线面垂直判定定理(用)

同理BD⊥CO， 于是O是△BCD的垂心，
D O
C
2021∴/5/27BC⊥DO，于是AD⊥BC.
31
P
1.已知 PA、PB、PC两两垂直，
求证：P在平面ABC内的射影是
△ABC的垂心。
B
2.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面BA1D
C1 D1
C
D
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A H
C
B1 A1
AC在的
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的
直线叫做斜线在这个平面上的射影；
斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。
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三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知PO是平面的 斜线， PA⊥ 、AO 是PO在平面上的射 影。a ，a⊥AO。
线影垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
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例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AD⊥BC 求证：AC⊥BD
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
AB⊥CD，CD 面BCD，
由三垂线逆定理CD⊥BO， B
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥.
l
P
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4
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.
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2.3.1（一）
直线与平面垂直的判定
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1
复习引入
一个人走在灯火通明的大街上，会 在地面上形成影子，随着人不停的走动， 这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无 论怎样，人始终与影子相交于一点，并
始终保持垂直.
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2
讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
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l
P
3
a⊥PO
a
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三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线影垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和
平面垂直
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平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直 24
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
n
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m
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例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
ab
n
m
线面垂直→线线垂直→线面垂直
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例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点， 求证：AD⊥PC.
P
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D
C
A
B
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课堂小结
直线与平面垂直的判定方法： 1.定义； 2.定理； 3.两条平行线中的一条与平面垂直，
→思考：给定一条直线和一个平面，如 何判定它们是否垂直？
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2. 直线和平面垂直的判定
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l
mB n
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2. 直线和平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直.
符号语言:
l
若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，
m，n，则l⊥.
求证： a⊥PO
P
A
Oa
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证明：
P
PA⊥
a
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A
PA ⊥a AO⊥a
Oa
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
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三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平
P
面的一条斜线的射影垂直，那
么，它就和这条斜线垂直。
A
Oa
PA⊥
OA是PO在内的射影 由三垂线定理
a ⊥ AO
P
A Oa
PA⊥
α
OA是PO在内的射影 由三垂线逆定理
a ⊥PO
a⊥AO
a 2021/5/27
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三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
则另一条也与这个平面垂直.
线面垂直→线线垂直
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2.3.1(二)三垂线定理
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瀛海学校
杨宇
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2.斜线
一条直线和一个平面相交，
A
斜线段 但不和这个平面垂直，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线和平
B
C
面的交点叫做斜足。
斜线上一点与斜足间的线段
叫做这点到这个平面的斜线段。
m
B
n
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练习 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有
；
与直线AA'垂直的平面有
.
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D'
A' D
A
C' B'
C B
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例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
ab
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例1 已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
b ab
直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做垂足.
l
P
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举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
2021/5/27
8
举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
2021/5/27
9
举例：生活中直线与平面垂直的现象有 哪些？
→提问：你觉得垂直的依据是什么？
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做垂足.
l
P
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讲授新课
1. 直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.
并不是三垂都作为已知条件
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三垂线定理的逆定理
线影垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
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三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
B A
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证明:
P PA⊥平面ABC
AC是PC在平面ABC上的射影
BC平面ABC
BC ⊥ AC 由三垂线定理得
A
BC ⊥ PC
B C
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例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
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A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
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三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 一找直线和平面垂直 题
P
回 二找平面的斜线在平面
顾
内的射影和平面内的α 一条直线垂直
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂