离散时间信号与系统的Z域分析(1)_OK

的圆内，可能包含 z 0 。
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
2.2 z反变换
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与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，在离
散时间系统中，应用z变换的目的是为了把描述
系统的差分方程转换为复变量z的代数方程，然
后写出离散系统的传递函数（z域传递函数）、
做某种运算处理，再用z反变换求出离散时间系 统的时间响应。
M N
Bn z n
n0
N s
Ak
k 1 1 zk z 1
s
k 1
(1
Ck zi z 1 ) k
式中，若 M 时N，才存在整式部分系数 （B即n 上式右 边第一项），可用长除法得到，而当 M时，N ；
为 B的n 各0 一z阶k 极X点(z)； 为 的一个 kz阶i 极X点(z。) 依据留
数定理，可求得系数 , 分别为
n
n0
(z1)n
当 z1 1，即 z 1 有
1
z
X (z)
1 z 1 z 1
z 1
X (z)的零点为 z 0 ，极点为 z 1。
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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（3）单位斜变序列
x(n) nu(n)
由（2)中讨论可知
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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2.1变换的定义及收敛域
2.1.1 z变换的定义
一个序列 xn的 z变换定义为
X z xnzn x
其中，z是一个连续复变量，也就是说，z 变换是在复频
域内对离散时间信号与系统进行分析。由定义可见，
是一个复变量 z 的幂级数。亦可将 z 变换表示成算子
的形式： X z Zxn
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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基于此，z 变换算子可以看作是将序列 xn 变换为函
数 X z ，二者之间的相应关系可记为
xnz X z
由式（2.1.1）所定义的z变换称为双边z变换，与此
相对应的单边z变换则定义为
X z xnzn
（2.1.2）
所以，收敛域内不包含极点。
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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2、序列形式与其z变换收敛域的关系
（1） xn为有限长序列
xn
xn,
0,
n1 n n2 其它
n2
X z xnzn xnzn
n
nn1
若 xnzn , n1 n n2 每一项都有界
则必有 z n , n1 n n2
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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当n1 0、n2 0时，显然在0 z 内的z值都满 足该条件，收敛域为除去原点和无穷远点的z平面，
如图2.1.1(b)阴影区域所示。
当n1 0、n2 0时，除去原点外的z值都满足条件，
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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第2章 离散时间信号与系统的Z
域分析
•2.1 Z变换的定义及收敛域
•2.2 Z反变换
•2.3 Z变换的性质与定理
•2.4 Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的
关系
•2.5傅里叶变换的定义及性质
•2.6利用Z变换求解差分方程
•2.7离散时间系统的系统函数和频率响应
。R因此z， 的收敛域X为z二 者
，如图R2.1.3z(b)阴影区域所示。
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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（3）xn为 左边序列
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xn
xn,
0,
n n2 n n2
n2
X z xnzn n
z
X (z) 1 a 1z z a
X (z)零点为z 0，极点为z a
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
z
（6）双边指数序列
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x(n) anu(n) bnu(n 1) (b a 0)
该序列的z变换
X (z) x(n)zn anu(n) bnu(n 1) zn
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
2.2.1部分分式展开法
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在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法 求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系统
中，当 X的(表z)达式为有理分式时，z反变换也可以
用部分分式展开法求取。首先将 分X解(z成) 多个部分
分式之和，然后对各部分分式求z反变换，则所求序
n
n
n1
上式右端第一项为z的正幂级数，同样其收敛域 为 0 z R ；第二项为（1）中讨论过的有限长序
列的z变换，其收敛域为 0 z 。因此，X z 的
收敛域为二者的重叠区域 0 z R 。
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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极点位于 z a 与 z b 处。前已提及,z变换的收敛域
内不应该包含任何极点。由上述分析进一步看出，X z
的收敛域内确实不包含任何极点。通常收敛域以极点
为边界，对于多个极点的情况：
1）右边序列z变换的收敛域一定在模值最大极点所在
的圆外，可能包含 z ；
2）左边序列z变换的收敛域一定在模最小的极点所在
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0nRx1(2n)z0zRR
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表2.1.1 序列的形式与z变换收敛域的关系
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2.1.3 常用序列的z变换
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在离散时间信号与系统中， 变z 换法是变换域分 析法中最重要的一种。 变z换在离散时间信号与系
统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号与 系统中的作用。它把描述离散时间系统的差分方程
转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。 变z
换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引出， 也可以在离散域直接给出。
这是一个右边序列，其z变换为
X (z) anu(n)zn an zn (az1)n 1 az1 (az1)2 (az1)n
n
n0
n0
当 az1 1 ，即 z a 时，有
1
z
X (z)
1 az 1 z a
za
X (z)零点为z 0，极点为z a
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2.1.1所示。
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R 0 R
Re（z）
图2.1.1 环状收敛域
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常见的一类z变换是有理函数，即
X
z
Pz Qz
使 X z 0 的那些z值称为X z的零点，而使 X z 的那些z值称为 X z的极点。零点、极点也可能包含
z 处的点。由于 X z 在收敛域内是解析函数，
显然，只有xn
n
为因果序列（即
xn
0,
n
0）时，其
单边z变换与双边z变换才是相等的。
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2.1.2 z变换的收敛域
1、收敛域的定义
由定义式，只有幂级数收敛时，z变换才有意义。
对于任意给定的序列 xn，使其z变换所定义的幂级
数 xnzn 收敛的所有z值的集合称为 X z的收敛域。 n 收敛的充分且必要条件是绝对可和，即
xnzn xn z n
n
n
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为使上式成立，就须确定 z 取值的范围，即收
敛域。由于 z 为复数的模，则可以想象出收敛域为
一圆环状区域，即
R z R
jIm（z）
其中，R、R称为收敛半径，R
可以小到0，而 R可以大到 。
式（2.1.4）的 平面表示如图
（4）xn为双边序列
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X z xnzn xnzn xnzn
n
n0
n
通过（2）、（3）中的讨论可知，上式第一项为右
边序列(因果序列)，其收敛域为 z R ；第二项为 左边序列，其收敛域为 z R ；若 R R ，则取
交集得到双边序列的收敛域为 R z R，这是一 个环形的收敛域。如图2.1.5(b)阴影区域所示。
Ak Ck
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Ak
Re s[ X (z)
z]zzk
( z
zk
)
X
(z) z
zzk
,
Ck
1 d sk
(s
k
)!
dz
s
k
(z zi )s
X
( z
z
)
z
zi
,
k 1,2,, N s k 1,2,, s
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（2） xn为右边序列
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xn
xn,
0,
n n1 n n1
X z xnzn nn1
当 n时1 ，0 为Xz的z 负幂级数，根据级数理论，存
在一个收敛半径 ，R 在X以z原点为中心、 为半R径 的
圆外处处收敛，即收敛域为
。R此 时z的 为因
果序列x，n因此， 在无穷远处X收z敛 是因果序列的特
征；
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当 n1 时 0， 可X写z为
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X z xnzn xnzn xnzn
nn1
nn1
n0
上式右端第一项是（1）中讨论过的有限长序列的z
变换，其收敛域为 0 z ； 第 二项为 的X负z幂 级数，
同样其收敛域为 的重叠区域，即
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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例 2.2.1 已知
X
(z)
(z
2z2 1)( z
2)2
z 2
利用部分分式展开法求z反变换 x(n) 。
解： X (z)
2z
A C1 C2
z (z 1)( z 2)2 z 1 z 2 (z 2)2
A
( z
1)
X (z) z z1
收敛域为除去原点的 z平面，即 0 z ；
当n2 0、n1 0时，除去无穷远点的z值都满足条
件，收敛域为除去无穷点的z平面，0 z ；
特殊的，当n1 0、n2 0 时，收敛域为整个z平 面，即 0 z 。
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~x2 (n)
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
（5）左边指数序列
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x(n) a nu(n 1)
这是一个左边序列，其z变换为
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X (z) anu(n 1)zn an zn an zn
n
n
n1
a1z (a1z)2 (a1z)n
当 a1z 1，即 z a 时，有
a 1 z
z 1
将上式两边对z求导得
n0
(nz (n1)
)
z 2 (1 z 1 )2
两边同乘以-z得 x(的n)z变换
z 1
X (z) nzn
n0
z 1 (1 z 1 )2
z (z 1)2
z 1
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当
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
，即
（4）右边指数序列
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x(n) anu(n)
列 就是各x(n部)分分式的z反变换之和。在求各部分
分式z反变换时，可利用表2.1.2中的基本z变换对。
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
M
表示成有理分式形式 X (z) P(z)
bi z i
i0
Q(z)
N
1 ai z i
展成以下部分分式形式
i 1
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X (z)
当n2 0 时，X z 为z的正幂级数，根据级数理论， 必存在一个最大收敛半径 R ，X z 在以原点为中心、R
为半径的圆内处收敛，即收敛为 0 z R ；
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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当 n2 0时，X z可写为
n2
0
n2
X z xnzn xnzn xnzn
（1）单位抽样序列
x(n) (n)
z 变换
X (z) Z[ (n)] (n)z n z 0 1 n
收敛域为整个z平面
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第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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（2）单位阶跃序列
x(n) u(n)
z 变换
X (z) u(n)zn zn 1 z1 (z1)2
n
n
1
anzn bnzn anzn 1 bnzn
n0
n
n0
n0
若 z a, z b ，则上面的级数收敛，得到
X(z) z 1 b z z
a z b
za zb za zb
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Xz (z)
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
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该序列的双边z变换的零点位于z 0 及z a b ，