等腰三角形中的分类讨论问题

关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想,就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决,而需要选定一个标准,根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想.
对于分类讨论问题,初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求,但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见,华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在"等腰三角形〞一节中,主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题.下面举例简要论述这两类问题：
一、当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论
例1、〔1〕已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长.
〔2〕等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长.
分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是"腰〞,哪条边是"底〞不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论.
解〔1〕因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形；
当腰长为8时,周长为8+8+10=26；
当腰长为10时,周长为10+10+8=28；
故这个三角形的周长为26cm或28cm.
解〔2〕当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形；
当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长
为：7+7+3=17；
故这个三角形的周长为17cm.
注意：对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形.
二、当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论
例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数；
分析：题目没有指明"顶角是底角的4倍〞,还是"底角是顶角的4倍〞因此必须进行分类讨论.
解：〔1〕当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x,
∴ 4x+4x+x=1800, ∴ x=200, ∴ 4x=800,
于是三角形的各个内角的度数为：200,800,800.
〔2〕当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为4x,
∴ x+x+4x=1800, ∴ x=300, ∴ 4x=1200,
于是三角形的各个内角的度数为：300,300,1200.
故三角形各个内角的度数为200,800,800或300,300,1200.
例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500,求它的各个内角.
分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500,有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500.因此需要分类讨论；
解：〔1〕当顶角的外角等于1500时,则顶角=1800-1500=300,
∴每个底角=〔1800-顶角〕÷2=750；
〔2〕当底角的外角等于1500时,则每个底角=1800-1500=300；
∴顶角=1800-底角⨯2=1800-300⨯2=1200；
故三角形各个内角的度数为300,750,750或1200,300,300.
三、当高的位置关系不确定时,必须分类讨论
例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250,求这个三角形的各个内角的度数.
分析：由于题目中的"另一边〞没有指明是"腰〞还是"底边〞,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内还是在三角形外.
解：设AB=AC,BD ⊥AC ；
〔1〕高与底边的夹角为250时,高一定在△ABC 的内部,
如图1,∵∠DBC=250,∴∠C=900-∠DBC=900-250=650,
∴∠ABC=∠C=650,∠A=1800-2×650=500. 〔2〕当高与另一腰的夹角为250时, 图1
①如图2,高在△ABC 内部时,
当∠ABD=250时,∠A=900-∠ABD=650,
∴∠C=∠ABC=〔1800-∠A 〕÷2=57.50；
②如图3,高在△ABC 外部时,∠ABD=250A B C D
∴∠BAD=900-∠ABD=900-250=650,∴∠BAC=1800-650
0∴∠ABC=∠C=〔1800-1150〕÷2=32.50
故三角形各内角为：650,650
,500或
650,650,57.50或1150,32.50
,32.50.
四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
例5、在三角形ABC 中,AB=AC,AB 边上的垂直
平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为400,
求底角B 的度数.
分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形；图4解：〔1〕如图4,AB
∠ADE=400,则∠A=900-∠ADE=500,
∵AB=AC, ∴∠B=〔1800-500〕÷2=650.
〔2〕如图5,AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向 延长线交于点D,∠ADE=400,则∠DAE=500, 图5
∴∠BAC=1300,∵AB=AC,∴∠B=〔1800-1300〕÷2=250,
故∠B 的大小为650或250.
五、由腰上的中线引起的分类讨论
例6、等腰三角形底边为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,求腰长.
分析：如图6,由于题目中的"一腰上的中线把其周长分为
两部分的差为3cm 〞,没有指明是"〔AB+AD 〕-〔BC+CD 还是"〔BC+CD 〕-〔AB+AD 〕〞的"差为3cm 〞,因此必须 分两种情况讨论. 解：如图6, ∵BD 为AC 边上的中线,∴AD=CD,〔1〕当〔AB+AD 〕-〔BC+CD 〕
=3时,则AB-BC=3, ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；
〔2〕当〔BC+CD 〕-〔AB+AD 〕=3时,则BC-AB=3,∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；
但是当AB=2时,三边长为2,2,5；而2+2<5,不合题意,舍去；
故腰长为8.六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题
例7、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上,且∠ACB=500,0的度数.分析：由于点C 、D 可以在线段AB
线段AB 的两侧,因此要分两种情况进行讨论.
解：〔1〕如图7,当C 、D 两点在线段AB 的同侧时,
∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上,
∴CA=CB,△CAB 是等腰三角形,又CE ⊥AB, 图7
∴CE 是∠ACB 的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,
而∠ACB=500,∴∠ACE=250,同理可得∠ADE=400,
∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=400-250=150.
〔2〕如图8,当C 、D 两点在线段AB 的两侧时,同〔1〕
∠ADE=400,
于是∠CAD=1800-
〔∠ADE+∠ACE 〕 =1800-〔400+250〕=1800-
650=1150故∠CAD 的度数为150或1150.
例8、如图9,
已知△ABC 中,BC>AB>AC,∠ACB=400,
如果D 、E 是直线AB 上的两点,且AD=AC,BE=BC, 求∠DCE 的度数. 图9
分析：因为在不等边△ABC 中,D 、E 是直线AB 上的两点,所以点D 、E 可以在点A 的同侧,也可以在点A 的两侧,因此需要分类讨论.
解：〔1〕当点D 、E 在点A 的同侧,且都在BA 的延长线上时,如图10,
图 2-∠BAC ÷2=〔180-∠ABC-∠BAC 〕÷2
=∠ACB ÷2=400÷2=200.
〔2〕当点D 、E 在点A 的同侧,且点D 在D ’的位置,E 在E ’的为时,如图11,
与〔1〕类似地也可以求得E C D ''∠＝∠ACB ÷2=200
. 〔3〕当点D 、E 在点A 的两侧,且E 点在E ’的位置时,如图12,
图12 图13
∵BE ’=BC,∴()221800÷∠=÷'∠-='∠ABC E CB C E B ,
∵AD=AC, ∴∠ADC=〔1800-∠DAC 〕÷2=∠BAC ÷2,
又∵()ADC C E B E DC ∠+'∠-='∠0180,
∴()21800÷∠+∠-='∠BAC ABC E DC =1800-〔1800-∠ACB 〕÷2 =900+∠ACB ÷2=900+400÷2=1100.
〔4〕当点D 、E 在点A 的两侧,且点D 在D ’的位置时,如图13, ∵AD ’=AC,∴()()，2180218000÷∠-=÷'∠-='∠BAC AC D C D A ∵BE=BC,∴∠BEC=〔1800-∠ABC 〕÷2,
∴()()C D A BEC C D E EC D CE D '∠+∠-='∠+'∠-='∠00180180,
=1800-〔〔1800-∠ABC 〕÷2+〔1800-∠BAC 〕÷2〕
=〔∠BAC+∠ABC 〕÷2=〔1800
-∠ACB 〕÷2
=〔1800-400〕÷2=700,
故∠DCE 的度数为200或1100或700.。