用三线扭摆法测转动惯量

用三线扭摆法测定物体的转动惯量
xx（xxxxxxx）
（xxxxxxxxx）
摘要：通过使用三线摆、水平仪、计时器、游标卡尺、米尺等仪器测量待测圆盘、圆环、圆柱体的转动惯量，了解并掌握了三线摆测转动惯量的原理和方法，对比实验值和理论值，分析实验误差并提出自己对实验方法的一些思考。

关键词：转动惯量；三线扭摆；误差
Using Trilinear Pendulum to Measure
Meamoment of Inertia
xxxxx
(xxxxxxxxx)
Abstract:I was familiar with the theory and methods to measure the moment of inertia by using torsional pendulum. And then after the comparison between the experimental results and theoretical results, I would analyze the measurement errors and put forward some thoughts on the experiment.
key words: moment of inertia; torsional pendulum; measurement errors
转动惯量是表征刚体转动特性的物理量，是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体质量的大小、转轴的位置和质量分布等有关。

本实验采用三线扭摆法测量刚体的转动惯量，对比数据，发现若干引起实验误差的原因。

本文的目的在于分析这些误差，并对一些测量方法进行改进。

1 三线扭摆法
1.1实验仪器
三线扭摆、圆环一个、圆柱两个、计时器、水平仪、游标卡尺、米尺。

1.2实验原理
1.2.1 测定悬盘绕中心轴的转动惯量
三线摆装置如图所示，下部有一匀质圆盘，在小于其周界的同心圆周上作一内接等边三角形，从三角行的三个顶点引出三条悬线对称地连接在置于其上部的一个水平小圆盘的下面，小圆盘可以
绕自身的垂直轴转动’设圆盘质量为m ，把它绕OO'轴扭转一个小角度θ时，整个悬盘也随之升高h 。

忽略摩擦力的影响，悬盘扭转运动过程中机械能守恒。

则有下式：
恒量=+
+
2
2
0)(
2
1)(
21dt
dh m dt d J mgh θ （1）
式中 J 0 是圆盘绕中心轴的转动惯量，m 是圆盘的质量， h 是上升的高度。

mgh 对应于某时刻悬盘的重力势能（取悬盘在平衡位置时重力势能为零），
2
0)
(
21dt
d J θ对应于悬盘绕中心轴OO'的转动的动
能，2
)
(
21
dt dh
m 对应于悬盘作上下升降运动时的
平动动能。

在悬线足够长，且悬盘作小角度转动时，
平动动能远小于转动动能。

忽略（1）中平动动能并对时间求导，则有
022
0=+⋅⋅
dt
dh mg
dt
d dt d J θθ （2）
在θ很小的情况下，有
H
Rr h 22
θ
=
dt
d H
Rr dt
dh θθ
⋅=
（3）
将（3）式带入（2）后可得
0)(
22
=+θθHJ
mgRr dt
d
上式是一个简谐运动方程，其解为 )cos(0ϕϖθθ+=t
式中
HJ
mghRr =
ϖ为悬盘转动的角频率，0θ为角振
幅。

因为转动周围ϖπ/2=T ，于是有
2
2
04T H
mgRr J π=
（5）
这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算
公式。

1.2.2 测定圆环的转动惯量
把质量为M 的圆环放在悬盘上，使两者中心轴重合，组成一个系统。

测得它们绕中心轴转动的周期为1T ，则它们总的转动惯量为：
2
12
14)(T H
gRr
m M J π+=
（6）
得圆环绕中心轴的转动惯量为
01J J J -=
（7）
圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为
22
1112()2
m J R R =
+ （8）
式中 R 1 和 R 2 分别为圆环内外半径。

1.2.3 测定圆柱的转动惯量
将两个质量均为M’、半径为Rx 、形状相同
的圆柱体对称地放置在悬盘上，柱体中心离悬盘中心的距离为x ，按上法测得两圆柱体和悬盘绕中心轴的转动周期为Tx ，则两圆柱体绕中心轴的转动惯量为： 2
02
(2')24x
x m M gRrT J J H
π+=
- （9）
根据转动惯量的平行轴定理，圆柱体绕中
心轴的转动惯量的理论计算公式为：
2
2
''2
x
x M R J M x =+
（10）
2 实验数据分析
2.1 实验数据表格
1. 转动周期
2.各长度量和质量的测量
r=
a 3
3=2.345x10-3
m R=
b 3
3=8.058x10-2
m
圆盘半径R o =8.505x10-2
m 两圆盘之间的垂直距离H=0.3559m
悬盘的质量m=511.34x10-3
Kg 圆环的质量M=302.36x10-3
Kg 圆柱体的质量M’=174.37x10-3Kg
2.2实验数据及误差分析
1.从百分误差这一项来看，实验误差并不是很大，均控制在了5%以下，应该不存在粗大误差。

2.系统误差：由实验原理可知，使用机械能守恒时。

略去了平动动能，而且摆角也不能准确地控制在5o 以下，同时实验中也忽略了阻尼运动的影响。

3.操作引起的误差：由于圆环，圆柱体外表很光滑，使用游标卡尺是比较困难准确地卡紧在直径的位置，而且直径准确位置也不容易找到。

在测量H 时，由于实验器材的限制，测量可能会有误差。

4. r,R 仅为轴心到悬孔之间的距离，不能代表真正悬
盘的半径大小，所以要补充测量圆盘的半径
R o =8.500cm . 如果用 R=7.983cm 代入计算会造成
理论值比实际值偏大。

5.在摆放圆柱体时，要对称分布在圆盘的某一直径上，而且其圆心到圆盘的圆心的距离也不好测量，这也可能是造成误差的原因之一。

2.3思考与讨论
1.H 、圆环内外直径，圆柱体半径的测量：由于米
尺的零刻度线不在其低端边缘，所以要分别测出两圆盘分别在底座的距离再相减，同时要注意米尺一定要竖直；由于圆环和圆柱表面很光滑，很难用卡尺卡紧，所以可以采用细绳环绕的方法测量其周长，在算出直径。

2. 摆线长度与实验误差的关系
仅用圆盘绕中心轴的实验来猜想摆线长度与误
差的关系，取摆线为特定的三个值，测量不同情况下与理论值的误差百分比。

物体转动惯量的精度是有影响的，摆线长度越长，实验精度提高，所以猜想：在摆线长度足够长的情况下，三线摆法测试转动惯量精度越高。

3. 三线摆上放上待测的圆环或圆柱体后，它的转动周期不能确定变大或变小，转动惯量的大小除了和总质量有关外，与质量分布情况也密切相关，可能会影响到质心的位置的改变，因此不能简单判断。

4.三线摆在摆动中受到空气阻尼，振幅越来越小，它的周期将如何变化？周期减小，但对测量结果影响不大，因为本实验测量的周期比较短。

参考文献：
[1] 钱锋，潘人培.大学物理实验（修订版）[M].2005年11月第2版，高等教育出版社
[2] 郑立，三线扭摆法测转动惯量实验误差研[J].
黄山学院学报，2009，V o1.11,NO.5
[3] 宋超等. 《用三线摆方法测试物体转动惯量的误差问题》.2002。