线性规划

⑷ 基本解：满足条件②，但不满足条件③ m 的所有解，最多为 n 个。 C
⑸ 基本可行解：满足非负约束条件的基本 解，简称基可行解。
⑹ 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解 非可行解
基解
基可行解
2、解的基本定理 ⑴ 线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
⑵ 最优解一定是在凸集的某一顶点实现（顶点 m 数目不超过 C n 个）
⑶ 先找一个基本可行解，与周围顶点比较，如 不是最大，继续比较，直到找出最大为止。
3、解的情况
唯 一 解 无 穷 解 无 界 解 无可行解
有最优解 无最优解
三、图 解 法
建立直角坐标 ( x1 , x2 0 ) ，图中阴影部分及 边界上的点均为其解，是由约束条件来反映的。
例一、 max Z 2 x1 3 x 2
x2
(1)
x2
(2)
2 3 1
3 2
x1 x1
1 设变量x ij 表示生产B j 种零件Ai 型机床的台数
max Z 30 x11 40 x12 55 x21 30 x22 23 x31 37 x32
x11 x12 40 x 21 x 22 40 x31 x32 20 x ij 0且为整数 ( i 1.2.3, j 1.2)
2 x1 2 x 2 x 3 x 2x x4 2 1 x5 4 x1 4 x2 x6 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 , x6 0 12 8 16 12
③
也可以记为如下形式：
目标函数：
max (min) Z
c x
j 1 j
n
j
约束条件：
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
xj 0
如将上例用表格表示如下：
设变量
产品j 设备i
x j ( j 1 2 n)
线 性 规 划
(Linear Programming)
线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的求解方法 线性规划的图解法 线性规划的单纯形法 单纯形法的进一步讨论
线性规划模型的应用
一、线性规划问题及其数学模型
（一）、问题的提出
为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的 人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或 达到一定的目的，这个过程就是规划。
x2
无穷多最优解
⑵ ⑶
⑴
x1
例三、
min Z x1 x2 x1 2 x2 2 x1 x2 1 x , x 0 1 2
⑴
x2
⑵
无界解
x1
例四、
min Z 3 x1 2 x x1 x 2 1 2 x1 3 x 2 6 x ,x 0 1 2
习 题1
1、某工厂生产A1、A2 两种 产品， 每件可获利润15、 20元。每个产品都经过三道 工序，资料如表所示。工厂 应如何安排生产计划使获得 的总利润最多？试写出此问 题的数学模型。 2、 某车间用三种不同型号 的机床Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，加工A、 B两种零件，机床台数、生产 效率如表所示。问如何合理 安排机床的加工任务，才能 使生产的零件总数最多？
1 2 n
有效台时 bi
1 2 m
利润 c j
a11 a1 n
c1
b1 b2 bm
a ij

a m 1 a mn
c2 cn
向 量 形 式：C ( c1 c2 cn )
x1 X xn
a1 j pj amj
max Z 4 x1 8 x 2 2 x1 2 x 2 10 x1 x 2 8 x ,x 0 2 1
max Z 2 x1 5 x 2 2 x1 5 x 2 60 x x 18 1 2 3 x1 x 2 44 x 2 10 x1 , x 2 0
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
练习1
max Z 10 x1 18 x 2 5 x1 2 x 2 170 2 x 3 x 100 1 2 x1 5 x 2 150 x1 , x 2 0
max Z 2 x1 3 x 2 x1 2 x 2 2 2x x 3 1 2 x2 4 x1 , x 2 0
2、特征： ⑴.目标函数为求极大值，也可以用求极小值； ⑵.所有约束条件（非负条件除外）都是等式， 右端常数项为非负； ⑶.变量为非负。
3、转换方式： ⑴.目标函数的转换 如果是求极小值即 min Z c j x j ，则可将目标函 数乘以（－1），可化为求极大值问题。 即 max Z Z c j x j
1、解的概念
⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。
⑵ 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×n阶非奇异子矩阵 （∣B∣≠0），则B是一个基。
a11 a1m 则称 Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。 (p p p ) B 1 2 m a m 1 amm ∴ Xj 为基变量，否则为非基变量。
解:
用 x4 x5 替换 x 3 ，且x4 , x5 引入变量 x6 , x7
0，
将第3个约束方程两边乘以（－1） 将极小值问题反号，变为求极大值 标准形式如下： max Z 2 x1 x 2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7
7 5 x1 x 2 ( x4 x5 ) x6 x x (x x ) x7 2 1 2 4 5 5 5 x1 x 2 2( x4 x5 ) x1 , x 2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
例二、将线性规划问题化为标准型 max Z x1 2 x 2
3 x1 8 x 2 5 x1 3 x 2 4 x 0, x 为无约束 1 2
解： min Z x 2( x x ) 1 3 4
5 3 x1 8( x 3 x4 ) x5 x6 4 x1 3( x 3 x4 ) x ,x ,x ,x ,x 0 1 3 4 5 6
四、单纯形法
（一）、基本思想
将模型的一般形式变成标准形式，再根据标准型模型， 从可行域中找一个基本可行解，并判断是否是最优。如果 是，获得最优解；如果不是，转换到另一个基本可行解， 当目标函数达到最大时，得到最优解。
（二）、线性规划模型的标准形式
1、标准形式
max Z c j x j aij x j bi (i 1 2 m) (j 1 2 n ) xj 0
2 x1 2 x 2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x 2 12 x1 0, x 2 0
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
max Z 2 x1 3 x 2
作图
x2
6
2 x1 2 x 2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x 2 12 x1 0, x 2 0
（三）、单纯形法
例一、
max Z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x 2 12 x1 , x 2 0
变成标准型 max Z 2 x1 3 x 2 0 x 3 0 x4 0 x5 0 x6
A
2
B
1
C
4
D
0
利润（元）
2
2
12
2
8
0
16
4
12
3
模 型
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t.
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
此为带约束的极值问题
（二）、数学模型
1、 问题中总有未知的变量，需要我们去解决。 要求：有目标函数及约束条件，一般有非负条件 存在，由此组成规划数学模型。 如果在规划问题的数学模型中，变量是连续的 （数值取实数）其目标函数是有关线性函数（一次 方），约束条件是有关变量的线性等式或不等式，这 样，规划问题的数学模型是线性的。反之，就是非线 性的规划问题（其中一个条件符合即可）。
b1 b bm
max (min) Z CX p j x j ( ) b X 0
矩阵形式：
a11 a1n A a m 1 a mn
max (min) Z CX AX ( ) b X 0
3、规划类型
整数规划 线 性规 划 非整数规划 整数规划 非线性规划 非整数规划
静态规划
规 确定型 划 随机型
动态规划
二、线性规划问题的求解方法 （一）、求解方法
一 般 有 两种方法
图 解 法 单纯形法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标 适用于任意变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）、线性规划问题的解
工 工序 产品 时
A1
A2
可用工时
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
3 2 1
产品 率
2 3 1
800 800 350
机床台数
效 机床
A
B
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
30 55 23
40 30 37
40 40 20
3、用图解法求解下面的线性规划问题：
max Z 4 x1 3 x 2 2 x1 x 2 10 3 x 2 x 6 1 2 x1 x 2 6 x1 , x 2 0
也就是：令 Z Z，可得到上式。
⑵.约束方程的转换：由不等式转换为等式。
a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
称为松弛变量
xn i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
称为剩余变量
xn i 0
⑶.变量的变换
若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j xj xj
x 其中： j , xj 0
例 一、将下列线性规划问题化为标准形式
min Z 2 x1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 5 x1 , x 2 0, x 3为无约束（无非负限制）
⑶
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
4
5
⑷
3
1
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵
⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 x2 = 2
有唯一最优解，Z = 14
ห้องสมุดไป่ตู้
例二、
max Z x1 2 x 2 x1 2 x 2 6 3 x 2 x 12 1 2 x2 2 x1 0, x 2 0
2、线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) Z c1 x1 c2 x 2 cn x n ①
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件：






②
am1 x1 am 2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0
例一、有一正方形铁皮，如何截取 x 使容积为最大？
x a
v a 2 x x
2
dv 0 dx 2(a 2 x ) x ( 2) (a 2 x ) 0
a x 6
此为无约束极值问题
例二、已知资 设 备 料如下表所示， 产 品 问如何安排生产 Ⅰ 才能使利润最大？ Ⅱ 或如何考虑利润 大，产品好销。 有 效 台 时