高中数学人教A版选修4-4优化练习第二讲一第二课时圆的参数方程含解析
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[课时作业] [A 组 基础巩固]
1.曲线C :⎩
⎪⎨⎪⎧
x =cos θ-1,
y =sin θ+1(θ为参数)的普通方程为( )
A .(x -1)2+(y +1)2=1
B .(x +1)2+(y +1)2=1
C .(x +1)2+(y -1)2=1
D .(x -1)2+(y -1)2=1
解析:由已知条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧
cos θ=x +1,
sin θ=y -1,两式平方再相加,可得(x +1)2+(y -1)2=1,故
选C.
答案:C
2.参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x =3cos φ+4sin φ,
y =4cos φ-3sin φ表示的图形是( )
A .直线
B .点
C .圆
D .椭圆
解析:将参数方程化为普通方程为x 2+y 2=25,表示的图形是以原点为圆心,以5为半径的圆.
答案:C
3.若直线3x +4y +m =0与圆⎩
⎪⎨⎪
⎧
x =1+cos θ,y =-2+sin θ(θ为参数)相切,则实数m 的值是( )
A .0
B .10
C .0或10
D .无解
解析:由题意,知圆心(1,-2),半径r =1.由直线与圆相切,可知圆心到直线的距离等于半径,所以d =|m -5|
5
=1,解得m =0或m =10.
答案:C
4.P (x ,y )是曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+cos α,
y =sin α(α为参数)上任意一点,则(x -5)2+(y +4)2的最大值
为( )
A .36
B .6
C .26
D .25
解析:设P (2+cos α,sin α),代入得: (2+cos α-5)2+(sin α+4)2
=25+sin 2α+cos 2α-6cos α+8sin α =26+10sin(α-φ).∴最大值为36. 答案:A
5.若直线l :y =kx 与曲线C :⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+cos θ,
y =sin θ(θ为参数)有唯一的公共点,则斜率k
=( )
A.
3
3
B .-33
C .±33
D. 3
解析:曲线C :⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+cos θ,
y =sin θ(θ为参数)的普通方程为(x -2)2+y 2=1,所以曲线C 是
一个圆心为(2,0)、半径为1的圆.因为圆C 与直线l 有唯一的公共点,即圆C 与直线l 相切,则圆心(2,0)到直线l 的距离d =
|2k -0|
k 2+(-1)2
=1,解得k =±3
3.
答案:C
6.x =1与圆x 2+y 2=4的交点坐标是________.
解析:圆x 2
+y 2
=4的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x =2cos θ,y =2sin θ,
令2cos θ=1得cos θ=12,∴sin θ=±3
2.
∴交点坐标为(1,3)和(1,-3). 答案:(1,3),(1,-3)
7.若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x =t cos θ,y =t sin θ(t 为参数)与圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x =4+2cos α,
y =2sin α(α为参数)相切,则θ=________. 解析:直线为y =x tan θ,圆为(x -4)2+y 2=4,作出图形(图略),直线与圆相切时,易知tan θ=±33,所以θ=π6或θ=5π
6
.
答案:π6或5π6
8.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x =3sin θ+4cos θ,
y =4sin θ-3cos θ(θ为参数),则此圆的半径为________.
解析:由⎩
⎪⎨⎪⎧
x =3sin θ+4cos θ,
y =4sin θ-3cos θ,
得x 2+y 2=(3sin θ+4cos θ)2+(4sin θ-3cos θ)2=25(sin 2 θ+cos 2 θ)=25, 所以圆的半径为5.
答案:5
9.圆M 的参数方程为x 2+y 2-4Rx cos α-4Ry sin α+3R 2=0(R >0). (1)求该圆的圆心坐标以及半径;
(2)当R 固定,α变化时,求圆心M 的轨迹. 解析:(1)依题意,得圆M 的方程为 (x -2R cos α)2+(y -2R sin α)2=R 2,
故圆心坐标为M (2R cos α,2R sin α),半径为R . (2)当α变化时,圆心M 的轨迹方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2R cos α,y =2R sin α(其中α为参数), 两式平方相加,得x 2+y 2=4R 2.
所以,圆心M 的轨迹是圆心在原点,半径为2R 的圆. 10.若x ,y 满足(x -1)2+(y +2)2=4,求S =2x +y 的最值.
解析:由(x -1)2+(y +2)2=4知,它表示以(1,-2)为圆心,半径为2的圆, 设x =1+2cos θ,y =-2+2sin θ, ∴S =2x +y =2+4cos θ-2+2sin θ =4cos θ+2sin θ=25sin(θ+φ), ∴-25≤S ≤2 5.
∴S 的最大值为25,最小值为-2 5.
[B 组 能力提升]
1.设曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+3cos θ,y =-1+3sin θ(θ为参数),直线l 的方程为x -3y +2=0,
则曲线C 上到直线l 距离为
710
10
的点的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3
D .4
解析:∵曲线C 的方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+3cos θ,
y =-1+3sin θ(θ为参数),
∴(x -2)2+(y +1)2=9,而l 的方程为x -3y +2=0, ∴圆心(2,-1)到l 的距离 d =|2+3+2|1+9
=710=710
10.
又∵71010<3,1410
10>3,∴有2个点.
答案:B
2.若直线y =x -b 与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+cos θ,
y =sin θ(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点,则实数b
的取值范围为( )
A .(2-2,1)
B .[2-2,2+ 2 ]
C .(-∞,2-2)∪(2+2,+∞)
D .(2-2,2+2)
解析:曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2+cos θ,
y =sin θ,即为圆(x -2)2+y 2=1.
直线y =x -b 与圆(x -2)2+y 2=1有两个不同的公共点,则圆心(2,0)到直线y =x -b 的距离小于圆的半径1,
即
|2-b |
2
<1,∴2-2<b <2+ 2. 答案:D
3.设Q (x 1,y 1)是单位圆x 2+y 2=1上一个动点,则动点P (x 21-y 2
1,x 1y 1)的轨迹方程是
________.
解析:设x 1=cos θ,y 1=sin θ,P (x ,y ).
则⎩⎪⎨⎪⎧ x =x 2
1-y 2
1=cos 2θ,y =x 1y 1=1
2sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧
x =cos 2θ,y =12sin 2θ为所求. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧
x =cos 2θ,y =12
sin 2θ
4.圆的参数方程为⎩⎨⎧
x =2+4cos θ,y =-3+4sin θ
(0≤θ<2π),若圆上一点P 对应参数θ=4
3π,则
P 点的坐标是________.
解析:当θ=43π时,x =2+4cos 4
3π=0,
y =-3+4sin 4
3π=-33,
∴点P 的坐标是(0,-33). 答案:(0,-33)
5.P 是以原点为圆心,r =2的圆上的任意一点,Q (6,0),M 是PQ 的中点. (1)画图并写出⊙O 的参数方程;
(2)当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹的参数方程.
解析:(1)如图所示,
⊙O 的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2cos θ,
y =2sin θ.
(2)设M (x ,y ),P (2cos θ,2sin θ),因Q (6,0), ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧
x =6+2cos θ
2
,y =2sin θ
2,
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x =3+cos θ,
y =sin θ. 6.已知直线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧ x =1+t cos α,y =t sin α(t 为参数),圆C 2:⎩
⎪⎨⎪⎧
x =cos θ,
y =sin θ(θ为参数). (1)当α=π
3
时,求C 1与C 2的交点坐标;
(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A ,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解析:(1)当α=π
3
时,C 1的普通方程为y =3(x -1),C 2的普通方程为x 2+y 2=1.
联立方程组⎩⎨⎧
y =3(x -1),
x 2+y 2=1,
解得C 1与C 2的交点为(1,0),⎝⎛⎭⎫12,-3
2.
(2)C 1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α=0. A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α), 故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为
⎩⎨⎧
x =1
2
sin 2α,y =-1
2sin αcos α
(α为参数).
P 点轨迹的普通方程为(x -14)2+y 2=1
16.
故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14,0,半径为1
4的圆.。