[PPT课件]现代信号处理-维纳和卡尔曼滤波

2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程
把k的取值代入(2.2.9)式， 得到：
当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0) k=1时， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+…+ hMrxx(M-2)= rxd(+1)

k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+…+hMrxx(0)= rxd(M-1)
(2.2.10)
…
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程 定义 T T h h1, h2 ,, hM , Rxd rxd (0), rxd (1),, rxd (M 1),
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
2.1 引 言
为了得到不含噪声的信号 s(n) ，也称为期望信号， 系统的期望输出用 yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值
若滤波系统的单位脉冲响应为 h(n) （如图 2.1.2 所示）， s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或
估计，用公式表示为yd(n)=s(n)， y(n) =
因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为 G(z)的求解。
x(n)
1 B( z)
(n )
G(z)
^ y(n)＝ s (n)
图 2.3.3 维纳滤波解题思路
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
2.3.1 非因果维纳滤波器的求解
假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为 ω(n)，期 望信号 d(n)=s(n) ，系统的输出信号 y(n)=s(n) ， g(n) 是 G(z)的逆Z变换， 如图2.3.3所示。
将大大简化。
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
假设 x(n) 的信号模型 B(z) 已知（如图 2.3.2(a) 所 示），求出信号模型的逆系统 B-1(z) ， 并将 x(n) 作为
输入，那么逆系统 B-1(z) 的输出 ω (n) 为白噪声。一般
把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器
称为白化滤波器。
力。
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
把信号的频谱用Pss(ejω)表示，噪声的频谱用Pvv(ejω) 表示，那么非因果的维纳滤波器的传输函数 Hopt(ejω)的
幅频特性如图2.3.1所示。
PSS (e j ) Ho pt(e j ) Pvv(e j )
0 图 2.3.1 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性
(n )
B( z)
x( n )
x( n )
B－ 1 ( z)
(n )
图 2.3.2 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
具体思路如图 2.3.3所示。用白噪声作为待求的维 纳滤波器的输入，设定1/B(z)为信号x(n)的白化滤波器
的传输函数，那么维纳滤波器的传输函数 G(z) 的关系 为： H ( z ) G ( z ) (2.3.3) B( z )
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法
要使均方误差为最小，须满足
E[| e(n) |2 ] 2E[ x* (n j )e(n)] 0 h j
（2.2.5）
因此，上式说明，均方误差达到最小值的充要条件 是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就 是通常所说的正交性原理。
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法
它的重要意义在于提供了一个数学方法，用以 判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。 下面计算输出信号与误差信号的互相关函数
E[ y (n )e (n )] E[ h( j ) x(n j )e (n )]
* * j 0

h( j ) E[ x(n j )e* (n )]
注意我们所研究的是随机信号，图 2.2.1 中各矢量 的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期 望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号 2 2 2 E [| e | ], 都是零均值, 应用正交性原理,则 d yo p t opt 因此在滤波器处于最佳状态时， 估计值的能量总是小 于等于期望信号的能量。
（2.2.３）
e(n) d (n) y(n) s(n) y(n)
E[| e(n) |2 ] E[| d (n) y(n) |2 ]
2 E d (n) h(m) x(n m) m 0
（2.2.４）
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
r xd (k )
m
h ( m) r
xx
(k m) h(k ) rxx (k )
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到 Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
（2.3.1）
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
1 jω H opt (e ) 1 0
Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω)=0 Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω) ≠ 0 Pss(ejω)=0, Pvv(ejω) ≠ 0
然而实际的系统都是因果的。对于一个因果系统， 不能直接转入频域求解的原因是由于输入信号与期望 信号的互相关序列是一个因果序列，如果能够把因果 维纳滤波器的求解问题转化为非因果问题，求解方法
ˆ( n ) s 。因此对
信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这 样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说, 信号处理 的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么， 采用不
同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。
2.1 引 言
x( n ) s( n )＋ v( n ) h (n ) y( n )
的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的 处理系统称为滤波器。这里，只考虑加性噪声的影响， 即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和（如图2.1.1所 示）, 即 x(n)=s(n)+v(n)
（2.1.1）
2.1 引 言
s( n )
x( n )
v( n )
图 2.1.1 观测信号的组成
m 0
k=0, 1, 2, …
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程 对上式两边取共轭，利用相关函数的性质: * rxy (k ) ryx (k ) 得到 ：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m 0
ˆ( n N ) , 值x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，估计过去的信号值 s
N≥1，称为平滑或内插。
2.1 引 言
维纳 (Wiener) 滤波与卡尔曼 (Kalman) 滤波就是 用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤或预 测问题, 并以估计的结果与信号真值之间的误差的 均方值最小作为最佳准则。 维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统 计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到 的结果是封闭公式；维纳滤波的最大缺点是仅适 用于一维平稳随机信号，这是由于采用频域设计 法所造成的 。
y ( n ) x ( n ) h ( n ) h ( m) x ( n m)
m 0

n=0, 1, 2, …
（2.2.2）
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 设期望信号为d (n) ，误差信号
E[| e(n) |2 ] 分别为 ：
e(n) 及其均方值Fra bibliotekˆ( n) y ( n) s ( n) g ( n) g (k ) (n k )
j 0

(2.2.6)
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法
假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n) 与期望信号 d(n) 的误差为 eopt(n) ，把（ 2.2.5 ）式代入上 式，得到 *
E[ yopt (n)eopt (n)] 0
d (n )
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程 此外， 在具体实现时，滤波器的长度是由实验 来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，就 需要在新M基础上重新进行计算。因此，从时域求解 维纳滤波器，并不是一个有效的方法。
^
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
若不考虑滤波器的因果性，（2.2.8）式可以写为
k=0, 1, 2, …
（2.2.8）
上式称为维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程。 当h(n)是一个长度为M的因果序列(即h(n)是一个 长度为M的FIR滤波器)时， 维纳-霍夫方程表述为
rxd (k ) h(m)rxx (k m)
m 0 M 1
h(k ) rxx (k )
(2.2.7)
eo pt( n )
yo pt( n )
图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时， 估计 值加上估计偏差等于期望信号， 即
d (n) yopt (n) eopt (n)
维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波
2.1 引 言
在生产实践中，观测到的信号都是受到噪声干扰的。 如何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，
是信号处理中经常遇到的问题。换句话说，信号处理
假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则 Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) （2.3.1）式可以写成
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
（2.3.2）
显然，当噪声为 0 时，信号全部通过；当信号为 0 时， 噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波确有滤除噪声的能
2.2.2 维纳—霍夫方程
（2.2.11 ）式表明已知期望信号与观测数据的互
相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵
求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，
直接从时域求解因果的维纳滤波器， 当选择的滤波
器的长度M较大时， 计算工作量很大， 并且需要计
算Rxx的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。
图 2.1.2 信号处理的一般模型
2.1 引 言
假若已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，要估计当前及以
ˆ(n N ) , N≥0，这样的估计问题称为 后时刻的信号值 s
预测问题；若已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m) ，要估计当
前的信号值 s ˆ(n) ，称为过滤或滤波； 根据过去的观测
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程 将（2.2.5）式展开， 可以得到
* * * E x(n k ) d (n) h (m) x (n m) 0 m 0
将输入信号分配进去， 得到
rdx ( k ) h* (m)rxx (m k )
rxx (1) rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0)
可以写成矩阵的形式， 即 求逆，得到 ：
h R Rxd
Rxd Rxxh
1 xx
(2.2.11)
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.1 引 言
1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为 有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函 数的设计方法。 采用谱分解的方法求解，简单易
行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清
楚。 因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤 波器的方法。
^
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果 性，可以得到滤波器的输出y(n),