学生不能深陷“题海”，教师更要有能力跳出“题海”，在思想上

１.A.（2，－2

２.（C ）

Ａ．ab＞00

第２,３. （Ｄ）

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

ABC中，BC=8，BC上的高h 4，D为BC上一点，４.（题设稍多的正问题）如图，已知

EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E 到BC的距离为x，则DEF

的面积y关于x的函数的图象大致为（Ｄ）

EF4 x

EF 8 2x, y x2 4x 84

初三数学二次函数

D

５.（正问题）抛物线y x2 2x 3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4 ．6.（反问题）已知二次函数y＝kx2＋(2k－，1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2）则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx 2＋(2k－1)x 1＝0

，其中所有（* 证明：(x1 1)(x2 1)7.B；一抛物（1）（2）过点By 2x b解：（1）y x, )，由题意得（0，b)代入，得c b.顶点坐标为( 将

24

b 10b2 16b 100

2 b ，解得b1 10,b2 6.

24

（2）y 2x 2

8.（简单的反问题）有一个运算装置，当输入值为x时，其