因式分解复习课件
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(2)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
（3）a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
公因式 多项式各项都含有的相同因式，
确
定系数 系数的最大公约数
定
公
因 式
定字母 各项中都有的相同的字母。
的
方
法
定指数 字母的最低次幂。
提公因式法 如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来, 从而转化为几个因式乘积的形式
(1) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
因式分解
■☆
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，
即：一个多项式 →几个整式的积
分解因式几个特点 (l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．
分解因式与多项式乘法关系
ma mb mc
m(a b c)
a2 b2 因式 分解 (a b)(a b)
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
(5).计算12 22 + 22 32 +…+ 992 1002 = ___________
12 23
99100
1). 3m2-27 2). 1-a4
3). 9-12x+4x2 4). -x2+4x-4 5). y3+4xy2+4x2y
6). -8a3b2+12ab3c-6a2b2 7). (m2+n2)2-4m2n2 8). (2x+y)2-(x+2y)2
例1：把a2 ab ac bc分解因式。 解：原式 (a2 ab) (ac bc)
a(a b) c(a b) (a b)(a c)
练习:：把m2 5n mn 5m分解因式。 把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。 解：原式 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 (a b c)(a b c)
顺口溜：
x
5
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱
x
3
(3x) (5x) 8x
例4 分解因式 a2 10ab 9b2 (a 9b)(a b)
a
9b
a
b
练习: (1) x2 5x 6
(2) a2 2a 3
分
分组后能直接提取公因式
组分Leabharlann 解法分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分组 五项:常考虑二三分组
B层练习
将下列各式分解因式： ⑴ (2a+b)²–(a–b)²； (2) (x+y)²-10(x+y)+25 (3) 4a²–3b(4a–3b) (4)(x2－5)2＋2(x2－5)＋1
（5）(x2+y2)(x2+y2-4)+4
基本方法
第二步第 一环节
C层练习
◆（1）不论a、b为何数，代数式 a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ D ） A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an
4.下列多项式是完全平方式的是( C )
A. 0.01x2+0.7x+49
B. 4a2+6ab+9b2
C. 9a2b2-12abc+4c2
D. X2-0.25x+0.25
1. 提公因式法
(9)已知对多项式2x3 x2 13x k进行因式分解时 有一个因式是2x 3, 试求4k 2 4k 1的值.
今日作业：
习题：8.4 第二、三题
教学反思
• 这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式 子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入 手，基础不好的学生需要手把手的教，因此，应该引导学生总结 多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那 么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 另外，解题步骤教师应在黑板上示范，多做题、多小考，反复强 调，在复习时还要加以巩固。
因式分解是恒等变形而本题不恒等.
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
是整式乘法.
填空
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。 2．x2-8x+m=(x-4)2,m=16 。
3.下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是C( )
A. (x+5)(x-5)=x2-25
练习：a2 b2 2b 1
因式分解常用方法
提公因式法
公式法
平方差公式 完全平方公式
十字相乘法
分组分解法
A层练习 一:将下列各式分解因式： ⑴ -a²-ab； ⑵ m²-n²；
⑶ x²+2xy+y² （4）3am²-3an²；
（5）18a²c-8b²c （6） m4 - 81n4
(7)x3-2x2+x； (8)x2(x-y)+y2(y-x)
解：(1)-x3z+x4y=x33(-z+xy).
(2)3x(a-b)+ 2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y） a2 － x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2
2. 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
• 总之，通过这次反思，回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对 策、以利后行的过程，我认识到了平时教学中的不足，也给我指 明了努力的方向，我认识到一个教师的成长过程中离不开不断的 教学反思。在反思中，已有的经验得以积累，成为下一步教学的 能力，日积月累，这种驾驭课堂教学的能力将日益形成。
a2 2ab b2 整式乘法 (a b)2
a2 2ab b2
(a b)2
是互逆的关系．一定是恒等变形
A层练习
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
不满足因式分解的含义
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(3a+b)(b-a) (1-5x)2 (m+n-3)2.
做 (1) 3x³+6x²y+3xy²(2)(a+ b+c)2-(a+b-c)2 (3)x²y²-4xy+4
一 做 (4)3ax2-3ay4；
(5)m4-1
(6)y2 －4xy＋4 x2
十字相乘法 “拆两头，凑中间”
例1
x2 8x 15 (x 5)(x 3)
（4）若x y 5, xy 6, 则x3 y xy3 ____________
(6)已知a、b、c是一个三角形的三边， 判断代数式a2-b2 -c2 –2bc 的正负性。
(7)若n是任意正整数.试说明 3n+2-4×3n+1+10×3n能被7整除.
(8)甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了a，分解结果是(x+1)(x+16) 请你分析一下a、b的值分别为多少，
(6)若x－y＝99求x2＋x＋y2－y－2xy之值
应用：1).计算： 20052-20042 =
2). 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2=
3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m=
4). 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( D) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
（3）a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
公因式 多项式各项都含有的相同因式，
确
定系数 系数的最大公约数
定
公
因 式
定字母 各项中都有的相同的字母。
的
方
法
定指数 字母的最低次幂。
提公因式法 如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来, 从而转化为几个因式乘积的形式
(1) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
因式分解
■☆
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，
即：一个多项式 →几个整式的积
分解因式几个特点 (l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．
分解因式与多项式乘法关系
ma mb mc
m(a b c)
a2 b2 因式 分解 (a b)(a b)
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
(5).计算12 22 + 22 32 +…+ 992 1002 = ___________
12 23
99100
1). 3m2-27 2). 1-a4
3). 9-12x+4x2 4). -x2+4x-4 5). y3+4xy2+4x2y
6). -8a3b2+12ab3c-6a2b2 7). (m2+n2)2-4m2n2 8). (2x+y)2-(x+2y)2
例1：把a2 ab ac bc分解因式。 解：原式 (a2 ab) (ac bc)
a(a b) c(a b) (a b)(a c)
练习:：把m2 5n mn 5m分解因式。 把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。 解：原式 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 (a b c)(a b c)
顺口溜：
x
5
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱
x
3
(3x) (5x) 8x
例4 分解因式 a2 10ab 9b2 (a 9b)(a b)
a
9b
a
b
练习: (1) x2 5x 6
(2) a2 2a 3
分
分组后能直接提取公因式
组分Leabharlann 解法分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分组 五项:常考虑二三分组
B层练习
将下列各式分解因式： ⑴ (2a+b)²–(a–b)²； (2) (x+y)²-10(x+y)+25 (3) 4a²–3b(4a–3b) (4)(x2－5)2＋2(x2－5)＋1
（5）(x2+y2)(x2+y2-4)+4
基本方法
第二步第 一环节
C层练习
◆（1）不论a、b为何数，代数式 a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ D ） A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an
4.下列多项式是完全平方式的是( C )
A. 0.01x2+0.7x+49
B. 4a2+6ab+9b2
C. 9a2b2-12abc+4c2
D. X2-0.25x+0.25
1. 提公因式法
(9)已知对多项式2x3 x2 13x k进行因式分解时 有一个因式是2x 3, 试求4k 2 4k 1的值.
今日作业：
习题：8.4 第二、三题
教学反思
• 这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式 子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入 手，基础不好的学生需要手把手的教，因此，应该引导学生总结 多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那 么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 另外，解题步骤教师应在黑板上示范，多做题、多小考，反复强 调，在复习时还要加以巩固。
因式分解是恒等变形而本题不恒等.
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
是整式乘法.
填空
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。 2．x2-8x+m=(x-4)2,m=16 。
3.下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是C( )
A. (x+5)(x-5)=x2-25
练习：a2 b2 2b 1
因式分解常用方法
提公因式法
公式法
平方差公式 完全平方公式
十字相乘法
分组分解法
A层练习 一:将下列各式分解因式： ⑴ -a²-ab； ⑵ m²-n²；
⑶ x²+2xy+y² （4）3am²-3an²；
（5）18a²c-8b²c （6） m4 - 81n4
(7)x3-2x2+x； (8)x2(x-y)+y2(y-x)
解：(1)-x3z+x4y=x33(-z+xy).
(2)3x(a-b)+ 2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y） a2 － x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2
2. 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
• 总之，通过这次反思，回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对 策、以利后行的过程，我认识到了平时教学中的不足，也给我指 明了努力的方向，我认识到一个教师的成长过程中离不开不断的 教学反思。在反思中，已有的经验得以积累，成为下一步教学的 能力，日积月累，这种驾驭课堂教学的能力将日益形成。
a2 2ab b2 整式乘法 (a b)2
a2 2ab b2
(a b)2
是互逆的关系．一定是恒等变形
A层练习
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
不满足因式分解的含义
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(3a+b)(b-a) (1-5x)2 (m+n-3)2.
做 (1) 3x³+6x²y+3xy²(2)(a+ b+c)2-(a+b-c)2 (3)x²y²-4xy+4
一 做 (4)3ax2-3ay4；
(5)m4-1
(6)y2 －4xy＋4 x2
十字相乘法 “拆两头，凑中间”
例1
x2 8x 15 (x 5)(x 3)
（4）若x y 5, xy 6, 则x3 y xy3 ____________
(6)已知a、b、c是一个三角形的三边， 判断代数式a2-b2 -c2 –2bc 的正负性。
(7)若n是任意正整数.试说明 3n+2-4×3n+1+10×3n能被7整除.
(8)甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了a，分解结果是(x+1)(x+16) 请你分析一下a、b的值分别为多少，
(6)若x－y＝99求x2＋x＋y2－y－2xy之值
应用：1).计算： 20052-20042 =
2). 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2=
3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m=
4). 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( D) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12